[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件.ppt

1、线性代数复习线性代数复习计算行列式计算行列式.定义定义.1 2121 2()12(),1.nnnijn nj jjjjnjj jjnAanAa aa是一个 级排列设是 阶方阵 则定理定理.11221122,1,2,(),1,2,()(,.)iiiiininijnjjjjnjnjnAa Aa Aa AiniAa Aa AAana Ajnj行列式按第 行展开行列设是 阶方按第阵式列展开则性质性质1.111122*0nnnnaa aaa(上三角行列式上三角行列式)1111220*nnnnaa aaa(下三角行列式下三角行列式)|.0nn mmACABB即1111111111111111111110k

2、knkkkknkkknnnnnknnaaaabbaaddbbaabbddbb,0|.nm nmAABDB即111111111111111111110knknkkkkknnkkknnnnnnaaccaabbaaccbbaabbbb,性质性质2.性质性质3.11,|.()若 则或ijijrrAAAAcc 性质性质4.11,|.()设 则|或iikrAAAk Akc 性质性质5 11,|.()若 则|或ijijrkrAAAAckc 性质性质6 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.性质性质7.|AT|A|性质性质8.|A|n|A|其中n为矩阵A的阶数 性质性质9.设A,B都是n 阶矩

3、阵,则|AB|A|B|11,|.AAA若 可逆 则性质性质10.111(,).|,|,|.iinn nininAA设则1123133795.204213571464410102D例例1:1:计算解:11231001022042135714644101021123100102020413571464410102D213rr312rr.ijijrrrkr利用运算和可把行列式化简成上三角行列式112310204100102021530022211231020410010200112002221123102041001020001000222112310204100102000100002623rr4

4、2rr43rr532rr112310010202041021534410102413rr1123100102020410215300222514rr12.542rr1123102041001020001000006例例2.abbbbabbDbbabbbba计算解:D1213143333abbbbccababbccabbabccabbba2131413000000000abbbbrrabrrabrrab3(3)().ab ab例例3.1000200030004xxDxx.求方程的根解:D4121000200300004xrxrxxx22030004xxx按开第一列展22(4)(6)xx按列展开第

5、.三23D,.所以 的根是.综合利用行列式行列运算以及行列式行列展开公式例例4:4:计算4.abcdbadcDcdabdcba解:4D213141rrrrrr000abcdbcdabdccddbacbdcbbcad121314ccccccabcdbcdabcdadcabcddababcdcba21rrabdccdabcd dbacbdcbbcad12cc按第一列展开()()abcdabdcadbc adbc0abdcdccdabcd abdcacbdbcad00abdcdccdabcdadbcbcad.adbcabcdabdcbcad*11*.,()(),.AAAAA3.设 可逆 则可逆 且其

6、中为伴随矩阵*4.|0,|0,.AAAA则其中为 的伴随矩阵*15.|.nAAnA其中 为矩阵 的阶数伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质.1.设A为n阶方阵，nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111其中Aij是|A|的(i,j)元的代数余子式.则AA*A*A|A|E*1*(),.nkAkAknA6.其中 是数是 的阶数*(2),7.设 为 阶矩阵为 的伴随矩阵 则AnnAA*,(),()1,()1,0,()2.nR AnR AR AnR An若若若1*12.|0|AAAAA 可逆,且.称为矩阵A的伴随矩阵*3,4.由知 可逆可逆AA例例6.43212111().321111xxxf

7、xxxxx计算中 与 的系数解:()f x432,1.xx所以 的系数是的系数是.利用行列式定义计算例例5.1*13,|,|(2)5|.2AAAA设 为 阶矩阵 求1*|(2)5|AA解 1|2|A 16.1115|2AA A31(2)|A 1221003111321111xxrrxx321xx2*xx性质性质.1111nnninjijaaaAaa的代数余子式是设中1111,11,11,11,11122,niinniininiinnnnaaaabbab Ab Aaaab A则1122111,111,111,1,1jjnnn jnjn jnjnnjnaabaabaababaAAb A.例例8.2

8、12223132333235327,(,).456235325.ijDDi jAAAAAAA设的元的代数余子式记为求和解.212223235AAA235235456132333325AAA2333224550.0例例9.123121231122332112,4.|,|.|,|.|,|.mn 设均为 维列向量求解:32112|,|.mn 32113212|,|,|1231|,|1223|,|性质性质.112(1),.|.nnnAA设 阶矩阵 的所有特征值为则01(2),()=.设 是矩阵 的特征值mmAxaa xa x11(a)(1);()().(b),.()().是矩阵的特征值是矩阵多项式的特

