质点运动学在直角坐标系中题目类型课件.ppt

1、力学力学电磁学电磁学振动振动上册上册质点运动学质点运动学质点与质点系动力学质点与质点系动力学机机 械械 振振 动动 基基 础础刚体力学基础刚体力学基础力学力学物体位置随时间的变化物体位置随时间的变化力学力学运动学运动学动力学动力学（即在什么条件下，作什么样的运动）（即在什么条件下，作什么样的运动）经典力学经典力学宏观宏观低速低速研究研究机械运动机械运动的规律的规律研究如何研究如何描述描述物体的机械运动物体的机械运动研究机械运动的研究机械运动的内在规律内在规律尺寸不太小尺寸不太小（与原子、分子比）（与原子、分子比）速度不太大速度不太大（与光速比与光速比）第1章 质点运动学（运动的描述）基本要求：

2、基本要求：n1、掌握位矢、位移、速度、加速度、角加速度等描述质掌握位矢、位移、速度、加速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。点运动和运动变化的物理量。n2、能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度。和加速度。n3、能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。加速度和法向加速度。n4、运动的叠加原理、相对运动、运动的叠加原理、相对运动难点内容n各物理量的矢量书写和计算n有关运动学物理量的矢量性、瞬时性、相对性、可加性n切向加速度、法向加速度分量的物理含义 1.

3、1 参考系参考系 坐标系坐标系 物理模型物理模型 一、质点的概念一、质点的概念(1)(1)理想模型理想模型 (为了简化问题，突出物体具有质量和占有位置这两个为了简化问题，突出物体具有质量和占有位置这两个根本性质）根本性质）(2)(2)条件条件 研究的问题中大小和形状不起显著作用研究的问题中大小和形状不起显著作用只具有质量只具有质量,大小和形状可以忽略大小和形状可以忽略的几何点的几何点 物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动的过程中一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动的过程中大小、形状可能改

4、变，这使得运动问题变得复杂。大小、形状可能改变，这使得运动问题变得复杂。模型的使用是有条件的。模型的使用是有条件的。可以作为质点处理的物体的条件：可以作为质点处理的物体的条件：1、大小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。、大小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。2、平动物体各点的运动状态完全相同。、平动物体各点的运动状态完全相同。例例1 1：研究地球公转：研究地球公转38104.6105.1EESRR1104.24地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。寸的影响，作为质点处理。研究地球自转研究地球自转Rv地球上各点的速地球

5、上各点的速度相差很大，因度相差很大，因此，地球自身的此，地球自身的大小和形状不能大小和形状不能忽略，这时不能忽略，这时不能作质点处理。作质点处理。除车轮在转动外，汽车各部分运动情况（速度、除车轮在转动外，汽车各部分运动情况（速度、加速度）完全相同，车轮的运动是次要的，此时加速度）完全相同，车轮的运动是次要的，此时可把汽车作为质点处理。可把汽车作为质点处理。例例2 2：研究汽车在平直道路上运动：研究汽车在平直道路上运动涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各个车轮受力涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各个车轮受力差异很大，不能把汽车做质点处理。差异很大，不能把汽车做质点处理。研究汽车突然刹车

6、研究汽车突然刹车“前倾前倾”或转弯或转弯质点是从实际中抽象出的理想模型，研究质点的运质点是从实际中抽象出的理想模型，研究质点的运动是为了抓住事物的主要矛盾进行研究分析。动是为了抓住事物的主要矛盾进行研究分析。二、确定质点位置的方法二、确定质点位置的方法参考系、坐标系参考系、坐标系参考系：参考系：描述物体运动时，被选作参考的物体称为参描述物体运动时，被选作参考的物体称为参考系。考系。要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。常用的坐标系有直角坐标系常用的坐标系有直角坐标系(x x,y

7、,z),y,z)，极坐标，极坐标系系(,)，球坐标系，球坐标系(R R,)，柱坐标系，柱坐标系(R R,z),z)。x xy yz zo oz z R R参考方向参考方向z zo o R Rx xy y 在运动轨道上任一点建立正交坐在运动轨道上任一点建立正交坐标系标系,其一根坐标轴沿轨道切线方向其一根坐标轴沿轨道切线方向,正方向为运动的前进方向；一根沿轨正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。一侧。n显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。即：即：自然坐标系：是曲线运动中的一种常用

