湖南省衡阳市2022届高三下学期数学三模试卷及答案.docx

1、 高三下学期数学三模试卷一、单选题1复数i+1的虚部是（）A1BiCiD-12已知集合A=x|x24f(2022)f(40392)Bf(2022)f(40392)f(40432)Cf(40432)f(40392)f(2022)Df(40392)f(2022)f(40432)7将三国演义、西游记、水浒传、红楼梦4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“三国演义分给同学甲”；B表示事件：“西游记分给同学甲”；C表示事件：“西游记分给同学乙”，则下列结论正确的是（）A事件A与B相互独立B事件A与C相互独立CP(C|A)=512DP(B|A)=5128已知双曲线C：y

2、22x2=1的上、下焦点分别为F1，F2，点P在x轴上，线段PF1交C于Q点，PQF2的内切圆与直线QF2相切于点M，则线段MQ的长为（）A1B2C3D2二、多选题9下列命题中，正确的有（）A数据93，92，92，89，93，94，95，96，100，99的极差为11B已知一组样本数据x1，x2，xn的平均数为5，方差为0.1，则由这组数据得到的新样本数据2x1+1，2x2+1，2xn+1的平均数为11，方差为0.2C一元线性回归模型y=21.5x，变量x增加一个单位时，则y平均减少1.5个单位D已知随机变量N(2，2)，且P(4)=0.6，则P(00，0，00，b0，a+b=1则下列不等式正

3、确的是（）A2a+2b22Ba+b2C(1a+2)(1b+2)16D2aa2+b+bb2+a3+23312在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）A直线BD1平面A1C1DB异面直线AP与A1D所成角的取值范围是4，2C|PQ|+|QG|的最小值为322D当|MA|+|MB|=4时，三棱锥AMBC体积最大时其外接球的表面积为283三、填空题13圆x2+y2+2x+4y15=0的圆心到直线x2y=0的距离为 .14已知四边形ABCD为菱形，A=60，AB=2，且CM=MD，则ABAM

4、= 15已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足anan+1=2Sn(nN)，则a2+a4+a6+a66= 16已知函数f(x)=ex+ax+a2，x0（e2.71828），若函数f(x)的极值为0，则实数a= ；若函数F(x)=f(x)+f(x)有且仅有四个不同的零点，则实数a的取值范围是 四、解答题17如图，在ABC中，A=3，AC=8，点D在AB边上，且BD=2，cosBDC=17（1）求cosACD；（2）求BC的长18已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10=145，a3=7，公比为2的等比数列bn满足b1=2a1（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求数列anbn的前

5、n项和Tn，及使得12Tnm2022对nN恒成立的最大正整数m19在正四棱锥PABCD中，AB=2，PA=6，E、F分别是AB、AD的中点，过直线EF的平面EFNM分别与侧棱PD、PB交于点N、M（1）求证：MNBD；（2）若EF=2MN，求直线PA与平面EFNM所成角的正弦值20因新冠肺炎疫情线上学习期间，儿童及青少年电子产品的使用增多、户外活动减少，进而增加了近视发生和进展的风险.2022年春季由于奥密克戎及其变异株传染能力强、感染后缺乏特异性症状等特点，让奥密克戎防控难上加难某市也受到了奥密克戎病毒的影响，全市中小学生又一次居家线上学习，该市某部门为了了解全市中学生的视力情况，采用分层抽

6、样方法随机抽取了该市120名中学生，已知该市中学生男女人数比例为7：5，统计了他们的视力情况，结果如表：近视不近视合计男生30女生40合计120（1）请把表格补充完整，并判断是否有99%的把握认为近视与性别有关？附：x2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+dk02.7063.8416.635p(x2k0)0.100.050.01（2）如果用这120名中学生男生和女生近视的频率分别代替该市中学生男生和女生近视的概率，且每名同学是否近视相互独立现从该市中学生中任选4人，设随机变量X表示4人中近视的人数，试求X的分布列及其数学期望E(X)21已知抛物线C：

7、y=ax2(a0)的焦点是F，若过焦点F的直线与C相交于A，B两点，所得弦长|AB|的最小值为2（1）求实数a的值；（2）设P，Q是抛物线C上不同于坐标原点O的两个不同的动点，且以线段PQ为直径的圆经过点O，作OMPQ，M为垂足，试探究是否存在定点N，使得|MN|为定值，若存在，则求出该定点N的坐标及定值|MN|，若不存在，请说明理由22已知函数f(x)=xex12ax2ax1（1）若函数f(x)在R上单调递增，求实数a；（2）从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分当x0时，f(x)+12ax22xlnx0，求实数a当x0时，f(x)+12ax2alnx0，求实数a答

8、案解析部分1【答案】D2【答案】B3【答案】C4【答案】B5【答案】B6【答案】A7【答案】C8【答案】D9【答案】A,C,D10【答案】A,D11【答案】A,B,D12【答案】A,C,D13【答案】35514【答案】415【答案】112216【答案】e32；（2e，+）17【答案】（1）解：由三角形的性质，可得ACD=BDCA，因为cosBDC=17，所以sinBDC=437，则cosACD=cos(BDCA)=cosBDCcos3+sinBDCsin3=1712+43732=1314.（2）解：由cosBDC=1314，可得sinACD=3314，在ACD中，利用正弦定理可得：ADsinA

9、CD=ACsinCDA，即AD=ACsinACDsinCDA=83314437=3，在ABC中，AB=AD+DB=3+2=5，由余弦定理可得BC2=82+5228512=49，所以BC=718【答案】（1）解：设等差数列an的公差为d，则S10=10a1+45d=145a3=a1+2d=7，解得a1=1d=3，所以an=a1+(n1)d=3n2，b1=2a1=2，则bn=22n1=2n（2）解：因为anbn=(3n2)2n，则Tn=121+422+723+(3n2)2n，2Tn=122+423+(3n5)2n+(3n2)2n+1，-得Tn=2+3(22+23+2n)(3n2)2n+1=2+12

