Chapter54角动量不可约张量算符课件.ppt

1、2022年8月8日星期一12时14分23秒19 9年年2 2月月第五章第五章 不可约张量算符不可约张量算符2022年8月8日星期一12时14分23秒25.4.1不可约张量算符的定义不可约张量算符的定义及其代数运算规则及其代数运算规则Irreducible Tensor2022年8月8日星期一12时14分23秒3引言引言坐标系转动时物理量各有一定的坐标系转动时物理量各有一定的变换规律变换规律，)()()(rPrVrxyzT动量速度坐标温度电四极矩张量转动惯量张量，)(rV位能按坐标系转动下的变换规律将按坐标系转动下的变换规律将物理量分类物理量分类标量标量，矢量（一阶张量）矢量（一阶张量），二阶张

2、量二阶张量将物理量将物理量算符算符同样分类同样分类标量标量算符，算符，一阶张量一阶张量算符，算符，二阶张量二阶张量算算符符2022年8月8日星期一12时14分24秒4引言引言算符的表示依赖于坐标系的选择算符的表示依赖于坐标系的选择笛卡儿坐标系，球坐标系，笛卡儿坐标系，球坐标系，不同坐标系的基矢通过不同坐标系的基矢通过幺正变换幺正变换相联系相联系zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin2022年8月8日星期一12时14分24秒5一、球基矢一、球基矢在量子力学中为计算方便引入在量子力学中为计算方便引入球基矢球基矢101,与笛卡儿坐标系基矢的关系

3、与笛卡儿坐标系基矢的关系zyxiieee01000221221101逆变换逆变换10122212101000iizyxeee2022年8月8日星期一12时14分24秒6一、球基矢一、球基矢性质性质mmm)1(*正交归一条件正交归一条件mnnmijjiee*练习：练习：证明上式证明上式2022年8月8日星期一12时14分24秒7二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示坐标向量坐标向量zyxezeyexr01212121121)()(zyxii1210121)()(iyxziyx*121*0*121)()(iyxziyx)(*111*010*11134YYYrmmmmmmrYrrYr)

4、()(*134*134),(r其中2022年8月8日星期一12时14分24秒8二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示在球基矢下坐标向量算符的分量为在球基矢下坐标向量算符的分量为)()(1134211rrYiyxr)(10340rrYzr)()(1134211rrYiyxr在坐标系转动下按如下规律变换在坐标系转动下按如下规律变换1)(mmmmmrDr2022年8月8日星期一12时14分24秒9二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示mmmAA*)(211yxAiAAzAA0)(211yxAiAA在坐

5、标系转动下的变换规律在坐标系转动下的变换规律),()(),()(1nmnmdnUAdnUA1)(mmmmAD2022年8月8日星期一12时14分25秒10三、不可约张量算符的定义三、不可约张量算符的定义如下变换的算符称为如下变换的算符称为一阶一阶不可约张量算符不可约张量算符11111)(),()(),()(mmmmnmnmTDdnUTdnUT进而定义进而定义 l 阶阶不可约张量算符不可约张量算符1)(),()(),()(mlmlmmnlmnlmTDdnUTdnUT逆变换逆变换*)()(mlmlmmlmTDT2022年8月8日星期一12时14分25秒11四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约

6、张量算符的代数运算规则加法加法：两个：两个 l 阶不可约张量算符之和阶不可约张量算符之和仍为仍为 l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符证明证明),()()(),(121nlmlmndnUTTdnU1211)()(UTUUTUlmlm21)()(mlmlmmmlmlmmTDTD21)()(mlmlmlmmTTD阶不可约张量算符为lTTTlmlmlm)()()(21212022年8月8日星期一12时14分25秒12四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则乘法和收缩乘法和收缩两个张量算符的乘法和收缩按下式定义两个张量算符的乘法和收缩按下式定义)()()(21212211212

7、211mlmlmmLMmlmlLMTTCT|,1,212121llllllL收缩乘法2121llLllL；2022年8月8日星期一12时14分25秒13四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则乘法和收缩乘法和收缩阶不可约张量为证明LTLM)(211211121)()()(2211212211UTUUTUCUTUmlmlmmLMmlmlLM222222111111212211)()(21llmllmmmLMmlmlTDTDC)()(21221122211121212211lllmlmmmLMmlmlTTDDC)()(21221121221121221121212211ll

