1、天津市南开区 2022 届高三下学期一模数学试题天津市南开区 2022 届高三下学期一模数学试题一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABCD2设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3函数的图象可能是（）ABCD4某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图若该区有 40 万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（）A4.8 万B6 万C6.8 万D12 万5已知直线与圆相交于 A，B 两点，若，则 m 的值为（）ABCD6已知，则 a，b，c
2、的大小关系是（）ABCD7已知双曲线的与抛物线的一个交点为 M若抛物线的焦点为 F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）AB2CD8将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法错误的是（）A函数是奇函数B函数的图象的一条对称轴方程为C函数的图象的一个对称中心为D函数在上单调递减区间是9已知函数若函数的图象经过四个象限，则实数 k 的取值范围是（）ABCD二、填空题二、填空题10若复数 z 满足，则 z 的虚部为 11的展开式中的项系数为 ；12一个三角形的三边长分别为 3、4、5，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为 13若，则的最小值为 14某质检员对一批设备的性能进行抽检，第
3、一次检测每台设备合格的概率是 0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是 0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为 ；检测 3 台设备，则至少 2 台合格的概率为 15在ABC 中，则 ；若 M 是ABC 所在平面上的一点，则的最小值为 三、解答题三、解答题16在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且，（1）求 c；（2）求的值；（3）求的值17如图，P，O 分别是正四棱柱上、下底面的中心，E 是 AB 的中点，（1）求证：平面 PBC；（2）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值；（
4、3）求平面 POC 与平面 PBC 夹角的余弦值18已知椭圆的离心率为，是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且的周长是 6过点的直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，点 B 在 A，M 之间，又线段 AB 的中点横坐标为（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求的值19已知数列满足，其前 5 项和为 15；数列是等比数列，且，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，证明：；（3）比较和的大小20设函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求 a 的取值范围；（3）当时，若，求证：答案解析部分答案解析部分1【答案】B2【答案】A3【答案】C4【答案】B5【答
5、案】D6【答案】C7【答案】D8【答案】C9【答案】A10【答案】311【答案】-8012【答案】13【答案】14【答案】0.1；0.97215【答案】；16【答案】（1）解：由余弦定理得，（2）解：由正弦定理，得，解得，A 为锐角，（3）解：由(2)可得，17【答案】（1）证明：以点 O 为原点，直线 OA，OB，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由上得，设平面 PBC 的法向量为，则由得取，得，因为，所以，又平面 PBC，所以平面 PBC（2）解：由（1）知平面 PBC 的法向量为，因为，所以，所以直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为（3）解：
6、显然，平面 POC 的法向量为，由（1）知平面 PBC 的法向量为，设平面 POC 与平面 PBC 的夹角为，则18【答案】（1）解：由离心率，可得，又因为的周长是 6，所以，所以，故，所以椭圆的标准方程是（2）解：设点，点若直线轴，则直线 l 不与椭圆 C 相交，不合题意当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时，设直线 l 的方程为由消去 y 得，由的判别式，解得，由，可得将代入方程，得，则，所以19【答案】（1）解：因为，所以数列是公差为 1 的等差数列，因为的前 5 项和为 15，所以，所以，解得，所以设等比数列的公比为 q，依题意，又，可得，解得，所以（2）证明：由（1）得，所以，故
7、（3）解：记，-得，所以，当时，当时，当时，当时，因为，所以，综上，20【答案】（1）解：当时，依题意，可得，又，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）解：由，得，两边取对数可得，则有两个极值点等价于方程有两个不等正根令，当时，在上单调递增，所以没有两个不等正根，从而没有两个极值点当时，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以由，得，又取，因为在上单调递增，所以在有一个零点；取，因为在上单调递减，所以在有一个零点所以，当时，有两个零点，从而有两个极值点（3）证明：当时，不等式即为因为，的所以，故只需证明，即证明令，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以令，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以，所以，若，则即当时，若，不等式成立