9、征值当 可逆时 则是逆阵的特征值是的特征值mmAmAAAA 111(3),(),(),()().()|()().nnnAxAA 若是矩阵 的所有特征值是个一元多项式 则是的所有特征值 所以|例例9.*31,1,2.|32|.AAAE设 阶矩阵 的特征值为求解:*1|AA A所以1()232.xxx 令1()232AAAE 则()(1)1,(1)3,(2)3 .A 的特征值分别是*|32|(1)(3)39.AAE 所以12A*|.AAA E,A可逆|1(1)220.A 这是因为1101().则smsmxa xa xaa xa x把矩阵把矩阵A通过若干次初等行变换化简成阶梯形矩阵和最简形矩阵通过若

10、干次初等行变换化简成阶梯形矩阵和最简形矩阵.110.a 所以可设,如果第一列的元素有一个不为零A,经过两行互换总能使得第一列1111.nmmnaaAaa设.的第一个元素不为零2222,nmmnbbBbb对 中右下角的一块再重复以上的做法 如此1112122220.0nnmmnaaabbBbb.下去直到变成阶梯形为此,如果第一列元素全为零则考虑它的1111(2)iiarri ma .,.AX第二列的元素是否全为零 以此类推最终可把矩阵 化简成阶梯型矩阵二二.求解方程组求解方程组.(重点重点),AXXX把矩阵 化简成阶梯型矩阵 以后 然后利用 的每一行的首元素把.Y的每一行首元素所在的列的其余元素

11、化简为零得到矩阵1,.Y最后把矩阵 的每一行的首元素化简成得到最简形矩阵 定义定义.若在矩阵A中有一个r阶子式D非零 且所有r1阶子式(如果存在的话)都为零 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式 称数r为矩阵A的秩 记作R(A)规定零矩阵的秩等于0 ().ABBR A 有限次行初等变换阶梯形矩阵设，则 中非零行的个数求矩阵的秩求矩阵的秩.AA矩阵 的秩就是 中非零子式的最高阶数.矩阵秩的基本性质矩阵秩的基本性质1.0R(Amn)minm n 2.R(AT)R(A)3.若AB 则R(A)R(B)4.若P,Q可逆 则R(PAQ)R(A)0,()().RAR A特别的若数则5.0().nAAR An

12、阶矩阵 可逆6.maxR(A)R(B)R(A B)R(A)R(B)特别地 当B 为列向量时 有 R(A)R(A)R(A)17.()()().R A BR AR B8.()min(),().R ABR A R B9.0.()().m nn tABR AR Bn若则(一一).线性方程组线性方程组AmnXn1=m1的求解的求解.定理.1.不含参数的线性方程组的求解不含参数的线性方程组的求解.1111(,)(,)().AAAXAX 行初等变换最简形矩阵或阶梯形矩阵则与同解(1)()(,);(2)()(,);(3)()(,).m nAXR AR AR AR AnR AR An线性方程组无解有唯一解有无穷

13、解2.含参数的线性方程组的求解含参数的线性方程组的求解.11(1)(,)(,)AA 行初等变换阶梯形矩阵(因为含参数的矩阵不太好化简成最简形矩阵,一般只能把它化简成阶梯形矩阵.)(2),.AAn若 是含参数的矩阵 且 是 阶方阵 则用克拉默法则求解|0.n nAAX即有唯一解|0.n nA然后对时讨论方程组的求解克拉默法则克拉默法则:n nAXA若线性方程组的系数矩阵的行列式|0.12112|,|,|nnAAAxxxAAAXA则方程组有唯一解 即 111,111,111,1,1.jjnjnn jnn jnnaabaaAaabaa其中例例1.1234512345234512345,1323226

14、35433a bxxxxxxxxxxaxxxxxxxxxb取何值时 线性方程组(3学分),.无解 有唯一解或有无穷解 有解时求它的解11111111111132113012263:(,).0122630000054331000002aaAabb 行变换解432.:,brra注意 这个矩阵不能再化简了 不能做行变换(2)0,2()(,)25,.abR AR A若时无穷解111111012263(,)000000000000A 行变换12101152012263.000000000000r r 13452345522263xxxxxxxx 314253,.xk xkxk令(1)0 2()2(,),