8、LMMLmlmlLLllmmLMmlmlTTDCCC 2022年8月8日星期一12时14分25秒14四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则乘法和收缩乘法和收缩121)(UTULM)()(2122112121212211llLMLLLLllTTDC)()(2122112121212211llLMLllTTDC)()(2112111121121llLllLMTTCD令)(21LLMTD阶不可约张量为LTLM)(212022年8月8日星期一12时14分25秒15五、零阶张量算符及张量算符的标量积五、零阶张量算符及张量算符的标量积当当lll21时可收缩得到时可收缩得到零阶张量

9、零阶张量)()()(21002100mllmmmlmlTTCT)()(121121mllmlmmlTT）（)()()1()(12)1(212100mllmmmlTTTl 左左=常数常数零阶张量，在转动下不变零阶张量，在转动下不变右亦然右亦然称式右为两个称式右为两个 l 阶不可约张量的阶不可约张量的标量积标量积记为记为)()()1()()(2121mllmmmllTTTT 2022年8月8日星期一12时14分25秒16五、零阶张量算符及张量算符的标量积五、零阶张量算符及张量算符的标量积一阶不可约张量一阶不可约张量熟知的标量积形式熟知的标量积形式例：两个坐标矢量的标量积例：两个坐标矢量的标量积11

10、0011)1(rrrrrrrrrrmmmm)()(221221221221yxyxzzyxyxiiiizzyyxx2022年8月8日星期一12时14分25秒17六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义Giulio(Yoel)Racah(1909-1965)Israeli physicist&mathematician满足下式的满足下式的 2l+1 个算符为个算符为 l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符lmlmzlmlmTmTJTmmllTJ,)1()1(,12022年8月8日星期一12时14分25秒18六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义两种定义的两种定

11、义的等价性等价性dz 轴转无穷小角考虑绕)1(ziziJdUJdU111；)1(|1|)(mmzilmmmidlmJdlmD代入代入1)()()(mlmlmmlmTDUTUlmzilmziTmidJdTJd)1()1()1(lmzlmlmziTmidJTTJdlmlmzTmTJ,2022年8月8日星期一12时14分25秒19六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义dx 轴转无穷小角考虑绕)12(xixiJdUJdU111；lmJJdlmlmUlmDilmm|)(1|21)1()1(12122mmmmimmmmlmmld)1(*2 lll代入代入1)()()(mlmlmmlmT

12、DUTU)()()1)()1(mlmlmmxilmxiTDJdTJd)1()1(12122lmlmilmTmmlTmmldT)1()1(,12122lmlmlmxTmmlTmmlTJ2022年8月8日星期一12时14分25秒20六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义dy 轴转无穷小角考虑绕)22(yiyiJdUJdU111；lmJJdlmlmUlmDiilmm|)(1|21)1()1(121221mmmmmmmmlmmld)1(*2 lll代入代入1)()()(mlmlmmlmTDUTU)()()1)()1(mlmlmmyilmyiTDJdTJd)1()1(121221lm

13、lmlmTmmlTmmldT)1()1(,12122lmlmilmyTmmlTmmlTJ2022年8月8日星期一12时14分25秒21六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义综合以上结果得综合以上结果得112)1()1()1(,lmlmlmylmxlmTmmllTmmlTJiTJTJ112)1()1()1(,lmlmlmylmxlmTmmllTmmlTJiTJTJ1)1()1(,lmlmTmmllTJ2022年8月8日星期一12时14分26秒22六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义另一写法另一写法 利用角动量算符在球基矢上的表示利用角动量算符在球基矢上的

14、表示mmmJJ*JJ iJJJJJJ iJJyxzyx)()(21211021211于是于是121101211)1()1(,)1()1(,lmlmlmlmlmlmTmmllTJTmTJTmmllTJ2022年8月8日星期一12时14分26秒23六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义而而1)1()1(01)1()1(2/1212/121)1(11mmllmmmllClllmlmlmlmlmlmTCllTJ1)1(,又因又因lmlmlmlmCC11)1(lmlmlmlmTCllTJ1)1()1(,2022年8月8日星期一12时14分26秒24六、不可约张量算符的六、不可约张量算