8、坐标系。自然坐标系：是曲线运动中的一种常用坐标系。n切向单位矢量切向单位矢量法向单位矢量法向单位矢量n是变矢量，nx z y z(t)y(t)x(t)r(t)P(t)0二、确定质点位置的方法二、确定质点位置的方法P 点点位置位置:1 1、坐标法、坐标法P 点的位置可用坐标点的位置可用坐标（x,y,z)确定。确定。2 2、自然法：自然法：+在已知的运动轨迹上任选一故定点在已知的运动轨迹上任选一故定点o,为自然坐标的为自然坐标的原点，运动轨迹的长度原点，运动轨迹的长度 s,为为p点的自然坐标。点的自然坐标。ospoxyzikj 在直角坐标系中，用来确定质点所在位置的矢在直角坐标系中，用来确定质点所

9、在位置的矢量，量，叫做叫做位置矢量位置矢量，简称简称位矢位矢。位置矢量是从坐标。位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。原点指向质点所在位置的有向线段。rP P(x,y,zx,y,z)rx/cosry/cosrz/cosOPr 位置矢量位置矢量3 3、位矢法、位矢法kzjyixrr222zyxrr 从从O指向指向P方向：方向：大小大小:如图：蓝线是飞机飞行的轨迹，位矢如图：蓝线是飞机飞行的轨迹，位矢r y(t)r(t)P(t)0z(t)zy xx(t)Q(t)反映了飞机在反映了飞机在P和和Q点相对点相对于于O点（机场）的远近，即点（机场）的远近，即大小和方向。大小和方向。x,y,z 是

10、位矢在坐标轴上的投影，可正可负。是位矢在坐标轴上的投影，可正可负。当当 投影在坐标轴的正半轴时投影量取正，反之为负投影在坐标轴的正半轴时投影量取正，反之为负。r注意：注意：位矢的性质：位矢的性质：1 1、矢量性、矢量性2 2、瞬时性、瞬时性 3 3、叠加性、叠加性 trr运动学方程矢量形式运动学方程矢量形式kzj yi xr ktzjtyitx tzztyytxx运动学方程的运动学方程的直角坐标分量式直角坐标分量式（投影式）（投影式）4 4、相对性、相对性 物理意义物理意义：质点在空间的运动：质点在空间的运动 trr可以看作是质点在可以看作是质点在x,y,z轴上同时参与三个轴上同时参与三个直线

11、运动的合成。直线运动的合成。r与坐标系的选择有关与坐标系的选择有关求：写出以求：写出以v0初速度作平抛运动的质点的运动方程。初速度作平抛运动的质点的运动方程。解：建立坐标系解：建立坐标系xy00 0vtvx0 0 2 22 21 1gty 0 0 zjgti tvr2 20 02 21 1 yx00 0vjgti tvr2 20 02 21 1 xy00 0vx0y0 jgtyitvxr 2 20 00 00 02 21 1注意：注意：不同的坐标系对同一运动的描述不同。不同的坐标系对同一运动的描述不同。取取Y轴向上为正向：轴向上为正向：取取),(00yx为抛点：为抛点：x =x(t)y=y(t

12、)z =z (t)总结：总结：ktzjtyitxtr)()()()(直角坐标分量式直角坐标分量式 1.运动学方程运动学方程:自然坐标系自然坐标系)(tfs y(t)r(t)P(t)0z(t)zy xx(t)运动方程的矢量式运动方程的矢量式 质点的位置随时间按一定规律变化，质点的位置随时间按一定规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做位置用坐标表示为时间的函数，叫做 运运动方程动方程。x=Rcos ty=Rsin tx2+y2=R2轨道方程轨道方程质点在空间运动所经过的路迹称为轨道。在运动方程中质点在空间运动所经过的路迹称为轨道。在运动方程中消去时间消去时间 t.得到质点的轨道方程。得到质点的

13、轨道方程。如如:(消去t)2.2.轨道方程轨道方程1、轨迹方程不显含时间。2、轨迹方程包含的信息量小于运动学方程。如：x2+y2=R2不能判断是匀速还是 变速运动。注意注意运动方程运动方程与轨道方程区别与轨道方程区别：例例:一质点一质点 作匀速圆周运动，圆周半径作匀速圆周运动，圆周半径 为为r,角速度角速度分别写出用直角坐标系、自然坐标系表示的分别写出用直角坐标系、自然坐标系表示的质点运动方程。质点运动方程。topojyixrtrsP(x,y)soyrox直角坐标运直角坐标运动方程动方程运动学方运动学方程矢量式程矢量式自然坐标自然坐标trxcostrysinj tri trsincos以以 为

