北京市西城区高三数学一模试卷（附答案）.pdf

1、 高三数学一模试卷 高三数学一模试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）AB2CD2复数的共轭复数（）ABCD3设，则（）ABCD4在 的展开式中，常数项为（）A-120B120C-160D1605若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）ABCD6已知向量满足，.则（）A5BC10D7已知点为圆上一点，点，当 m 变化时，线段长度的最小值为（）A1B2CD8将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，则（）ABCD9在无穷等差数列中，公差为 d，则“存在，使得”是“（）”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件

2、D既不充分也不必要条件10如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的 2 倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（）A在区间上是增函数B恰有 2 个零点C的最小值为-2D的图象关于点中心对称二、填空题二、填空题11若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则 .12已知数列满足（），为其前项和，若，则 .13如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：；.以其中的一个论断作为条件，另

3、一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.14已知函数，给出下列四个结论：若，则函数至少有一个零点；存在实数，使得函数无零点；若，则不存在实数，使得函数有三个零点；对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点.其中所有正确结论的序号是 .15调查显示，垃圾分类投放可以带来约 0.34 元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分 1 分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照 0.1 元/分进行自动兑换.当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换 元；为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃

4、圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为 .三、解答题三、解答题16在中，.（1）求的大小；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.条件：，；条件：，；条件：，.17如图，四边形是矩形，平面，平面，点在棱上.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若点到平面的距离为，求线段的长.182021 年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条段数为历年最多.12 月 31 日首班车起，地铁 19 号线一期开通试运营.地铁 19 号线一期全长约 22 公里，共设 10 座车站，此次开通牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫共 6 座车站.在试运

5、营期间，地铁公司随机选取了乘坐 19 号线一期的 200 名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：下车站上车站牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计牡丹园/5642724积水潭12/20137860牛街57/38124草桥1399/1638新发地410162/335新宫25543/19合计363656262125200（1）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；（2）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；（3）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘

6、客的上下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上下车情况，直接写出方差，大小关系.19已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点.如果成立，求的值.20已知函数，.（1）当时，求曲线在处的切线方程；求证：在上有唯一极大值点；（2）若没有零点，求的取值范围.21如果无穷数列是等差数列，且满足：、，使得；，、，使得，则称数列是“数列”.（1）下列无穷等差数列中，是“数列”的为 ；（直接写出结论）、（2）证明：若数列是“数列”，则且公差；（3）若

7、数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式.答案解析部分答案解析部分1【答案】A2【答案】B3【答案】D4【答案】C5【答案】A6【答案】B7【答案】C8【答案】D9【答案】B10【答案】B11【答案】212【答案】12413【答案】若，则；若，则.14【答案】15【答案】13；3616【答案】（1）解：在中，因为，所以由正弦定理可得因为，所以.所以，在中，所以，因为，所以.（2）解：选条件：因为在中，所以.因为，所以.设边上高线的长为，则.选条件：由余弦定理可得，整理可得，解得或，此时不唯一；选条件：由余弦定理得，所以.所以为等腰三角形，.设边上高线的长为，则.17【答案】（1）证明：在

8、矩形中，.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以平面.又因为平面，平面，所以平面平面.因为平面，所以平面.（2）解：因为平面，平面，平面，所以，又因为是矩形，所以、两两垂直，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，所以，.设平面的一个法向量为，则，取，可得，取平面的一个法向量为，则，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是.（3）解：设，则，所以，因为点到平面的距离.因为，解得，故.18【答案】（1）解：设选取的乘客在积水潭站上车在牛街站下车为事件，由已知，在积水潭站上车的乘客有 60 人，其中在牛街站下车的乘客有 20 人，所以.（2）解

9、：由题意可知，；.随机变量的分布列为0123所以随机变量的数学期望为.（3）解：.（两点分布：）19【答案】（1）解：由题设得，解得，所以椭圆的方程为.（2）解：若，则的中点为点，则线段的垂直平分线为轴，不合乎题意，故，由得，由，得.设、，则，所以点的横坐标，纵坐标，所以直线的方程为.令，则点的纵坐标，则，因为，所以点、点在原点两侧.因为，所以，所以.又因为，所以，解得，所以.20【答案】（1）解：若，则，.在处，.所以曲线在处的切线方程为.令，在区间上，则在区间上是减函数.又，所以在上有唯一零点.列表得：+0-极大值所以在上有唯一极大值点.（2）解：，令，则.若，则，在上是增函数.因为，所以

10、恰有一个零点.令，得.代入，得，解得.所以当时，的唯一零点为 0，此时无零点，符合题意.若，此时的定义域为.当时，在区间上是减函数；当时，在区间上是增函数.所以.又，由题意，当，即时，无零点，符合题意.综上，的取值范围是.21【答案】（1）、（2）证明：若，则由可知，所以或，且公差，以下设.由，、，两式作差得，因为，所以.由，、，两式作差得，因为，所以，因此，.若，则等差数列是递减数列，由为中的项，因此，解得，由且公差，所以或，由，为中的项，且，这与等差数列递减矛盾，因此，不成立.综上，且公差.（3）解：因为公差，所以，即是递增数列.若，因为，所以，则，且，由为中的项，这与等差数列是递增数列矛盾.因此，又由（2），故.由，知，且中存在一项为正整数，取最小的正整数项.则由，使得且，.因此，解得，又，故.因为是递增数列，（i）若，则，此时.因为，令，有，且，所以满足条件.因为，令，有，所以满足条件.（ii）若，则，.因为，.令，则，且，所以满足条件.因为，令，有，所以满足条件.综上，或.