1、乒乓球回滚运动分析设乒乓球质量为设乒乓球质量为m，半径为半径为r，乒乓球与，乒乓球与水平面摩擦因数为水平面摩擦因数为，质心初速度为，质心初速度为vc0，角初速度为，角初速度为w0。用手按下球的后部时，同时给了球一用手按下球的后部时，同时给了球一个向前的质心速度个向前的质心速度vc0和绕质心旋转的和绕质心旋转的角速度角速度w0，如右图所示。如右图所示。vc0wof 此时乒乓球要受到与此时乒乓球要受到与v vc0c0方向相反的方向相反的摩擦力摩擦力f f，大小为大小为mgf最开始最开始，vc和和w均保持方向不变的时段内均保持方向不变的时段内，由牛顿第二定律和转动定律可得由牛顿第二定律和转动定律可得
2、cmamgf从而得到从而得到故故vc和和w随时间随时间t 的变化为的变化为(1)Jmgrfr2mr32J gacrg23gtvtvcc0)(trgwtw23)(0当当vc和和w w中有一个减少到零时中有一个减少到零时,即即vc=0=0，w0 w0 或或 vc0 0,w=0w=0.在在(1)(1)式中令式中令vc(t(t)=0)=0,得得gvtc01令令w(t)=0,得得此时还需分此时还需分3 3种情况讨论种情况讨论 t1=t2 t1 t2grwt3202rwvc0032 t1=t2此时此时，。这种情况下这种情况下v vc c与与w w同时减同时减小到零小到零,乒乓球将停在最大位移处乒乓球将停在
3、最大位移处,此时此时离出发点距离为离出发点距离为gvdc220rwvc0032mgfcmamgf此时此时，。有有vc(t1)=0时时,w(t1)w(t2)=0,即即vc 先减小到零先减小到零。这种情况下这种情况下,乒乓球乒乓球会返回会返回。刚开始返回时，球底部相对地面向右运动刚开始返回时，球底部相对地面向右运动，于是受到向左的摩擦力于是受到向左的摩擦力 。f 使使vc 反向增大反向增大，使使w继续减小继续减小，有有 t1 v(t2)vc c(t1)=0(t1)=0.即即w w先减小到零先减小到零.t1 t2此时球由于具有向右的质心速度将继续向前运动此时球由于具有向右的质心速度将继续向前运动,从
4、从t t2 2 开始的一小段时间内开始的一小段时间内,球底部相对地面向右运动球底部相对地面向右运动,受向受向左的摩擦力左的摩擦力 。与与中类似分析可知此时中类似分析可知此时w w反向反向增大增大,v,vc c 继续减小继续减小,有有rwvc0032最终达到平衡状态，乒乓球最终会停下来最终达到平衡状态，乒乓球最终会停下来还是永远滚动下去呢还是永远滚动下去呢？我们来看看我们来看看,与与(2)(2)中相应地中相应地,分分3 3 种情况种情况 t1=t2 t1 t2 t1=t2此时此时，乒乓球停在距出发点乒乓球停在距出发点 处处,已达平衡状态已达平衡状态.gvc22gacrg23cvwr t1 0，v
5、c(t1)=0。且且 ，w减小减小，vc 增加增加。只要只要 ，乒乓球与地面接触的点乒乓球与地面接触的点M相对地面就是向右运动相对地面就是向右运动，摩擦力就摩擦力就向左向左，于是于是w继续减小继续减小；vc 继续增大继续增大。可见可见，总有一刻总有一刻，会达到会达到 。cvwr tgtrgtwr23)(1grtwt5)(21)(5223)(11twtrgtww这一过程经历的时间可求出这一过程经历的时间可求出，由由得得达到平衡时达到平衡时达到平衡后因为达到平衡后因为 ，故与地面接触点故与地面接触点M相对于地面无运动趋势相对于地面无运动趋势，乒乓球将沿乒乓球将沿返回方向永远滚动下去返回方向永远滚动
6、下去.rtwtgvc)(521cvwr 0fgac t1 t2如图所示如图所示，一开始一开始v vc c=v=vc c(t(t2 2)0)0，w(tw(t2 2)=0)=0，且且 ，,vcvc 减小减小,w w增加增加。rg23只要只要 ，乒乓球与地面的接触点乒乓球与地面的接触点M M相对地面就相对地面就向右运动向右运动，摩擦力就向左摩擦力就向左，于是于是vc继续减小继续减小,w继续继续增大增大,同同中一样作类似分析可得中一样作类似分析可得当当 时时 达到平衡状态达到平衡状态,乒乓球将沿原方向永远滚乒乓球将沿原方向永远滚动下去动下去。)(532tvwrvccgrtvtc5)(22wrvc0f1.1.若若 ,乒乓球将一直减速并停在距出发点乒乓球将一直减速并停在距出发点 处处2.2.若若 ，乒乓球将返回并最终以一恒定速率沿乒乓球将返回并最终以一恒定速率沿和原速度相反的方向滚动和原速度相反的方向滚动,此恒定速率为此恒定速率为3.3.若若 ,乒乓球不会返回乒乓球不会返回,而是会最终以一恒定速而是会最终以一恒定速率沿原方向运动率沿原方向运动,此恒定速率为此恒定速率为 总结总结rwvc0032rwvc0032rwvc0032gv220rrvwrtwvc2352)(52001)32(53)(53002rwvtvvcc
