[研究生入学考试]数学训练线性代数部分课件.ppt

1、1.向量2.线性方程组3.特征值与特征向量.,.,21个个分分量量称称为为第第个个数数第第个个数数称称为为该该向向量量的的分分量量这这维维向向量量数数组组称称为为所所组组成成的的个个有有次次序序的的数数iainnaaanin分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量向量的定义定义定义 aaaann21,即即称称为为列列向向量量维维向向量量写写成成列列的的形形式式 aaaannT,21 即即称称为为行行向向量量维维向向量量写写成成行行的的形形式式向量的相等向量的相等),2,1(),(),(2121nibababbbbaaaai

2、iTTnTnT 则则设设零向量零向量分量全为分量全为0 0的向量称为零向量的向量称为零向量),2,1(0niaOaiT ),2,1(,0niaOaiT 中中至至少少有有一一个个不不为为负向量负向量).,(,),(2121aaaaaaaaanTTnT 且且的负向量记作的负向量记作向量向量向量加法向量加法),(:),(),(22112121babababababbbbaaaannTTTTnTnT 的加法为的加法为与与向量向量定义定义设设),(2211babababannTT 向量减法定义为向量减法定义为向量的线性运算数乘向量数乘向量),(,21akakakakaknTT 定定义义为为简简称称数数乘

3、乘向向量量称称为为向向量量的的数数量量乘乘法法的的乘乘积积与与向向量量数数向量加法和数乘向量运算称为向量的向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运线性运算算，满足下列八条运算规则：，满足下列八条运算规则：;)1(加法交换律加法交换律);()()2(加法结合律加法结合律;,)3(O有有对任一个向量对任一个向量;)(,)4(O 有有存在负向量存在负向量对任一个向量对任一个向量;1)5(;)()()6(kllk 数乘结合律数乘结合律;)()7(kkk 数乘分配律数乘分配律.)()8(lklk 数乘分配律数乘分配律.,1,为零向量为零向量为数为数维向量维向量为为其中其中Olkn 除了上述八条运算规则，显

4、然还有以下性质：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：);,0(,0 )1(为任意数为任意数为数零为数零其中其中kOkOO ;,0,)2(OkOk 或者或者则或者则或者若若.)3(xx有唯一解有唯一解向量方程向量方程若干个同维数的列（行）向量所组成的集合若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组叫做向量组定义定义.,:2122112121这这个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为的的一一个个线线性性组组合合称称为为向向量量组组向向量量实实数数对对于于任任何何一一组组给给定定向向量量组组kkkAakakakkkkaaaAmmmmm 线性组合定义定义.,:22112121线线性性表表示示

5、由由向向量量组组能能这这时时称称向向量量的的线线性性组组合合是是向向量量组组则则向向量量使使存存在在一一组组实实数数如如果果和和向向量量给给定定向向量量组组AbAbakakakbkkkbaaaAmmmm 线性表示定理定理.),(),(2121的的秩秩的的秩秩等等于于矩矩阵阵件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要条条能能由由向向量量组组向向量量baaaBaaaAAbmm 定义定义.,.,:,:2121两两个个向向量量组组等等价价则则称称这这能能相相互互线线性性表表示示与与向向量量组组若若向向量量组组线线性性表表示示能能由由向向量量组组则则称称向向量量组组线线性性表表示示向向量量组组

6、组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若及及设设有有两两个个向向量量组组BAABABbbbBaaaAsm定义定义.,0,:22112121否否则则称称它它线线性性无无关关是是线线性性相相关关的的则则称称向向量量组组使使为为零零的的数数如如果果存存在在不不全全给给定定向向量量组组AakakakkkkaaaAmmmm 线性相关定理定理.)(;),(,2121mARmaaaAaaamm 是是必必要要条条件件向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小条条件件是是它它所所构构成成的的矩矩阵阵线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组定理定理.,.,:,:)1(12

7、121也也线线性性无无关关则则向向量量组组线线性性无无关关向向量量组组若若反反言言之之也也线线性性相相关关量量组组则则向向线线性性相相关关若若向向量量组组ABaaaaBaaaAmmm 若若向向量量量量添添上上一一个个分分量量后后得得到到向向即即向向量量设设.),2,1(,)2(,111bamjaaabaaajjjrrjjjrjjj .,.,:,:2121也也线线性性相相关关则则向向量量组组线线性性相相关关若若向向量量组组反反言言之之也也线线性性无无关关则则向向量量组组线线性性无无关关组组ABbbbBaaaAmm.,)3(时时一一定定线线性性相相关关向向量量个个数数小小于于当当维维数数维维向向量