15、符的Racah定义定义又又1211101211)1()1()1()1(jmjmjmjmjmjmmmjjJmJmmjjJ也可统一写为也可统一写为jmjmjmjmCjjJ1)1(2022年8月8日星期一12时14分26秒255.4.2不可约张量算符的实例不可约张量算符的实例2022年8月8日星期一12时14分26秒26一、常见算符一、常见算符可用拉卡定义判断可用拉卡定义判断是否不可约张量算符是否不可约张量算符、坐标算符坐标算符与球谐函数相关，后者既是与球谐函数相关，后者既是函数，又是不可约张量算符函数，又是不可约张量算符zlmlmzlmlmzlmzLYYmLYYLYL)()(lmlmzlmlmzY

16、mYLYmYL,LYYLYLlmlmlm)()(LYYmmlllmlm 12/1)1()1(12/1)1()1(,lmlmYmmllYL2022年8月8日星期一12时14分26秒27一、常见算符一、常见算符将坐标重新组合可构成不可约张量算符将坐标重新组合可构成不可约张量算符一阶一阶1134211)(rYiyxr10340rYzr1134211)(rYiyxr二阶二阶22254222123Yrixyyx）（2125423Yriyzxz2025422213Yrrz）（1225423Yriyzxz22254222123Yrixyyx）（2022年8月8日星期一12时14分26秒28一、常见算符一、常

17、见算符、角动量及动量算符角动量及动量算符角动量算符在球基矢上的表示角动量算符在球基矢上的表示;1,0,1*mmmJJ;1,0,1*mmmLL1,0,1*mmmSS利用利用zzJJJJJJ2,;,可证可证,mmmSLJ均为一阶不可约张量算符均为一阶不可约张量算符11211)(TJ iJJyx100TJJz11211)(TJ iJJyx2022年8月8日星期一12时14分26秒29一、常见算符一、常见算符、角动量及动量算符角动量及动量算符动量算符在球基矢上的表示动量算符在球基矢上的表示;1,0,1*mmmPP其分量其分量11211)(TPiPPyx100TPPz11211)(TPiPPyx也是一阶

18、不可约张量算符也是一阶不可约张量算符2022年8月8日星期一12时14分26秒30一、常见算符一、常见算符以上各向量算符，若用符号以上各向量算符，若用符号1T统一表示统一表示则它们在球基矢上的分量则它们在球基矢上的分量)1,0,1(1mTm都是都是一阶不可约张量算符，且具有如下性质一阶不可约张量算符，且具有如下性质mmmTT1*1)1(或或*11)1(mmmTTl 阶不可约张量算符阶不可约张量算符)(rYlm也具有这个性质也具有这个性质*)1(;)1(mlmlmmlmlmYYYY一般的为一般的为*)1(;)1(mlmlmmlmlmTTTT2022年8月8日星期一12时14分26秒31二、不可约

19、张量算符的厄米共轭二、不可约张量算符的厄米共轭不可约张量算符满足不可约张量算符满足1)()(mlmlmmlmTDUTU两端取厄米共轭两端取厄米共轭*)()()()(mlmlmmmmmlmlmmlmTDTDUTU)()()()(mlmmlmmlmmTDUTU)()()()(mmlmlmmmlmTDUTU定义定义厄米共轭算符的为lmmlmlmTTT)(若若lmlmTT自共轭张量算符自共轭张量算符2022年8月8日星期一12时14分26秒32三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符微观粒子间相互作用能都具有转动不变性微观粒子间相互作用能都具有转动不变性位能算符必为位能算符必为零阶张量零阶张量算符