15、.abR AR A 若 或 时 无解11232123314253522263xkkkxkkkxkxkxk则11232123314253522263xkkkxkkkxkxkxk则112100k212010k356001k23.000111200kkk 222200kkk3335600kkk23.000例例2.(3学分)1231231234,3,.24xxxxxxxxx 讨论取何值时有解 求其解1111121解32111100rr(1).(1)(1)01,0,.若即时 方程组有唯一解123121421,.(1)(1)xxx 解得114114(2)0,(,)113101312141014A若则321

16、141013,0001rr.所以方程组无解1141114(3)1,(,)11311312141214A若则32111421131012rr 31111401010102rr 21111401011012rr 23111401020101rr 32211,10.11rrr 注意不要做变换或者否则要对讨论321114(1)010200021rr1114(,)01020101A1(),.2a若则方程组无解11141(),(,)010220000bA若则1210120102.0000rr()(,)23.R AR A所以方程组有无穷解13222xxx13222xxx 3.xk令12322xkxxk 则1

17、202,.10kk 为任意数2020kk 例例3.(109页,习题28)122:2,1,105aA设有向量组3111.,41ba b及向量问为何值时 (1).(2),.(3),.AAA向量 不能由向量组 线性表示向量 能由向量组 线性表示 且表示式唯一向量 能由向量组 线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式解.123(,).A 记则.,.,.AXAAXAAXA无解向量 不能由向量组 线性表示有唯一解向量 能由向量组 线性表示 且表示式唯一有无穷解向量 能由向量组 线性表示 且表示式不唯一|0,4.,AaAXA 若即则有唯一解所以 能由向量组 唯一的线性表示21014,(,)001120003

18、baAbb 行初等变换若0,.bAXA所以若则无解 所以 不能由向量组 线性表示21010,(,)0011.0000bA 行初等变换若则()(,)23.R AR AAX所以所以有无穷解,.A所以 能由向量组 线性表示 且表示式不唯一1021(21),.011cAXXccc R此时的通解为123(,)(21)1cAXc 所以123(21),.ccc R例例4(2学分)1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx 已知非齐次线性方程组(1)2.(2),.Aa b证明系数矩阵 的秩等于求的值和线性方程组的通解解：3,AX由条件知道解集的秩110,43因为()2.R A 所以有三

19、个线性无关的解()2.R A 所以().R AA而中非零子式的最高阶数()15().AXnR AR A 而解集的秩为5()3R A所以()2.R A 所以11()2)43R AR或12211111110242(,)01153011530000000000rrrA g所以13423424253xxxxxx 所以112212224,35xkkxkk 求得11111(,)0115300424542Aabaa方程组的增广矩阵()2,420450,R Aaba而所以且23.ab 所以且3142,xkxk令12121222435kkkkXkk 所以1k21102k45011223,(,).00k kR性质

20、性质.(1)0().m nAXnR A的解集的秩为(0),()1.m nAXnR A若非齐次线性方程组即有解 则它的解集的秩是*12112212*112212(0),0.0 +,.+,.设为的解是的基础解系 则的通解为其中为任意实数的通解为 其中为任意实数n rn rn rn rn rn rn rAXAXAXXkkkk kkAXXkkkk kk (2)方程组的解的结构定理方程组的解的结构定理0.m nAX求齐次线性方程组的基础解系111,1,100100000000n rrr n rbbbbB不妨设().R Ar AB 行初等变换设最简形矩阵11111,11,.rn rnrrrr n rnxb

21、 xbxBxb xbx 矩阵 对应方程组1111110,0令求得rnrrxxbxxb 1112201,0令求得rnrrxxbxxb 1111100记rbb1222010.rbb记1,001记n rr n rn rbb12,0.n rAX则是的基础解系11,.求得n rrr n rxbxb10,01令rnxx 例例5.123412341234030.230 xxxxxxxxxxxx求齐次线性方程组的基础解系与通解解 110100120000A 行初等变换124342xxxxx123401.12令.求得=xxxx 210.21记 2410令=,xx 12,.则为基础解系112212(,).通解为X

22、ccc cR12341123.1224xxxx 分别令和求得和122311,2412 令12,.则也是基础解系131.0求得=xx 111,00记 例例6.解:(0).AX设0()431.AXnR A则的解集的秩是1232()0.AX所以是的基础解系AXX所以的通解是.k其中 是任何实数1123(2()k23344556,k 123123(109Ex27)3,2132,.4354 页设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 是它的三个解向量 且求该方程组的通解例例7.12342341231234(109Ex30)(,),2,.AAX 页设线性无关求的通解1232,因为1234,.所以线性相关所以