8、量组组成成的的向向量量组组个个mnnm.,:,:)4(2121且且表表示示式式是是唯唯一一的的线线性性表表示示能能由由向向量量组组必必则则向向量量线线性性相相关关向向量量组组而而线线性性无无关关设设向向量量组组AbbaaaBaaaAmm定义定义满满足足个个向向量量中中能能选选出出如如果果在在设设有有向向量量组组,21aaarAAr;,:)1(210线线性性无无关关向向量量组组aaaAr,)1(1)2(都都线线性性相相关关个个向向量量的的话话中中有有如如果果个个向向量量中中任任意意向向量量组组 rArA.);(0的秩的秩称为向量组称为向量组量个数量个数最大无关组所含向最大无关组所含向简称最大无关

9、组简称最大无关组无关向量组无关向量组的一个最大线性的一个最大线性是向量组是向量组那么称向量组那么称向量组ArAA向量组的秩等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等定理定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩它的行向量组的秩定理定理设向量组设向量组B B能由向量组能由向量组A A线性表示，则向量线性表示，则向量组组B B的秩不大于向量组的秩不大于向量组A A的秩的秩推论推论推论推论).()(),()(,BRCRARCRBACnssmnm 则则设设推论推论（最大无关组的等价定义）（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组，若向量组设向量组

10、是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组则向量组是向量组的一个最大无关组BABABBA.,;,:,VaRVaVbaVbVaV 则则若若则则若若数数乘乘两两种种运运算算中中可可以以进进行行加加法法及及是是指指在在集集合合所所谓谓封封闭闭向量空间定义定义设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，且非空，且集合集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合合 为向量空间为向量空间VVVVn.,2,1,121 miRaxVaaaimiiim 空空间间

11、为为所所生生成成的的向向量量由由向向量量组组一一般般地地定义定义.,212121的的子子空空间间是是就就称称若若及及设设有有向向量量空空间间VVVVVV.子空间子空间的的都是都是间间维向量所组成的向量空维向量所组成的向量空任何由任何由RVnn子空间定义定义.,)2(;,)1(,1212121维维向向量量空空间间为为并并称称的的维维数数称称为为向向量量空空间间的的一一个个基基就就称称为为向向量量空空间间向向量量组组那那么么线线性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由线线性性无无关关且且满满足足个个向向量量如如果果为为向向量量空空间间设设rVVrVaaaaaVaaaVaaarVrrrr 基与维

12、数.0.0,OV量量空空间间只只含含一一个个零零向向量量维维向向的的维维数数为为那那么么若若向向量量空空间间没没有有基基.,的的秩秩的的维维数数就就是是向向量量组组组组向向量量组组的的最最大大线线性性无无关关的的基基就就是是则则看看作作向向量量组组若若把把向向量量空空间间VVV向向量量空空间间的的构构造造.,2,1,121 riRaxVVVaaairiiir 可可表表示示为为则则的的一一个个基基是是向向量量空空间间若若向向量量组组定义定义.,22112121的的内内积积与与称称为为向向量量令令维维向向量量设设有有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn 10向量内积的定义及运算规律.

13、,都是列向量都是列向量其中其中内积的矩阵表示内积的矩阵表示yxyxyxT.,)3(;,)2(;,)1(:),(zyzxzyxyxyxxyyxnzyx 为为实实数数量量维维向向为为其其中中内内积积满满足足下下列列运运算算规规律律定义定义).(,22221或范数或范数的长度的长度维向量维向量称为称为令令xnxxxxxxxn 向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：.)3(;)2(;0,0;0,0)1(yxyxxxxxxx 三角不等式三角不等式齐次性齐次性时时当当时时当当非负性非负性 11向量的长度.,1为为单单位位向向量量称称时时当当xx ).0(,1,2时时当当从从而而有有不不等等式式向

14、向量量的的内内积积满满足足施施瓦瓦茨茨 yxyxyxyyxxyx定义定义.,arccos ,0,0的的夹夹角角与与维维向向量量称称为为时时当当yxnyxyxyx .,0.,0,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若正交正交与与称向量称向量时时当当xxyxyx 12向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理.,2121线线性性无无关关则则零零向向量量是是一一组组两两两两正正交交的的非非维维向向量量若若aaaaaanrr.,)(,212121的的一一个个规规

