1、 求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2()1(zyx07262zyx化简得即说明说明 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4()1()2(zyx解解 设轨迹上的动点为,),(zyxM,BMAM 则轨迹方程.0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的方程的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题
2、:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状故所求方程为例例6.156.15 求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解解 设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例例6.166.16 研究方程042222yxzyx解解 配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的
3、图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.5)2()1(222zyx 空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C.xzy1oC C2 又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.022222xayxyxazyxzao zyxo将曲线C C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos
4、,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度,称为螺距螺距 .)(tyy)(tzz Mxyz引例引例 分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程222Ryx解解:在 xoy 面上，表示圆C,222Ryx222Ryx沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,xyzxyzol定义定义6.46.4平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线C C 移动的直线移动的直线l形成形成的轨迹叫做柱面的
5、轨迹叫做柱面.表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C C 叫做准线叫做准线,l l 叫做母线叫做母线.xyzooxzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l一条平面曲线 绕其平面上一条定直线
6、定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如 :建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C:),0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC思考思考 当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例例6.17 6.17 试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为的圆锥面方程.解解 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L),0(zyM