23、()3.R A 所以0()431.AXnR A所以的解集的秩是12320.1210A12010.AX所以是的基础解系解:234,因为线性无关234(,)3.R 所以1234.11121110,(.)AXXkk 所以的通解是是任意实数3234(,)R ()4.R A 1111A (二二).求解矩阵方程求解矩阵方程AmnXnl=Bml.()(,).AXBR AR A B定理有解11(,),(,)n llm llXXXB设,1.iiAXBAXil 则所以矩阵方程的求解实际上是若干个线性方程组的求解.1111(,)(,),.A BA BAXBA XB 行初等变换最简形矩阵则与同解1,AXA B特别的

24、若 可逆 则(,)A B 行初等变换最简形矩阵1,ABEXA若 可逆 且则(,)A E 行初等变换最简形矩阵1(,).E A B1(,).E A例例8.(3学分)1312241.,.110Xaa bXXb已知求 使得 存在 并求矩阵 1312.(,)241110A Bab解11,()23(,).abR AR A B 若或则.所以无解3213120223.0011rraab 21131220223110rrab 31131202230212rrab11,.abX 若且则 存在1312(,)02130000A B21213121301220000r 1522101301.220000X所以1312

25、(,)0223.0011A Baab1215102213301220000rr 1522.1322X所以11122122xxXxx记152211121322212210010000 xxxx则1112212200 xxxx=1522101301.220000X行行初初等等变变换换设设矩矩阵阵矩矩阵阵.则则存存在在可可逆逆矩矩阵阵,使使.如如何何求求(一一般般不不唯唯一一)?AFPPA=FP 定理定理.存在可逆矩阵P，Q 使PAQB(3)矩阵A等价于B(1)矩阵A行等价于B存在可逆矩阵P 使PAB存在可逆矩阵Q 使AQB(2)矩阵A列等价于B(,)(,).A EF PPPAF 行初等变换设，则

26、可逆，且引理引理.例例9.211112.,.462AFFPPAF设的最简形矩阵为求并求一个可逆矩阵使1013310113210001083(,)A E 行变换解：.1013310113210001083FP，所以*diag(1,2,1),28.AA BABAEB设求例例10.(56页页,Ex18)解*(2)8AE BAE*11(2)8A AE BAAAEA 400020004B2001000202 0208002001BE 1004180021004B(|2)A EA B8.E 200040002例例11 1*1120(2008)3,340,001().ABAEBEA已知 为 阶矩阵且求解解:

27、*()().AE BEE*0.ABAB所以*().A BEABAB所以1|(|)ABB EB所以11(|)|AB EBB所以1|EBB*ABABE3232321030.00*()A BE BB B所以(|)A B EB|.B E性质性质.1111110000,.0000AAABA BBBBA设可逆 则且三三.讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性.定理定理.1111(,).,0nm nnnnAxx设 则线性相关有非零解111,0nnnxx向量组线性无关只有零解0AX 有非零解0AX 只有零解().R An向量个数().R An向量个数特别的特别的,1(,)().n nnA设按列分块 1,

28、0nAXR An则向量组线性相关有非零解 1,0nAXR An线性无关只有零解|0.AA不可逆|0.AA可逆例例1.12112223112,(2),.,.mmmmm 已知向量组线性无关 设试讨论向量组的线性相关性 解 1212(,)(,)mmK 1212(,),(,).mmBABAK 记则|0,K 若()(),R BR Am则12,.m 所以线性无关|0,K 若()(),R BR Km则12,.m 所以线性相关12,|0.mK 所以线性无关100111000100.00100011K其中11(1)m 10011100010000100011mK 111100 按第一行展开111(1)1100m

29、 2 .0 mm是奇数是偶数12,|0.mKm 所以线性无关是奇数例例2.(3学分)12,0.mCX 设为齐次线性方程组的基础解系112223112,.,0.mmmstststs ts tCX 其中为实常数问满足什么关系时也是的基础解系1212(,)(,)mmK 解000000000000sttstKsts其中1212,0,.是的基础解系线性无关mmCX 1212(,),(,).mmBABAK 记则|0,K 若()(),R BR Am则12,.m 所以线性无关|0,K 若()(),R BR Km则12,.m 所以线性相关12,|0.mK 所以线性无关11(1)00mmtstst 1(1)mmm