15、范范正正交交基基是是则则称称两两两两正正交交如如果果的的一一个个基基是是向向量量空空间间维维向向量量设设VeeeeeeRVVeeenrrnr 定义定义13正交向量组的性质).,2,1(,221121rieaaeeeeaaVVeeeiTiirrr 其其中中都都可可表表为为中中任任一一向向量量那那么么的的一一个个规规范范正正交交基基是是若若施密特正交化方法施密特正交化方法.,2121范范正正交交化化这这个个基基规规只只需需把把的的一一个个规规范范正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设aaaVVaaarr.,.,;,;2121111122221111111212211等价等价且

16、与且与两两正交两两正交则则取取aaabbbbbbabbbbabbbbababbbbabababrrrrrrrrrrr 第一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化.,1,1,1222111的的一一个个规规范范正正交交基基就就得得取取Vbbebbebberrr 定义定义.),(1为为正正交交矩矩阵阵那那么么称称即即满满足足阶阶矩矩阵阵如如果果AAAEAAAnTT .)(的的一一个个规规范范正正交交基基向向量量构构成成向向量量空空间间行行个个列列的的正正交交矩矩阵阵RnAn14正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正

17、交（列）向量都是单位向量，且两两正交AA定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变.,xxxpxPxyyyPxyTTTT 则则有有为为正正交交变变换换设设PPxy 线性方程组的系数矩阵和未知量为的系数矩阵和未知量为记齐次线性方程组记齐次线性方程组)1(,0,0,0221122221211212111 xaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmmnnnn向量方程向量方程齐次线性方程组)2(.)1(,21212222111211OAxxxxxaaaaaaaaaAnmnmmnn 式可写成向

18、量方程式可写成向量方程则则解向量解向量.)2(,)1(,)1(,1211111212111的的解解它它也也就就是是向向量量方方程程的的解解向向量量称称为为方方程程组组则则的的解解为为若若 nnnxxxx解向量的性质解向量的性质性质性质性质性质.)2(,)2(,2121的解的解是是也也则则的解的解为为若若 xxx.)2(,)2(11的解的解也是也是则则为实数为实数的解的解为为若若 kxkx 定义定义.)1(,)1(间间的的解解空空称称为为齐齐次次线线性性方方程程组组是是一一个个向向量量空空间间所所以以集集合合对对向向量量的的线线性性运运算算封封闭闭则则集集合合合合集集的的全全体体解解向向量量所所

19、组组成成的的为为方方程程组组设设SSS定理定理.,)(,rnSrARSOxAnnmnm 的维数为的维数为解空间解空间时时当系数矩阵的秩当系数矩阵的秩是一个向量空间是一个向量空间构成的集合构成的集合的全体解所的全体解所元齐次线性方程组元齐次线性方程组定义定义.)1(的的基基础础解解系系的的基基称称为为方方程程组组解解空空间间S)4()3(,22112222212111212111bAxbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn 可写为向量方程可写为向量方程非齐次线性方程组非齐次线性方程组向量方程向量方程2非齐次线性方程组解向量的性质解向量的性质性质性质性质性质.)5(,)4(

20、,2121的的解解组组为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程则则的的解解为为若若OAxxxx .)4(,)5(,)4(的的解解也也是是方方程程则则解解的的是是方方程程的的解解是是方方程程若若 xxx解向量解向量向量方程向量方程 的解就是方程组的解就是方程组 的解向量的解向量)4()3(（）求齐次线性方程组的基础解系（）求齐次线性方程组的基础解系:,)(21可可按按下下面面步步骤骤进进行行不不妨妨设设为为个个解解向向量量解解系系含含线线性性无无关关的的那那么么方方程程组组的的一一个个基基础础程程组组中中未未知知数数的的个个数数为为而而方方的的秩秩若若齐齐次次线线性性方方程程组组 rnrnnrA

21、ROAx 3线性方程组的解法第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵变成行最简形矩阵;0000000000100010001,1,21,2,11,1 ccccccnrrrnrnrA即即个个分分量量的的第第于于是是得得号号个个分分量量反反列列前前将将第第第第二二步步,2,1,2,1:21rrnrrrn ;,2,11,2,22,121,1,21,11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr 第三步：将其余第三步：将其余 个分量依次组成个分量依次组成 阶阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解