20、，算符，或两个或两个同阶张量同阶张量算符的算符的标量积标量积设设212121;|;|SSSLLLrrr则则最一般的位能形式最一般的位能形式为为12210)()()()()(SrVSLrVrVrVrsVTLSz 标量标量力力 自旋自旋力力自旋自旋轨道轨道耦合力耦合力 张量张量力力2022年8月8日星期一12时14分26秒33三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符上式中上式中)1(321)(12221rrrS)2(262)(22SrrS mmmmSY)3()(6221581)2)221412)()()(rrrS)(2)()(21222141rrrr)()()(2)(222121221rrrS

21、rr22)(2rrS又又32)(221S2022年8月8日星期一12时14分26秒34三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符2)3)mmmmYSrrS134)1(112342)1()(mmmm mmmmYSYSrrS 11010102,0)12(433234)1(mLmmLmmmLLLmmmmmmYCCSSr)1(42211201010510000110010102mmmmmmmmmmmmmmYCCYCCSSr 2022年8月8日星期一12时14分27秒35三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符2)3)（续）（续）)1(4)(22113251413131221mmmmmmmmmmm

22、mmmYCSSrrSm）（MmMmmmMmMMMmmmmrCSSYrSS 211221583)1()1(2MMMMrSYrSrS 222158232)1()(22022年8月8日星期一12时14分27秒365.4.3Wigner-Eckart定理定理2022年8月8日星期一12时14分27秒37一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明如何计算不可约张量算符在角动量本征函如何计算不可约张量算符在角动量本征函数间的矩阵元？数间的矩阵元？两个定理两个定理 W-E定理：不可约张量算符在角动量表象定理：不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可写为中的矩阵元可写为jTjCjmTmjLMmjjmLMLM|jT

23、jLM|与磁量子数无关与磁量子数无关约化矩阵元约化矩阵元2022年8月8日星期一12时14分27秒38Eugene Paul WignerBorn:1902 in BudapestDied:1995 in PrincetonReceived the Nobel Prize for Physics in 1963Wigner:The promise of future science is to furnish a unifying goal to mankind rather than merely the means to an easy life,to provide some of wh

24、at the human soul needs in addition to bread alone.2022年8月8日星期一12时14分27秒39一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明此定理表明此定理表明1)仅当仅当Mmm|,1,LjLjLjj或称满足或称满足)(jLj矩阵元才不为零矩阵元才不为零2)在特定磁量子数在特定磁量子数m下算出约化矩阵元下算出约化矩阵元 的值的值/|mjLMmjLMLMCmjTmjjTj可进而算出任意可进而算出任意m下的矩阵元下的矩阵元2022年8月8日星期一12时14分27秒40一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明证明证明第一步第一步 设设)()(jmLMm

25、MJMjmLMJMTCJJ则则)(JJM一定是角动量本征函数一定是角动量本征函数且有且有)()(*JJJJJJMMJMMJMD证证：因因)()(*LMMLMMLMTDT又又)()(*jmmjmmjmD)()()(*jmLMmMjmmLMMMmJMjmLMJMTDDCJJ 2022年8月8日星期一12时14分27秒41一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明)()()(*jmLMmMjmmLMMMmJMjmLMJMTDDCJJ)()(*jmLMMmmMJJMMmmMmJLMjmMmJjmLMJMjmLMTDCCCJ)()(*jmLMJMmMMmJMmJLMjmJJTDCJ*)()(MmjmLMJ

26、MmMMJmLMjmTDCJ*)()(JJJJJJJMmjmmLMJMmLMjmJMMMmMTCD令*)()(JJJJJMJMJMMJMD2022年8月8日星期一12时14分27秒42一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明第二步第二步 改写改写)(|)(|jmLMmMJMjmLMJMTCJJ以以|)(mj作用于上式两端作用于上式两端jmLMmjmMJMjmLMJMmjTCJJ|)(|由由C-G系数幺正性可得系数幺正性可得反展开式反展开式jmTmjTLMjmLMmj|)(|MmMCJJJMmjJMjmLMJJ2022年8月8日星期一12时14分27秒43一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明