14、自然坐标系原点：为自然坐标系原点：O1.2 1.2 位移位移.速度速度.加速度加速度一一、位移位移位移：位移：反映质点位置变化的物理量，从初始位置指向末位置的有向线段。ABr ABrr A A)(Br BS S)(ArrO引入的原因：位矢的瞬时性大小:A-B 间的直线距离方向:由A Br 2 3 r BABBAArrrx iy jx iy jxiyj 、位移不具有瞬时性、具有可加性位移可视为三个坐标轴上位移分量的矢量叠加。1、4、r具有相对性。相对不同参考系位移不同。路程路程:内质点在轨道上经过的路径长度，自然坐标增量内质点在轨道上经过的路径长度，自然坐标增量的绝对值。的绝对值。A Bs曲线长

15、曲线长路程是标量、位移是矢量路程是标量、位移是矢量t1、位移、位移 和路程和路程 rs A A)(Br BS S)(Arr区别：区别：0 r0 sA(B)？(1)位移与过程无关位移与过程无关 S1=S2ABrrr21ABS21s sr（2）有限大小的路程一有限大小的路程一般不等于有限大小般不等于有限大小的位移的模的位移的模特例：质点作直线特例：质点作直线 运动且速度方向不运动且速度方向不变时。变时。dsrd（3）dssrdrtt00lim lim无穷小位移，沿轨迹切线方向无穷小位移，沿轨迹切线方向无穷小路程无穷小路程物理含义：物理含义：无穷小位移等于无穷小路程无穷小位移等于无穷小路程（4）已知

16、运动学方程，如何求无穷小的位移？）已知运动学方程，如何求无穷小的位移？jgtyitvxr 2 20 00 00 02 21 1例如：例如：求求t时刻附近的无穷小位移是多少？时刻附近的无穷小位移是多少？方法：1.求增量、取极限 2.求微分相同：都是矢量相同：都是矢量不同：不同：1、具有相对性，与坐标原点的选取有关。具有相对性，与坐标原点的选取有关。与坐标原点的选取无关。与坐标原点的选取无关。2、是瞬时量，是瞬时量，不是瞬时量。不是瞬时量。rr rrroArBrrA B 3、区别、区别位矢增量的大小位矢增量的大小(位移大小位移大小)位矢大小的增量位矢大小的增量 r=r注意注意：s 二二.速度速度速

17、度速度是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。trv 1.1.平均速度平均速度物理意义：位矢在时间物理意义：位矢在时间 内对时间的平均变化率内对时间的平均变化率性质：（性质：（1）、矢量性）、矢量性：方向与位移方向相同方向与位移方向相同 （2）、可叠加性）、可叠加性 tyxvvvj yixr（3）、不具有瞬时性）、不具有瞬时性 2.2.瞬时速度（简称：速度）瞬时速度（简称：速度）当当 t t0 0时，时，P P2 2点向点向P P1 1点无限靠近。点无限靠近。P P2 2P P2 2P P2 2P P2 2 o o)(trP P1 1tttt

18、t0)()(limrrvP P2 2P P2 2)(ttr)0(trtdd rtt0limrtrvvtt00limlim速度方向：速度方向：r 的极限方向的极限方向即沿即沿P1点的切线并指向前进方向点的切线并指向前进方向速度的物理意义速度的物理意义：是是 时的平均速度，表征某一时刻运动的快慢，也时的平均速度，表征某一时刻运动的快慢，也即位置变化的快慢。即位置变化的快慢。0tdtrd kdtdzjdtdyidtdx kjizyx222zyx 速度的大小表示为速度的大小表示为速度的方向由下式决定速度的方向由下式决定vxvcosvvycosvvzcos直角坐标中的速度：直角坐标中的速度：1 1、瞬时