22、系.100,010,001,2,12,2,22,121,1,21,11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr rn rn（）求非齐次线性方程组的特解（）求非齐次线性方程组的特解.,)()(矩矩阵阵使使其其成成为为行行最最简简形形进进行行初初等等行行变变换换增增广广矩矩阵阵那那么么对对数数为为而而方方程程组组中中未未知知数数的的个个的的秩秩若若非非齐齐次次线线性性方方程程组组BnrBRARbAx ,000000000000100010001,1,2,21,21,11,1 dccdccdccrnrrrnrnr将上述矩阵中最后一列的前将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为个分量依次作为特

23、解的第特解的第 个分量，其余个分量，其余 个分量全部取个分量全部取零，于是得零，于是得rrn r,2,1,0021 dddr 即为所求非齐次线性方程组的一个特解即为所求非齐次线性方程组的一个特解定理定理定理定理.)(0 nARxAnnm 阵阵的的秩秩充充分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩有有非非零零解解的的元元齐齐次次线线性性方方程程组组.),(的的秩秩的的秩秩等等于于增增广广矩矩阵阵分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩阵阵有有解解的的充充元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组bABAbxAnnm 4线性方程组有解判别定理齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最

24、简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解5线性方程组的解法方阵的特征值和特征向量定义定义.,的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那么那么成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设 AxAxAxxnnA.)(.0的特征多项式的特征多

25、项式称为方阵称为方阵的特征方程的特征方程称为方阵称为方阵AEAfAEA 1方阵的特征值和特征向量.)2(;)1(,)(.2122112121AaaaaAnAnnnnnnij 则有则有的特征值为的特征值为若若个特征值个特征值有有阶方阵阶方阵.1;1,)3(.)(,)(.)()();()2(;)1(,)(11010特征值特征值的的是是的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当其中其中的特征值的特征值是是为任意自然数为任意自然数的特征值的特征值是是的特征值的特征值也是也是则则的特征值的特征值是是设设AAAAAaAaEaAaaaAkAAaAmmmmkkTijnn 2有关特征值的一些结论定理定理.,21212

26、121征征向向量量是是线线性性无无关关的的即即属属于于不不同同特特征征值值的的特特线线性性无无关关则则各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个个特特征征值值的的是是方方阵阵设设ppppppmAmmmm 定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量3有关特征向量的一些结论定义定义.,.,11的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对进行运算进行运算对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则

27、称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设BAPAAPPABAABBAPPPnBA 矩阵之间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性4相似矩阵.,)2(2121个特征值个特征值的的是是则则相似相似与对角矩阵与对角矩阵若若nAAnn 5有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同ABAABB)1(.)()(,.)()(,)3(111111PPAPPAAPPPPBPAPBPAPPBAkkkk 则有则有为对角阵为对角阵使使若有可逆阵若有可逆

28、阵特别地特别地则则若若(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量AAn(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似AAn.)1(实实数数实实对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值为为.)2(量量必必正正交交特特征征值值的的特特征征向向实实对对称称矩矩阵阵的的属属于于不不同同.,)3(个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的必必有有则则对对应应重重特特征征值值的的是是实实对对称称矩矩阵阵若若rrA .,.)4(1对对角角阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元素素的的的的以以是是其其中中使使得得则则必必有

29、有正正交交阵阵称称阵阵阶阶实实对对为为即即若若实实对对称称矩矩阵阵必必可可对对角角化化nAAPPPnA 6实对称矩阵的相似矩阵定义定义.2 22 ),(,1,1311321122222221112121称称为为二二次次型型的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有xxaxxaxxaxaxaxaxxxfxxxnnnnnnnnnn 第六章二次型.,.,的的秩秩的的秩秩称称为为二二次次型型称称阵阵对对的的二二次次型型称称为为对对称称阵阵的的矩矩阵阵为为二二次次型型称称其其中中二二次次型型可可记记作作fAAffAAAAxxfTT 二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的.,;,称

30、为实二次型称为实二次型是实数时是实数时当当称为复二次型称为复二次型是复数时是复数时当当fafaijij定义定义).(2222211或或法法式式称称为为二二次次型型的的标标准准形形只只含含平平方方项项的的二二次次型型ykykykfnn 1二次型的标准形).()(,)1(ARBRBAACCBCT 且且亦为对称阵亦为对称阵则则阵阵为对称为对称如果如果令令任给可逆矩阵任给可逆矩阵.)(,),()2(2122222111,的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中化化为为标标准准形形使使有有正正交交变变换换总总任任给给实实二二次次型型aAfyyyffPyxaaxxafijnnnjiijjinjiij 2化