27、又又dJJJMmjJMmj)()(|*)()()()(*dDDJJJJJMmjJMMmMjmm 利用了转动变换下利用了转动变换下dd两边对欧拉角积分两边对欧拉角积分20020sinddd1282|82JJJJJJMmjMmMmMmJjjJMmj121|JJJJJMJMMjMmJjjJMmj2022年8月8日星期一12时14分27秒44一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明代入代入JJJJMJMmjJMjmLMjmLMmjCT|JMJMMjMmJjjJMjmLMJJJJJC121|121|JJJMMjMjjmjjmLMC 即即|jTjCjmTmjLmjjmLMLM 其中其中121|JJJMMj

28、MjjLjTj证毕证毕2022年8月8日星期一12时14分27秒45二、计算几个有用的矩阵元二、计算几个有用的矩阵元)12(4)12)(12(0 00|)1llLlLlmllmLMLMCClmYml)12(4)12)(12(0 00|llLlLlLMClTljmjmjmjmCjjJ1)1()2利用mmjjjmjmCjjjmJmj1)1(|jjjmjmjjCjJj1)1(|jTjCjmTmjmjjm|)300000零阶张量的约化矩阵元与矩阵元零阶张量的约化矩阵元与矩阵元相同且只有对角元相同且只有对角元2022年8月8日星期一12时14分27秒465.4.4一阶张量投影定理一阶张量投影定理2022

29、年8月8日星期一12时14分27秒47一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明一阶不可约张量算符在角动量表象下的一阶不可约张量算符在角动量表象下的矩阵元可表为矩阵元可表为211)1(|(|jjjmTJJjmjmTjmMM）证明证明 11)1(TJTJ jmTJJjmjmTJJjmMM|)1(|)(|11 jmTmjmjJmjmjJjmmjmjM|)1(12222111111222022年8月8日星期一12时14分27秒48一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明证明（续）证明（续）jmTmjjjCjjCjjmjmjmjmjjjjmMmj|)1()1()1(1221111211122112211

30、1 jTjCCCjjjmjmjmjmjmMjmmm|)1()1(11112212121 jTjCCCjjMjmjmMjmMjmjmMMjm|)1()1(11112 jTjCCCjjjmjmjmjmjmMjm|)1()1(11112 jmjmjmjmjmMjmCCjTjCjj11112)1(|)1(jmTjmjjjmTJJjmMM|)1(|)(|1212022年8月8日星期一12时14分27秒49一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明又又jmTJJjmM|(|1）jmTJmjmjJjmmjM|)(|11111111111|)(|1111mmjjmjMjTJjmjJjmjmTJjmjmJjmM|

31、)(|1利用了零阶张量的矩阵元公式利用了零阶张量的矩阵元公式代入一阶张量投影定理表达式代入一阶张量投影定理表达式211)1(|)(|jjjmTJjmjmJjmjmTjmMM2022年8月8日星期一12时14分27秒50二、定理的应用二、定理的应用计算微观粒子的磁矩计算微观粒子的磁矩磁矩算符磁矩算符)(0SgLgSL玻尔磁子玻尔磁子质子电子cMecmepe220g因子因子电子中子质子282.358.5101slgg2022年8月8日星期一12时14分27秒51二、定理的应用二、定理的应用磁矩在球基矢上的表示为磁矩在球基矢上的表示为*MMM)(0mSmLmSgLg为一阶不可约张量为一阶不可约张量设

32、设jm为为222zJJSL的共同本征函数的共同本征函数即即)()()(zmmmlmjmsmlmzjmsYCsslslsl或记为或记为smmljmsmlmsmlmCjmslsl|求磁矩平均值求磁矩平均值？jmjmM|2022年8月8日星期一12时14分27秒52二、定理的应用二、定理的应用解：根据解：根据W-E定理定理jjCjmjmjmMjmM|11仅当仅当M=0时，平均值才不为零时，平均值才不为零故只需计算故只需计算jmjm|0由由投影定理投影定理二式二式200)1(|)(|jjjmJjmjmJjmjmjm2)1(|)(|jjjmJjmm2022年8月8日星期一12时14分27秒53二、定理的应用二、定理的应用解（续）解（续）因因)(0SJgLJgJSL)()(222222021LSJgSLJgSL)()(222021SLggJggSLSL20)1(|)(|jjjmJjmmjmjm)1()1()1()(021jjssllggggmSLSL