19、性、瞬时性2 2、矢量性、矢量性3 3、可加性、可加性4 4、相对性、相对性 性质：性质：3.3.平均速率平均速率tvs物理意义：路程在时间物理意义：路程在时间 内对时间的平均变化率内对时间的平均变化率 t区别：区别：平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。例如质点沿闭平均速度的大小并不等于平均速率。例如质点沿闭合路径运动。合路径运动。例：已知运动学方程例：已知运动学方程?0 t(2)?1 432vv jtitr时速度）求：（描写沿轨道运动的快慢描写沿轨道运动的快慢 4、瞬时速率、瞬时速率:

20、注意注意:速率即速度的大小是算术量，恒取正值速率即速度的大小是算术量，恒取正值vdtrddtdstsvt0lim例题 n求人头影的速度 The altitude of a road lamp is H.A person of height h goes away straightly from the road lamp.When the persons velocity equals ,what does equal the velocity of his head shadow?0Vvv(t)v(t+t)xr(t+t)r(t)y z P2 P1 0v(t)v(t+t)三、加速度三、加速度-

21、描述质点速度变化情况描述质点速度变化情况(大小大小.方向方向)1.速度增量速度增量)()(ttt 注意注意 的方向的方向2.平均加速平均加速度度ta大小大小方向方向t 的方向的方向物理意义：反映了速度在物理意义：反映了速度在 时间内的平均变化率时间内的平均变化率txr(t+t)r(t)y z P2 P1 0v(t)v(t+t)3.瞬时加速度瞬时加速度 dtdtat 0lim22dtrd 与a方向是否一致方向是否一致？其方向是其方向是0t时时v的极限方向的极限方向,指向曲线凹的一边指向曲线凹的一边.0t令加速度与速度的夹角大于加速度与速度的夹角大于9090，速率减小。，速率减小。加速度与速度的夹

22、角等于加速度与速度的夹角等于9090，速率不变。，速率不变。vggvv远日点远日点近日点近日点vvvvvvvgggggggg加速度与速度的夹角小于加速度与速度的夹角小于900，速率增大。速率增大。1 1、加速度的方向与速度的方向不一定相、加速度的方向与速度的方向不一定相同。且加速度的正负不能说明质点做加速同。且加速度的正负不能说明质点做加速还是减速运动。还是减速运动。2 2、加速度描述速度的变化，它只与、加速度描述速度的变化，它只与 的改变有关，而与速度本身的大小无关。的改变有关，而与速度本身的大小无关。3 3、若速度的大小不变，而方向改变，是、若速度的大小不变，而方向改变，是否有加速度？否有

23、加速度？vkdtdjdtdidtdazyx kajaiaazyx 222zyxaaaaa 方向方向:大小大小:aaxcosaaycosaazcosdtvdaa直角坐标中加速度的表达形式直角坐标中加速度的表达形式1 1、瞬时性、瞬时性2 2、可加性、可加性 反映了运动的叠加性反映了运动的叠加性3 3、矢量性、矢量性 加速度的性质：加速度的性质：注意：容易出错的地方注意：容易出错的地方)m(j yi xr zkyjxir （m）tnaaa 2 22 2tnaaa tnaaa 注意：加速度是矢量注意：加速度是矢量 本节课学习了本节课学习了 的基本概念。的基本概念。要求会由运动学方程求任意时刻要求会由

24、运动学方程求任意时刻的速度、加速度的速度、加速度a v r r 总结总结1:下列哪一种说法是正确的（下列哪一种说法是正确的（）（A）运动物体加速度越大，速度越快 （B）作直线运动的物体，加速度越来越小，速度也越来越小 （C）切向加速度为正值时，质点运动加快 （D）法向加速度越大，质点运动的法向速度变化越快练习Key:c2、一质点在平面上运动，已知质点的位置矢量的表示式为 （其中a、b为常量），则该质点作（）（A）匀速直线运动 （B）变速直线运动 （C）抛物线运动 （D）一般曲线运动22rat ibt j练习nKey:Bn思路：求轨迹方程和速度 如图所示湖中有一小船，有人用绳绕过岸上如图所示湖中

25、有一小船，有人用绳绕过岸上H H高度处的定滑高度处的定滑轮拉湖上的船向岸边运动，设该人以匀速率轮拉湖上的船向岸边运动，设该人以匀速率v0 收绳，绳原收绳，绳原长长 l0 0，湖水静止，则小船的运动是（，湖水静止，则小船的运动是（）（A）匀加速运动）匀加速运动 （B）匀减速运动）匀减速运动 （C）变加速运动）变加速运动 （D）变减速运动）变减速运动练习练习 3、拉船靠岸、拉船靠岸练习n4 4：如图，：如图，A A、B B两物体由一长为两物体由一长为 L L 的刚性的刚性细杆相连，细杆相连，A A、B B两物体可以在光滑轨道上两物体可以在光滑轨道上滑行。如物体滑行。如物体A A以恒定的速率以恒定的