30、st 12121,0,|0(1)0ssmmmCXKst 所以是的基础解系线性无关 000000000000msttstKsts100mststs 按第一行展开例例3.(108页Ex17)11(,)(,),.().rsKKsrABR Kr线性表示为其中 为 矩阵 且 组线性无关 证明 组线性无关的充要条件是11:,:,rsBA设向量组 能由向量组 证:1(,)0rBX组线性无关只有零解1(,)0.sKX只有零解1,s因为线性无关1(,)00.sKXKX所以与同解1(,)00sKXKX所以只有零解只有零解().R Kr().BR Kr所以 组线性无关四四.求向量组的最大无关组求向量组的最大无关组.

31、(重点重点)1,(1),(2)1.rAAAr线性无关设有向量组若向量组 中任意个向量都线性相关1,(),.rAArAR则称向量组是向量组 的一个最大线性无关组 简称最大无关组称为向量组 的秩 记为规定只含零向量的向量组的秩为0.定理定理(最大无关组的等价定义最大无关组的等价定义).1,rA设向量组向量组111(1),.(2),.,.rrrAA线性无关任意可由线性表示则是向量组 的一个最大无关组注意注意:一般来说,最大无关组不唯一.实际上,设向量组A的秩为r,则向量组A的任意r个线性无关的向量都是向量组A的最大无关组.定理定理.矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.定义定义求求m

32、维列向量组维列向量组1,2,n的最大无关组的最大无关组,并把不属于最大并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示无关组的列向量用最大无关组线性表示.11(,).(,)()m nnnAAB 有限次行初等变换令最简形矩阵或阶梯形矩阵().R AB则矩阵 中非零行的个数11111,().,.,.rrriiniiniiB设分别是矩阵 的每一个非零行的第一个非零元 即首元素 所在的列 则是的最大无关组 所以是的最大无关组1111.rrjirijirikkkk且2111211214.,4622436979.AA设求矩阵 的秩和列向量组的一个最大无关组并把不属于最大无关组的列向量组用最大无关组线性表示

33、例例1.解 12345123451010401103(,)(,)0001300000AB 行初等变换()()3.R AR B12412345,.所以是的最大无关组12412345,.是的最大无关组5124433.312,显然3125124,433.所以性质性质.111,.dim,.mmmLLL设 是由向量组生成的向量空间 则=向量组的秩 向量组的任意一个最大无关组都是的基例例2.123451121112322,1123410101.,.VV 设生成的向量空间为求向量空间 的维数 并求它的一组基解:12345(,).A 记123451121101111(,).0002300001AB 行初等变换

34、()()4.则R AR B124512345,是的最大无关组dim()4.VR A所以1245,.V 是 的一组基五五.矩阵的对角化矩阵的对角化.1.讨论一般矩阵的对角化问题讨论一般矩阵的对角化问题.性质性质.1,.nnA设是 阶矩阵 所有特征值 则12112212(1).(2)|.nnnnaaaA定理定理1.11,()0().,(1).siiisiinAAE XrnR AEAAnnrris 设是 阶矩阵 的全部不同的特征值的解集的秩为则可对角化有 个线性无关的特征向量的几何重数=的代数重数 矩阵可对角化的判别准则矩阵可对角化的判别准则:定理定理2.若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相等的特征

35、值,则 A 可对角化.002,.(1)(2).12,21.AEAE作为的根出现的重数 称为 的代数重数例若则的代数重数是 的代数重数是000,()0.AAE X设是矩阵 的特征值 则的解集的秩称为 的几何重数00111.,.100AxxA设问 为何值时可对角化例例1.解:01|1110AEx2(1)(1)按第二列展开.1211,.A 所以矩阵 的所有的不同的特征值为123(3()(3().AR AER AE所以矩阵 可对角化12()()3.R AER AE100111100AExE1()2.R AE所以10112101x21101021101rrx 31101021000rrx21011010

36、1AEx12()()3AR AER AE所以矩阵 可对角化31101001000rrx21101001101rrx 2()1R AE10 x 1x .例例2.(3学分学分)2 2P x设为所有次数不超过 的实系数多项式构成的212232.(1)1,21,321.(2),?.DP xppxpxxP xDD向量空间试写出微分运算 在的基 下的矩阵问是否存在的基 使得在该基下的矩阵是对角矩阵 若是试写出该基以及 在该基下的矩阵解:1()0.D p2()2D p12.p3()62D px123.pp 123123(),(),()(,)D pD pD pp pp则021003000021003.000A

