1、上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1已知，则= .2函数的反函数为 .3若直线和互相垂直，则实数 .4若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则 .5已知，则行列式的值等于 .6已知，则 .7在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 . 8已知实数x，y满足，则的最大值为 .9若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是 .10三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 (结果用分数表示)11已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴
2、的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为 .12若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则的取值范围是 .二、单选题13设，则“且”是“且”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14数列为等差数列，且公差，若，也是等差数列，则其公差为（）A1gdB1g2dClgD1g15椭圆C：的左、右顶点分别为，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A，B，C，1D，116定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径
3、”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（）ABCD三、解答题17如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且ABCD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.18已知函数，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.19如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD
4、的面积S最大？最大值为多少？20已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.（1）若椭圆短轴长为2且经过点（1，），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若，求OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得PST=QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.21已知a为实数，数列满足：；.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列为周期数列.（1）当时，求的值；（2）求证：存在正整数n，使得；（3）设是数列的前n项和，是否存在实数a满足：数列为周期数列；存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.答案解析部分1【答案
5、】2【答案】3【答案】64【答案】15【答案】6【答案】x1x27【答案】388【答案】79【答案】1510【答案】11【答案】y=(x-1)12【答案】13【答案】B14【答案】D15【答案】B16【答案】D17【答案】（1）解：由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；（2）解：过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且ABCD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，由余弦定理可知：，所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.18【答案】（1）解：的解集是，得到的解集是，所以，所以，（2）解：令，因为，所以，当时，即有，因为函数在
6、区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图象性质，得或，进而可得答案为：19【答案】（1）解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB， ，（2）解：设则，即时， ，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在弧MN的四等分点处时，20【答案】（1）解：由题意得，得，所以椭圆方程为，因为点（1，）在椭圆上，所以，得，所以椭圆方程为（2）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以OPQ面积的最大值为（3）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，因为PST=QST，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，得，所以x轴上是存在点S（s，0）使得PST=QST恒成立，此时21【答案】（1）解：当时，所以；（2）证明：当时，所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，即，所以，当足够大时，总可以找到，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数n，使得；（3）解：当时，故此时数列是以2为周期的周期数列，当时，则，由（2）得，存在正整数n，使得，因此此时不存在不存在，所以此时数列数列不是周期数列，所以时，数列是以2为周期的周期数列，所以，又因，所以，所以，所以存在，使得.