26、速率v v向左滑行，向左滑行，当当 时，物体时，物体 B B 的速度为多少？的速度为多少？60 AB vLAB vLx解：解：1、建立如图所示坐标系3、利用图示的几何（约束）关系jdtdyidtdxv i vjdtdyidtdxvA jVjdtdyidtdxvB 2、表示出质点 A.B A.B 的直角坐标系下速度的解析式：222yxL Oxyy两边求导：两边求导：222yxL tgvVyVxvdtdyydtdxx 0220任一时刻速度的表达式：任一时刻速度的表达式：jtgvVB 60 时，jvVB 3在运动轨道上任一点建立正交坐在运动轨道上任一点建立正交坐标系标系,其一根坐标轴沿轨道切线其一根

27、坐标轴沿轨道切线方向方向,正方向为运动的前进方向；正方向为运动的前进方向；另一根沿轨道法线方向，正方向另一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。指向轨道内凹的一侧。显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。自然坐标系自然坐标系切向单位矢量切向单位矢量法向单位矢量法向单位矢量n1.3 自然坐标系下平面曲线运动的自然坐标系下平面曲线运动的av,nn一、自然坐标系下的速度一、自然坐标系下的速度)()(tsttsssrs0limtrvt0limtssrt0lim0s1lim0srszspx)(ttr)(trrvyqos其中：其中：dsvvdt自然

28、坐标系下的速度表达式讨论物理意义：讨论物理意义：d svvd t dsvdt1 1、瞬时速率瞬时速率 ：反映了质点任一时刻沿轨道运动的快慢。2 2、任何时刻质点的速度总沿轨道的、任何时刻质点的速度总沿轨道的切线方向，速度只有切线分量而无法切线方向，速度只有切线分量而无法向分量。向分量。v OS+n dtdsv由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：自然坐标系中可将速度表示为：由加速度的定义有由加速度的定义有tvddavdtdtva dd二、二、自然坐标系下的加速度自然坐标系下的加速度以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物

29、理意义：讨论物理意义：讨论物理意义：vdtdtva dd难点：难点：？的大小如何？方向如何dtd 讨论物理意义：讨论物理意义：的方向：dtd（1 1）1 0dtddtd 0 0 dtd 方向垂直和 dtdndtd 方向：的大小：）（dtd 2讨论物理意义：讨论物理意义：ttttttttdtdtt )()(lim)()(lim 00 t lim0t作图：作图：蓝色三角形与红色三角形相似，对应边成比例蓝色三角形与红色三角形相似，对应边成比例rR o r RrRrR 1 讨论物理意义：讨论物理意义：rRrR 1 dtd RvdtrdRtRr 1 lim0tdtd t lim0t结论：结论：自然坐标系

30、下加速度表达式：自然坐标系下加速度表达式：即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢naa 法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢onPana a自然坐标系中总加速度为：自然坐标系中总加速度为：naaa改变速度大小改变速度大小改变速度方向改变速度方向22naaaaan1tan 两组单位矢量？kji与与n的区别是什么？加速度加速度大小大小方向方向anaao,R 在曲线的轨迹上任取在曲线的轨迹上任取3 3点，这点，这3 3点决定了一个圆，若两侧的点无限点决定了一个圆，若两侧的点无限靠近中间的点，则他们所决定的圆无限接近于一个靠近中间的点，则他们所决定的圆

31、无限接近于一个极限圆极限圆。这个圆就叫做曲线在这个圆就叫做曲线在A A点的点的曲率圆曲率圆。这个圆的半径称为这个圆的半径称为曲率半径曲率半径。对圆周运动而言：曲率半径各点相同对圆周运动而言：曲率半径各点相同于是对曲线上任一点，研究该点的速度、加速度情况时，于是对曲线上任一点，研究该点的速度、加速度情况时，仅需要将仅需要将 R R 换成换成 就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。三、推广：一般平面曲线运动中的加速度三、推广：一般平面曲线运动中的加速度质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而成。质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而成。0 瞬时瞬时曲率半径曲

