1、第第7 7章章 微分方程微分方程7.27.2 一阶微分方程一阶微分方程7.2.2 7.2.2 齐次微分方程齐次微分方程7.2.3 7.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程.)(程程的微分方程称为齐次方的微分方程称为齐次方形如形如xyfdxdy,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式，得到代入原式，得到,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即一、齐次微分方程的定义一、齐次微分方程的定义二、齐次微分方程的解法二、齐次微分方程的解法,0)(时时当当 uuf,ln)(1xcuufdu 得得,)(ucex 即即 )()(uufduu,代入代入将将xyu
2、 ,)(xycex 得通解得通解,0u 当当,0)(00 uuf使使 ,0是新方程的解是新方程的解则则uu .0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解带回原带回原方程，方程，.1 22dxdyxydxdyxy 求解微分方程求解微分方程例例解解 原方程可写为原方程可写为22xxyydxdy 1)(2 xyxy,xyu 令令,udxduxdxdy 则则于是方程变为于是方程变为,12 uudxduxu.1 uudxdux即即,)11(xdxduu .)ln(Cuxu 微分方程的通解为微分方程的通解为.lnCxyy .0)cos()cos(2 dyxyxdxxyyx求解微分方程求解微分方程例例，令令x
3、yu ，则则udxduxdxdy ,0)(cos)cos1(dxduxuuuu,cosxdxudu ,lnsincxu .lnsincxxy 微分方程的通解为微分方程的通解为解解.0)(cos)cos1(dxdyxyxyxy，得到，得到两端同时除以两端同时除以 xdx 2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxduxdxdy 则则,1222uuuudxduxu .2 3 222xyydyyxyxdx 求解微分方程求解微分方程例例解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(cxuuu .)2(123cxuuu 微分方程的通解为微分方程的通解为.)2()(
4、32xycyxy ,1122)121(21xdxduuuuu )()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:()0,Q x 上述方程称为齐次的上述方程称为齐次的.上述方程称为上述方程称为非齐次的非齐次的.()0,Q x 例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的；线性的；非线性的非线性的.二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程()0,Q x.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.1.线性齐次方程线性齐次
5、方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法使用分离变量法)常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy2.2.线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 代入原方程得代入原方程得和和将将yy,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通
6、解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()()()()().P x dxP x dxP x dxCeeQ x edx对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.)1(12 125的通解的通解求方程求方程例例 xxydxdy解解 先求对应的齐次方程的通解先求对应的齐次方程的通解.,012 xydxdy,12 xdxydy解得解得2)1(xCy，换成换成用常数变易法，把用常数变易法，把)(xuC,)1)(2 xxuy即令即令则则),1(2)1(2 xuxdxdudxdy代入所给方程，得代入所给方程，得.)1(21 xdxdu解得解得.)1(3223Cxu 所求方程得通解为所求方程得通解为.)1(32)1(232Cxxy .23 22的通解的通解求方程求方程例例 xxydxdyx解解先求对应的齐次方程的通解先求对应的齐次方程的通解.231xxyxdxdy ,0 xydxdy,xdxydy 解得解得.xCy ，换成换成用常数变易法，把用常数变易法，把)(xuC,)(xxuy 即令即令,2xuxudxdy 则则代入所给方程，得代入所给方程，得.232 xxdxdu解得解得.223323Cxxxu 所求方程得通解为所求方程得通解为.22332xCxxy 原原方程可写为方程可写为
