1、7.5 绝对值不等式,高考数学,考点含绝对值不等式的解法1.含绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集,知识清单,(2)|ax+b|c和|ax+b|c型不等式的解法|ax+b|c?-cax+bc;|ax+b|c?ax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,
2、等号成立.(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,(3)推论1:|a|-|b|a+b|.(4)推论2:|a|-|b|a-b|.,含绝对值的不等式的解法形如|x-a|+|x-b|c(或c,c0)型的不等式主要有三种解法:(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(-,a,(a,b,(b,+)(此处设a0)的几何意义:数轴上到点x1=a和x2=b的距离之和大于或等于c的全体实数.(3)图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象,结合图象求解.例1已知不等式|2x-1|-|x+1|2的解
3、集为x|axb.求a,b的值.,方法技巧,解题导引 对x进行分类讨论去掉绝对值分别解不等式,得解集结论,解析当x?时,原不等式即为2x-1-(x+1)-?,故-?x?.当x-1时,原不等式即为1-2x+(x+1)2,无解.综上得-?x4,故a=-?,b=4.,评析本题考查绝对值不等式的概念和解法,考查分类讨论思想.,与绝对值不等式有关的综合问题的解题策略绝对值不等式往往与函数、导数、数列等知识综合在一起进行考查.常见的题型和解题策略:1.讨论含绝对值的二次函数的单调性、最值和零点等.此类题型一般是按定义去掉绝对值,写成分段函数,作出函数图象,对参数进行分类讨论.2.数列通项或递推数列中含有绝对
4、值,需要证明其有界性等.此类题型一般是利用绝对值三角不等式进行放缩,需要注意字母之间的结构规律,有时往往要消去一些字母,达到证明有界性的目的.3.含绝对值不等式的恒成立问题.此类题型一般都转化为求含绝对值的函数的最值,或利用绝对值三角不等式求最值,有时需要分类讨论.例2(2017浙江温州十校期末联考,15)对于任意实数a和b(b0),不等,式|a+b|+|a-b|b|(|x-1|+|x-2|)恒成立,则实数x的取值范围是 .,解题导引分离变量利用绝对值三角不等式求关于a,b的分式的最小值解关于x的绝对值不等式结论,解析原不等式可化为?|x-1|+|x-2|恒成立,令m=? .由|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|,得m2,当且仅当(a+b)(a-b)0,即|a|b|时,取等号.因此有|x-1|+|x-2|2,解得?x?.,答案?x,评析本题考查绝对值不等式的概念和解法,分离变量法,不等式恒成立问题,考查化归与转化思想和分类讨论思想.,