32、率半径 三、推广：一般平面曲线运动运动中的加速度三、推广：一般平面曲线运动运动中的加速度力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。22naaa222dtdvv0a.00,00,3.00,nnnaaaaaa ，2.常量，2.常量，常量，常量，.变速直线运动变速直线运动.匀速率圆周运动匀速率圆周运动.变速率圆周运动变速率圆周运动四、讨论几种特殊情况：四、讨论几种特殊情况：下面三种情况分别代表那一类运动？下面三种情况分别代表那一类运动？总结总结n本节从速度的矢量性出发n将速度的变化分为速度方向的改变和速度大小的改变n利用自

33、然坐标系引入了切向加速度和法向加速度。dsvvdt Ros sP（1 1）t t 时刻质点的总加速度的大小时刻质点的总加速度的大小（2 2）t t 为何值时，总加速度的大小为何值时，总加速度的大小b b（3 3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b b时，质点沿圆周运时，质点沿圆周运行了多少圈。行了多少圈。一质点沿半径为一质点沿半径为R R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v v0 0、b b 都是正的常量。求：都是正的常量。求：2/20bttvs 例题例题在在t 时刻，质点运动到位置时刻，质点运动到位置 s s 处。其速度为：处。其速度为：解：解：先作图如右，先作图如右，t=0 时，质点

34、位于时，质点位于s=0 的的 p 点处。点处。btvdtdsv0Ros sP（1 1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:（2 2）令）令a=b a=b，即，即naa22naaabRbRbtva220)()(tvddRv222ddtsbRbtv20)(RbRbtv220)()(bvt0（3 3）当）当a=b a=b 时，时，t=vt=v0 0/b/b，质点历经的弧长为，质点历经的弧长为 /220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Rsn2bv/220Rbv4201.4 圆周运动的角量表示圆周运动的角量表示oxyA A：t t

35、线量描述法线量描述法用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法角量描述法角量描述法用角坐标、角位移、角速度、平均角速度、用角坐标、角位移、角速度、平均角速度、角加速度等物理量描写圆周运动的方法角加速度等物理量描写圆周运动的方法 oxyA A：t t设质点在设质点在oxyoxy平面内绕平面内绕o o点、沿半径为点、沿半径为R R的轨道作的轨道作圆周运动，如图。以圆周运动，如图。以oxox轴为参考方向，则质点的轴为参考方向，则质点的角坐标为角坐标为 从坐标轴从坐标轴OXOX沿着逆时针方向转到质点所在处所得沿着逆时针方向转到质点所在处所得的的 为正，反之为负。为正，

36、反之为负。故：故：为代数量为代数量一、角坐标一、角坐标 由于做圆周运动的质点与圆心的距离不由于做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此可用一个角度来确定其位置变，因此可用一个角度来确定其位置规定：规定：定义：定义：位矢在位矢在 t t时间内角坐标的变化，时间内角坐标的变化，单位单位：rad规定逆时针为正规定逆时针为正二、角位移二、角位移 B：t+t oxyA A：t t瞬时角速度：瞬时角速度：tt0limtdd平均角速度：平均角速度：t物理意义：单位时间内角坐标的改变量物理意义：单位时间内角坐标的改变量三、角速度三、角速度单位：单位：弧度弧度/秒秒(rad s-1)tt0limtdd物理意义：物

37、理意义：衡量转动的快慢。衡量转动的快慢。与圆周运动的绕向满足右手螺旋定则，与圆周运动的绕向满足右手螺旋定则，右手握住转动轴，四指与质点运动方向一致，右手握住转动轴，四指与质点运动方向一致，大拇指所指方向为大拇指所指方向为 方向。方向。是矢量方向：是矢量方向：与速率的关系：与速率的关系：RtRdtRddtdsv dd)(讨论讨论角加速度的单位：弧度角加速度的单位：弧度/平方秒平方秒(radrad s s-2-2)。讨论讨论：(1)(1)角加速度对角加速度对运动的影响：运动的影响：220limdtddtdttC0质点作匀速率圆周运动质点作匀速率圆周运动CC质点作匀变速率圆周运动质点作匀变速率圆周运