31、二次型为标准形.,)3(变变换换换换一一般般而而言言不不是是正正交交此此时时所所用用的的可可逆逆线线性性变变形形二二次次型型化化为为标标准准拉拉格格朗朗日日配配方方法法亦亦可可把把定义定义.,0)(,0;,),0)0(0)(,0,)(是负定的是负定的并称对称矩阵并称对称矩阵为负定二次型为负定二次型则称则称都有都有如果对任何如果对任何是正定的是正定的称对称矩阵称对称矩阵并并为正定二次型为正定二次型则称则称显然显然都有都有如果对任何如果对任何设有实二次型设有实二次型AfxfxAffxfxAxxxfT 3正定二次型.,),0(),0(,212122222112222211数数的的个个数数相相等等中中

32、正正中中正正数数的的个个数数与与则则及及使使及及实实的的可可逆逆变变换换有有两两个个它它的的秩秩为为设设有有实实二二次次型型 rrirrirrTkkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 4惯性定理.2)(;,21量量化化线线性性变变换换的的不不变变它它们们是是二二次次型型对对于于非非退退差差的的符符号号称称为为称称为为负负惯惯性性指指数数数数称称为为正正惯惯性性指指中中正正数数的的个个数数frpprpNpsNprpkkkr 注意注意;,:)1(npnAxxfT 即即正正惯惯性性指指数数个个系系数数全全为为正正它它的的标标准准形形的的是是为为正正定定的的充充分分必必要要条条件件实实二

33、二次次型型;:)2(特特征征值值全全为为正正的的是是为为正正定定的的充充分分必必要要条条件件对对称称矩矩阵阵AA5正定二次型的判定).,2,1(,0)1(,:;0,;0;0 ,:)(3(111111112221121111nraaaaAaaaaaaaaaAArrrrrnnnn 即即而偶数阶主子式为正而偶数阶主子式为正式为负式为负奇数阶主子奇数阶主子是是为负定的充分必要条件为负定的充分必要条件对称矩阵对称矩阵即即的各阶主子式都为正的各阶主子式都为正要条件是要条件是为正定的充分必为正定的充分必对称矩阵对称矩阵霍尔维茨定理霍尔维茨定理.2),(2231321为标准形用正交变换化xxxxxxf例1例1

34、.001010100,001010100),(),(321321321 AAxxxxxxxxxxxfT得实对称矩阵得实对称矩阵例题：化二次型为标准形解解第一步将表成矩阵形式第一步将表成矩阵形式f.1,1,0)1()1(.3212 得得由由的所有特征值的所有特征值求出求出第二步第二步AEA.010,101 ,0)(.211 得得它它的的基基础础解解系系解解方方程程组组求求正正交交矩矩阵阵第第三三步步xAET.010,2/102/1,0,2221112121 得得将它们单位化将它们单位化正交正交与与得得单位化单位化得它的基础解系得它的基础解系解方程组解方程组,101 ,0)(33 xAE.2/10

35、2/1333 .100010001,),(,132121331为对角阵为对角阵且且为正交矩阵为正交矩阵令令正交正交与与 ATTTT .)(.232221yyyyyyATTyfTyxTTT 作正交变换作正交变换第四步第四步.282102),(.,313221232221321xxxxxxxxxxxxf性变换并求相应的线准形用配方法化二次型为标例2例2解解xxxxxxxxxxxfxf3223223212132118102)(2),(.,应的线性变换应的线性变换并作相并作相的项集中进行配方的项集中进行配方中含中含将将第一步第一步xxxxxxxxxxxx322322322322321218102)()()(2 .69)(3223223212xxxxxxx ,33223211xyxyxxxy作线性变换作线性变换,100010111 ,11 pxpy即即.69),(32232221321yyyyyxxxf 得得.,69232232221并作相应的线性变换并作相应的线性变换项集中进行配方项集中进行配方的的中含中含将将第二步第二步yyyyyyf ,2221为所求标准形为所求标准形得得zzf ,100310001,3,223332211 PyPzyzyyzyz即即令令.)(12xPPPyz 相应的线性变换为相应的线性变换为.)3(32221yyyf