10、(12n1)12(3n2)2n+1=10+(53n)2n+1，因此，Tn=(3n5)2n+1+1012Tnm2022对nN恒成立，即(12Tn)minm2022，又因为anbn=(3n2)2n0，所以Tn单调递增，所以12Tn的最小值为12T1=1，即1m2022，m6.635所以有99%的把握认为近视与性别有关（2）解：由图表可知，男生近视的概率为37，女生近视的概率为15由该市中学生男女人数比例为7：5，设该市共有中学生人数12n，可得，其中男生人数约7n，近视男生人数约3n，女生人数约5n，近视女生人数约1n，所以任取一名中学生其近视的概率为P=3n+1n12n=13由题意可知，随机变量

11、XB(4，13)，且X的所有可能取值为0、1、2、3、4，P(X=k)=C4k(13)k(113)4k，P(X=0)=(113)4=1681，P(X=1)=C4113(113)3=3281，P(X=2)=C42(13)2(113)2=827，P(X=3)=C43(13)3(113)=881，P(X=4)=(13)4=181随机变量X的分布列为：X01234P16813281827881181所以随机变量X的数学期望E(X)=413=4321【答案】（1）解：抛物线C：y=ax2(a0)化为标准方程为：x2=1ay，其焦点F(0，14a)，因为斜率一定存在，设其方程为y=k1x+14a，联立方程

12、得：y=k1x+14ax2=1ay，整理得：x2k1ax14a2=0，0恒成立其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=k1a，y1+y2=k1(x1+x2)+12a=k12a+12a，因为焦点弦长|AB|=y1+y2+12a=k12a+1a，所以当k12=0时，弦长|AB|min=1a=2所以，实数a的值为12（2）解：由题意可知直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+t(t0)联立方程得：y=kx+tx2=2y，整理得：x22kx2t=0，=4k2+8t0其中P(x3，y3)，Q(x4，y4)，x3+x4=2k，x3x4=2t，因为以PQ为直径的圆经过点O，所以OPOQ=0又因为

13、OPOQ=x3x4+y3y4=x3x4+x322x422=2t+4t24=2t+t2=0，t0，t=2所以直线PQ过定点T(0，2)，又因为OMPQ，所以OMT为直角三角形，所以当N为斜边OT中点时，|MN|为定值，此时|MN|=12|OT|=1所以定点N为(0，1)，|MN|为定值122【答案】（1）解：由题意得：f(x)=(x+1)exaxa=(x+1)(exa)；f(x)在R上单调递增，f(x)0恒成立且f(x)不恒为零；当x1时，x+10，则exa0，aex，ae1=1e；当x=1时，f(1)=0；当x1时，x+10时，f(x)+12ax22xlnx=xex(a+2)xlnx10，a+

14、2exlnxx1x；令g(x)=exlnxx1x，则g(x)=ex1lnxx2+1x2=x2ex+lnxx2；令(x)=x2ex+lnx，则(x)=x(x+2)ex+1x0，(x)在(0，+)上单调递增，又(1)=e0，(1e)=1e2e1e1=e1e210，x0(1e，1)，使得(x0)=0；则当x(0，x0)时，(x)0，即g(x)0，即g(x)0；g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+)上单调递增，g(x)min=g(x0)=ex0lnx0x01x0；由(x0)=0得：lnx0=x02ex0，则ln(lnx0)=2lnx0+x0，ln(lnx0)+(lnx0)=lnx0+x0，又

15、y=lnx+x在(0，+)上单调递增，lnx0=x0，ex0=1x0，g(x)min=g(x0)=1x0x0x01x0=1，a+21，解得：a1，即实数a的取值范围为(，1.若选条件，方法一：当x0时，f(x)+12ax2alnx=xexaxalnx10，令g(x)=xexaxalnx1，则g(x)0；i.当a0时，g(1e)=1ee1eae1+a=e1e1+a(11e)10时，g(x)=(x+1)exaax=(x+1)(xexa)x；令(x)=xexa，则(x)=(x+1)ex0，(x)在(0，+)上单调递增，又(0)=a0，x0(0，a)，使得(x0)=0；则当x(0，x0)时，(x)0，

16、即g(x)0，即g(x)0；g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+)上单调递增，g(x)min=g(x0)=x0ex0ax0alnx01；由(x0)=0得：x0ex0=a，则lnx0+x0=lna，g(x)min=aalna10，即lna+1a10；令(a)=lna+1a1，则(a)=1a1a2=a1a2，当a(0，1)时，(a)0；(a)在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，(a)(1)=0，即lna+1a10；lna+1a1=0，则a=1，即实数a的值为1.方法二：当x0时，f(x)+12ax2alnx=xexaxalnx10，即x0时，xexa(x+lnx)+1，即ex

17、+lnxa(x+lnx)+1；y=x+lnx为(0，+)上的增函数且值域为R，令t=x+lnx，则对于tR，etat+1，即etat10恒成立；令F(t)=etat1；i.当a0时，F(1)=1e+a10时，F(t)=eta，由F(t)=0得：t=lna，当t(，lna)时，F(t)0；F(t)在(，lna)上单调递减，在(lna，+)上单调递增，F(t)min=F(lna)=elnaalna1=aalna10，即lna+1a10；令(a)=lna+1a1，则(a)=1a1a2=a1a2，当a(0，1)时，(a)0；(a)在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，(a)(1)=0，即lna+1a10；lna+1a1=0，则a=1，即实数a的值为1