38、动质点作变速率圆周运动质点作变速率圆周运动四、角加速度四、角加速度 dtdva Rvan2（2）（3）dtdR RdtdRdtds （1）v 五五.线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系（4 4）匀角加速度圆周运动匀角加速度圆周运动 和和 匀变速直线运动匀变速直线运动 的比较的比较)()(txxt dtdxvdtd dtdvadtd vtvv 00 t 2/200tt 2/200attvxx )(20202 )(20202xxavv 结论：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把匀角加速度圆周运动转化为匀变速直线运动形式，从而简化问题。半径r=0.2 m的飞轮，绕o轴转动。M点的运动方程运

39、动方程tt42 求1秒后M点的速度和加速度。vRx0Mnaaa例题例题1 1sradtdtd 42 22sraddtdsmtrrv4.0)42(22289.0smaaan2aatgn04.63例题例题2 2掌握常用的积分变量的变换式：掌握常用的积分变量的变换式：dsdvvdtdsdsdvdtdv ddvvddvdsddtdsdtdsdsdddvdtdv 1例题例题2 2一质点作半径为一质点作半径为R R的圆周运动，其速度与加速度矢量的圆周运动，其速度与加速度矢量之间的夹角之间的夹角 始终保持不变，试证明速度可以表示始终保持不变，试证明速度可以表示为：为：)(00 bevv其中：其中：00 vv

40、ctgb 时，且当 1.5 1.5 在直角坐标系中求解运动学的两大在直角坐标系中求解运动学的两大类问题类问题教学目的教学目的：质点运动学在直角坐标系中题目类：质点运动学在直角坐标系中题目类型、解法研究型、解法研究主要数学工具主要数学工具：矢量运算、微积分：矢量运算、微积分按质点运动的加速度分：按质点运动的加速度分：匀速运动：匀速运动：匀变速运动：匀变速运动：为恒量为恒量 任意变速运动：任意变速运动：0aa)()()(vaaraataa按自由度分类：按自由度分类：一维、二维、三维一维、二维、三维按轨迹分类：按轨迹分类：直线运动直线运动 圆周运动圆周运动 抛物线运动抛物线运动 复杂的曲线运动复杂的

41、曲线运动由运动学方程求轨迹方程、由运动学方程求轨迹方程、将质点运动学的问题分为两类求解：将质点运动学的问题分为两类求解：av 及)(trr)(),(tat 已知已知 求任意时刻求任意时刻 dtrd 22dtrda 一、微分法一、微分法（1 1）运动学方程已直接给出）运动学方程已直接给出例：例：已知已知质点在质点在 2s 末时的速度和加速度为（末时的速度和加速度为（）jir33)sm4()3(tm(A)(B)(C)(D)jajiv)sm32(,)sm32()sm3(211jajiv)sm48(,)sm48()sm3(211jajv)sm48(,)sm48(21jajv)sm32(,)sm32(2

42、1（2 2）运动学方程未直接给出）运动学方程未直接给出n思路：思路：首先写出质点的位置坐标或运动方程，再用首先写出质点的位置坐标或运动方程，再用（1）所述方法解）所述方法解一、微分法一、微分法例题：求人头部影子的速度例题：求人头部影子的速度 拉船靠岸拉船靠岸二、积分法二、积分法 这类问题是第一类问题的逆问题。需要用积分的方法解决。这类问题是第一类问题的逆问题。需要用积分的方法解决。oxv现在以直线运动为例，作概括性讨论：现在以直线运动为例，作概括性讨论：直线运动：直线运动：i vidtdxdtixddtrdv )(iaidtdvdti vddtvda )(dtdva dtdxv dtatvdx

43、)(0 adtdv tadtv0atvv 0dtatvdxxxt)(000 20021attvxx匀变速直线运动的匀变速直线运动的运动学方程运动学方程 0,0 0 .1vxxvvt a求运动学方程和速率时：常量，已知 2、已知初始条件、已知初始条件)()(,00ttaax或及求任意时刻求任意时刻）或)()(txtdtda dtad tdttadt0)(0dtrd txxdttdx0)(0tdttat00)()(tdttxtx00)()(dxdvvdtdxdxdvdtdvaadxvdv vvxxdxxavdv00)(3、已知初始条件已知初始条件)()(,00 xxaax 或及求任意时刻求任意时刻