37、记3|.AE 则0(3).A所以 的特征值为重(0)03(0)3213AE XR AE 的解集的秩为.A所以 不可对角化2,.P xD所以不存在的基 使得 在该基下的矩阵是对角矩阵111.|()(),().求出矩阵 的所有特征值 设其中则 的代数重数为skksijiiAEAijk1111,1,3.(,),.令则 可逆skss kPppppP111100ssskP APk1,2.1,()0:,对求出的基础解系iiii kisAE Xpp 注意上面的对角矩阵中的主对角线上的特征值的排列次序和可逆矩阵P中列向量的排列是对应的.1,().APP AP设 可对角化 求可逆矩阵不唯一使得为对角矩阵性质性质

38、.111(,),.00niiinPppAppP AP若可逆则例例3.12010031300.,.405006.xAByx yPP APB已知与相似 求并求一个可逆矩阵,使得解:1,6.Ay矩阵 的所有特征值为21516|0 .|6|0 yAEAE 1.1xy求得121(2),6(1).A的特征值为重重400|6|3535(44).401xAEx按第二列展开10|3030404xAE11,()0,AE X对于解方程210,1p令201313405AEE101303404213110130004000rrrr 130.xx所以2310 xx 令10.x 求得101.0p 令2301xx 令11.x

39、 求得12,()0.p pAE X所以是的基础解系26,(6)0,AE X对于解方程20163136405AEE401353401214013154054401rr 3140115054000rr12110413401145000rr 1323104304xxxx所以132141,34xxx令求得3143.41p令3(6)0.pAE X所以 是的基础解系1100010.006P APB则123(,).Pp pp令例例4.(3学分)(参考Ex24)1(1).(2)()1.(3).(4),.TAR AAPP AP 证明为对称矩阵证明求矩阵 的所有特征值求可逆矩阵使得为对角矩阵12(,)(2).Tn

40、a aan设为非零向量证:(1)TTTA(2)()()1.R AR(3)()1,01.R AAXn因为所以的解集的秩为01.An 所以 作为矩阵 的特征值的几何重数是,.AA因为 是对称矩阵 所以 可对角化001An所以 作为矩阵 的代数重数的几何重数=.A22212,naaaA所以是 的非零特征值.是对应的特征向量22211120,.nnnAaaa所以矩阵 的所有特征值为TTT.TA22212().naaaT (4)10.a 不妨设110,n对0.AX 求解方程组2112122122212nnnnnaa aa aa aaa aAa aa aa1222 11000000nnnaaara rra

41、 r 1 1220.所以nna xa xa x1121212122212nnannnaaara aaa aa aa aa 1210,.所以的基础解系是nAXp pp2130,0 nxaxx令110.0令nnapa1 122330.nna xa xa xa x2310,0 nxxax令31200aap令23100,nxxxa令21100aap令12.xa 求得13.xa 求得1.nxa 求得12(,).nPp pp令1222120.000nP APaaa则.np记22212.naaa则 是属于特征值的特征向量2.用正交矩阵把对称矩阵化成对角矩阵用正交矩阵把对称矩阵化成对角矩阵,或者利用正交变换或

42、者利用正交变换把二次型化简成标准形把二次型化简成标准形.(重点重点)1,.rV设是向量空间 的一个基112122111 (,)(,):正交化 令121121112211,(,)(,)(,)(,)(,)(,)rrrrrrrrr 1,.r则两两正交11111:,.rrr单位化 令1,.rV则是 的一个规范正交基施密特正交化定理施密特正交化定理.,.求正交矩阵(不唯一)把 阶对称矩阵 化为对角阵PnA111.|()(),().skksijiiEAijk设其中则 的代数重数为1111,1,3.(,),.skss kPppppP令则 是正交矩阵111100ssskP APk1,1,2.()0:,.,.i

43、iiii kiii kAE Xkpp求出的基础解系把它们正交化 单位化 得到 个两两正交的单位向量 注意上面的对角矩阵中的主对角线上的特征值的排列次序和正交矩阵P中列向量的排列是对应的.例例5.1011101.,.110APP AP 设求一个正交阵使为对角阵解:11|1111AE 321111011rr2321111001cc(1)(1)2)2(1)(2).122(1),1(2).A 求得 的所有不同的特征值为重重112,(2)()0.AE XAE X 对解方程2112121112AE 12320332121033rrrr 12121033033rr 11231211011000rr 1210

