湖南省衡阳市高三下学期数学二模试卷（附答案）.pdf

1、 高三下学期数学二模试卷 高三下学期数学二模试卷一、单选题一、单选题1设集合，则（）ABCD2已知复数，则的虚部为（）AB-2C2D3演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是（）A中位数B平均数C方差D极差4设、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则5某学校安排音乐阅读体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲乙丙丁 4 位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报

2、的情况下，4 位同学所报项目各不相同的概率等于（）ABCD6公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为 0.618，这一数值也可以表示为 m2sin 18，若 m2n4，则（）A8B4C2D17设分别是的内角的对边，已知，设是边的中点，且的面积为 1，则等于（）A2BCD-28已知定义在上的奇函数恒有，当时，已知，则函数在上的零点个数为（）A4 个B5 个C3 个或 4 个D4 个或 5 个二、多选题二、多选题9下列结论中正确的是（）A在中，若，则B在中，若，则是等腰三角形C两个向量共线的充要条件是存在实数，使D对于非零向量，“”是“”的充分不必

3、要条件10函数（其中的部分图象如图所示将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A函数为奇函数B函数在上单调递减C函数为偶函数D函数的图象的对称轴为直线11圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知、分别是双曲线的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是（）ABC点到轴的距离为D的角平分线所在直线的倾斜角为 15012已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（）A点到

4、平面的距离为B正方体外接球的体积为C面截正方体外接球所得圆的面积为D以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于三、填空题三、填空题13二项式的展开式中常数项是 .14函数，则曲线在处的切线方程为 .15意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以 3 的余数构成一个新数列，则数列的前 2022 项的和为 .16已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是 .四、解答题四、解答题17已知数列是

5、递增的等差数列，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）；.从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和.18如图，在四边形中，与相交于点平分.（1）求；（2）若，求的面积.19如图，已知圆台的下底面半径为 2，上底面半径为 1，母线与底面所成的角为为母线，平面平面为的中点.（1）证明：平面平面；（2）当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.20随着近期我国不断走向转型化进程以及社会就业压力的不断加剧，创业逐渐成为在校大学生和毕业大学生的一种职业选择方式.但创业过程中可能会遇到风险，有些风险是可以控制的，有些风险不可控制的，某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策：已知创业项

6、目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金 20 万元：创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金 30 万元：项目没有成功则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励.（1）大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为（单位：万元），若的概率为，求的大小：（2）若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的数学期望最大？21设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为.证明直

7、线恒过定点，并求出该点坐标；求面积的最大值.22已知函数，其中.（1）若，求函数的极值；（2）设.若在上恒成立，求实数的取值范围.答案解析部分答案解析部分1【答案】C2【答案】B3【答案】A4【答案】A5【答案】C6【答案】C7【答案】B8【答案】D9【答案】A,D10【答案】A,B,C11【答案】A,D12【答案】B,C,D13【答案】-67214【答案】4x-2y+e=015【答案】227616【答案】17【答案】（1）解：是递增的等差数列，数列的公差，由题意得：解得：，（2）解：选时，则，两式作差得：选时，.，选时，.18【答案】（1）解：在中，由余弦定理得，所以.由正弦定理得，.即.又

8、因为平分，所以.（2）解：在中，由正弦定理得，即，所以又由余弦定理得，即，解得.所以19【答案】（1）证明：过点作平面的垂线，垂足为，如图，则是的中点，所以.又，所以.连接，因为，所以为等边三角形.因为点为的中点，所以因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.又因为平面平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，即取，得，所以，又，所以所以直线与平面所成角的正弦值为.20【答案】（1）解：由已知得张某创业成功的概率为，李某创业成功的概率为，且两人创业成功与否互不影响.记“这 2

9、 人的累计获得奖金为（单位：万元）”的事件为，则事件的对立事件为“”因为，所以，求得（2）解：设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为，都选择创业项目乙且创业成功的次数为，则这两人选择项目甲累计获奖得奖金的数学期望为，选择项目乙累计获奖得奖金的数学期望为.由已知可得，所以，从而.若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得.综上所述，当时，他们都选择项目甲进行创业时，累计得到奖金的数学期望最大；当时，他们都选择项目乙进行创业时，累计得到奖金的数学期望是大；当时，他们都选择项目甲或项目乙进行创业时，累计得到奖金的数学期望相等.21【答案】（1）解：由于，又，由解得，椭圆的方程为.（2）解：

10、在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消去得：，设，则，.又，由题知，则，且，则.，则，或当时，直线的方程为，此时直线过定点，显然不适合题意，当时，直线的方程为.此时直线过定点.当直线的斜率不存在时，若直线过定点，点的坐标分别为.满足.综上，直线过定点.不妨设直线过定点为.则的面积，设直线的方程为，联立椭圆的方程消去得，则所以.令，则因为，所以（当且仅当即），所以，即面积的最大值为.22【答案】（1）解：当时，定义域为.则令，解得：（舍去），当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值.（2）解：已知，若在上恒成立，即在上恒成立.构造函数，则令（i）若，可知恒成立.在上单调递增.当，即时，在上恒成立，即在上恒成立.在上恒成立，满足条件.当即时，存在唯一的，使得.当时，即在单调递减.，这与矛盾.（ii）若，由，可得（舍去），易知在上单调递减.在上恒成立，即在上恒成立.在上单调递减.在上恒成立，这与矛盾.综上，实数的取值范围为.