44、）（或)(tx)(xvv)(txx 求任意时刻求任意时刻）（或)(tx 4已知初始条件)(,00 aax 及解解1 1：取取t t为自变量为自变量)()()()(00tvvvadvdtvadvdtdtdvvavvtt 积分：分离变量：运动会上跳水运动员自10m 跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速。自水面向下取坐标轴oy，其加速度为 求运动员速度减为入水速度的1/10时，运动员入水的深度。2-1 ,k0.4mykv 例：例：)(yvv )(y,00 aa 及 思路思路 此为运动学问题的第二类问题的第四种情况:根据题目的问题，最好能求得速度和位移的关系：设：运动员入水速度为 0v解：解：建立如

45、图所示坐标系Oajkva2 y2kva 2dydvvdtdydydvkvdtdva yvvkdydvv0010ln1vvky 0v)2(0ghv 后略。例：例：n有一个小球在某液体中竖直下落，球体的初速度为有一个小球在某液体中竖直下落，球体的初速度为 它在液体中的加速度为它在液体中的加速度为问：问：1、速度与时间的关系？、速度与时间的关系？2、此小球经历的路程与时间的关系如何？、此小球经历的路程与时间的关系如何？10vj av j 1、位置矢量：、位置矢量：kzjyixr 222zyxrr 方向：方向：大小大小:2、位移矢量：、位移矢量：)()(trttrr kzzjyyixx121212 2

46、 21 12 22 21 12 22 21 12 2zzyyxxr 小结小结大小大小:方向：方向：3、速度、速度dtrdv kdtdzjdtdyidtdx 大小大小:v 222zyx 方向方向:vvx cosvvycosvvzcos沿着轨迹的切线方向，并指向运动方向 dtds aax cosaay cosaaz cos222zyxaaaaa 大小大小:方向方向:4、加速度、加速度dtda kdtdjdtdidtdzyx 22naa aan1tan 一质点某时刻位矢一质点某时刻位矢 ，其速度的大小为，其速度的大小为),(yxr22)()(dtdydtdxdtrddtrddtrd（A）（B）（C）

47、（D）（A）（D）思考题思考题5、（圆周运动的角量描述）、（圆周运动的角量描述）dtddtd Rv Ra 2Ran角量与线量的关系角量与线量的关系 讨论讨论aanatanata质点沿固定的圆形轨道，质点沿固定的圆形轨道，若速率若速率 v 均匀增加，均匀增加，at、an、a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？Rvan2 2 tatnaatg 变化变化均匀均匀=不变不变变化变化变化变化2 22 2ntaaa Relative motion1-4 相对运动相对运动一、运动的相对性一、运动的相对性对于两不同参考系，描述同一事件，一般对于两不同参考系，

48、描述同一事件，一般 不相同。不相同。运动的描述具有相对性运动的描述具有相对性avr ,二、位矢关系二、位矢关系O Oxyz x y zPS Sr0r r由图可知：由图可知：0rrr OPOOOPrrr 对对对三、速度关系三、速度关系O Oxyz x y zPS Sr0r rS 相对于相对于S系系相对于相对于S 系系相对于相对于S系系dtrdv dtrddtrd0 0vv 绝绝v 牵牵v 相相vOPOOOPvvv 对对对特例：特例：若若 S 相对相对 S 系作匀速运动，则有：系作匀速运动，则有：00 aaa 四、加速度关系四、加速度关系0aaa OOOPOPaaa对对对对对对 O Oxyz x

49、y zPS Sr0r r五、适用条件五、适用条件宏观、低速情况高速情况：长度测量与时间测量要考虑相对论 效应。采用洛伦兹 变换。微观情况：要考虑不确定关系。采用量子力学。例题在河水流速 v0=2m/s 的地方有小船渡河，如希望小船以 v=4m/s 的速率垂直于河岸横渡，问小船相对于河水的速度大小和方向应如何？解：解：选岸为选岸为S S系，河水为系，河水为SS系，则牵连速度为系，则牵连速度为;0v;v大小大小,/4smv 方向垂直于方向垂直于绝对速度为绝对速度为;0v0vvv 所以，相对速度为：所以，相对速度为：0vvv v v0v北岸北岸南岸南岸由速度矢量三角形得由速度矢量三角形得的大小：的大小：220vvv 2242 52)/(47.4sm vvtg012 4221 tg 6.116 v与水流方向与水流方向0v间的夹角为：间的夹角为：v v0v北岸北岸南岸南岸