44、12011.000rr 13230.0 xxxx13211,.1xxx令求得111.1 所以是基础解系1111111,1.|31p把 单位化 得32121033000rr 221,()()0.AE XAE X对解方程111111111AE 2131111000000rrrr 1230.xxx2310,01xx 分别令和11 1.x 求得 和 23111,0.01 所以是基础解系23,:把正交化322233222(,),.(,)令3232(,)(,)1.2222(,)(,)2.311101210 111.22 11111000000r 23,把单位化 得2221|p3331|p111121112

45、44 111.62 111.20123(,),Pp ppP令则 是正交阵 1200010.001P AP且213(,),Qpp pQ如果令则 也是正交阵1100020.001Q AQ且例例6.(135页Ex20)1245002204042100Axy 设矩阵与1,;,.x yPP AP 相似 求并求一个正交矩阵使解:,.x y首先求参数5(4)11|4|0 .|5|0 yxAEAE 4,5.xy求出例例7.(2学分学分)设3阶实对称阵A的各行元素之和均为3，向量 12(1,2,1),(0,1,1)TT 是线性方程组AX=0的两个解，（1）求A的特征值与特征向量(2),.TQQ AQ 求正交矩阵

46、 和对角矩阵使得解:131133 1131A 33311,3.1A 记则112200,00AA123(,).P 所以可逆123,3.A 是 的 个线性无关的特征向量1000000003P AP且12303.A所以 的特征值是,33303.kk是属于特征值 的特征向量112212(,0)0.kkk k不全为 是属于特征值的所有特征向量12,用施密特正交化把正交化1122123331111:(1,2,1),(1,0,1),6211 (1,1,1)3TTT单位化123(,)Q 令1003TQ AQQ AQ则211122111(,)11(1,2,1),0,(,)22TT 令定义定义.222111 12

47、22222121213 131,1(,)222.nnnnnf xxa xa xa xa x xa x xaxx称为二次型11112122122212,().,().nnjiijnnnnnxaaaxaaaaaijXAAxaaa令记对称1(,).Tnf xxX AX则.Af上面的对称矩阵 称为二次型 的矩阵注意注意:.fA二次型 的矩阵 是对称矩阵2;.ijijix xijaxij系数的一半 的系数 利用正交变换把二次型化简为标准形利用正交变换把二次型化简为标准形(重点重点):1112211(,),(),.,().00TnTnnnf xxX AXAPP APP APXPYf PYyy任给二次型 对

48、称 则存在正交矩阵,使得令则例例10.121 323,222.XPYfx xx xx x 求一个正交变换把二次型化为标准形并求二次型的规范形解:011101.110A 二次型的矩阵为1111326200111,010.32600112036TPPP APP AP 令则 是正交阵 且222123200,()0102001TXPYf PYYYyyy 令则2221232.yyy 1122222123332,.zyzyfzzzzy 令则122222312331,.wzwzfwwwwz令则为规范形七七.计算矩阵的计算矩阵的k次幂次幂.111111,().(),().()000000nkkknnP APx

49、xP A PPA P 若是 的一元多项式则性质性质.例例1.1001.00nAA设求解:010,001.000AEBB其中2001000000B30,B 0,3.kBk()nnAEB0()nkn kknkCEB20kn kknkCB(1)12210.00n nnnnnnnnn例例2.1213112,.3TnAA 求解:2()()TTA()TT 3T3.AnA 所以13nA1111321,233n 1123123321321.31n例例3.100142034.043AA设求解:100.AA利用矩阵 的相似对角矩阵求|(1)(5)(5).AE 1235,1,5.A 矩阵 的特征值为15,(5)0,

50、AE X 对解方程112.1p 求得是基础解系21,()0,AE X对解方程210.0p 求得是基础解系35,(5)0,AE X对解方程321.2p 求得是基础解系123,Pp pp令1500010.005P AP则1500010.005APP所以1001001500010005APP所以1001001001051050.005八八.讨论二次型的正定性讨论二次型的正定性.定理定理.,AA对称矩阵 正定的各阶顺序主子式为正数 即111213111111211212223212231323310,0,0,0.nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa.AA 对称矩阵 为负定正定例例.222123