1、自动控制理论基础自动控制理论基础第二十八讲第二十八讲1二、化状态方程为二、化状态方程为Jordan标准形标准形已知系统的状态空间表达式为：已知系统的状态空间表达式为：x=Ax+Buy=Cx设：设：1-为为m1次重根；次重根；2-为为m2次重根次重根;l-为为ml次重根次重根.而而12lmmmnl为独立特征向量数。为独立特征向量数。2设设xQx（Q非奇异），于是，有非奇异），于是，有-1-1 xQ AQx+Q Bu=Ax+Buy=CQx=Cx其中：其中：0.00.00.0l1-1AA=QAQA3而而1.00.1,2.10.0iiiliA其中：变换矩阵其中：变换矩阵Q则为则为:12l1211m 1
2、12m 21m.lllQ=QQQvvvvvv4而而:v1j，v2j，vmj j（j=1、2l）由下）由下式确定：式确定：1()jjAI v0独立特征向量独立特征向量jj21m(m-1)j().()jjjjjAI vvAI vv广义特征向量广义特征向量5例：例：010000102301100uy x=x+=x解解:(1)求求A阵的特征值及特征向量：阵的特征值及特征向量：由由0I-A，有，有12312 6又由：又由：11()AI v0，可求得，可求得111 1v再求再求2=-1的一个广义特征向量：的一个广义特征向量：2()21AI vv1012v7而而33()AI v03124 v(2)求变换后的
3、求变换后的A、B、C阵：阵：123111102114 Q=vvv825216339121-1Q于是，可得于是，可得110010002-1A=Q AQ9291319-1B=Q B1 1 1C=CQ8-5 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数阵阵一、一、MIMO系统的传递函数阵系统的传递函数阵10在在MIMO系统中，表示零初始条件下，输出与系统中，表示零初始条件下，输出与输入在频域内的关系，可用一矩阵表示，称为输入在频域内的关系，可用一矩阵表示，称为传递函数阵。传递函数阵。设设x=Ax+Buy=Cx+DuSystem1uru1ymy对上式进行拉氏变换，有对上式进行拉氏变换，有()(
4、)()ssssxAxBu即即1()()sssxI-ABu11而而)()()()sssss-1y(CxDuC(I-A)B+D u故系统传递函数阵即为：故系统传递函数阵即为：)ss-1G(C(I-A)B+D其矩阵形式为其矩阵形式为:11112112212()()()()()()()()()()()()rmmmmrry sG sGsG su sy su sy sGsGsGsu s12其中：其中：()()(1,2,.)(1,2,.)()iikkY sGsimkrUs二、传递函数阵在坐标变换下的不变性：二、传递函数阵在坐标变换下的不变性：设系统设系统1为：为：x=Ax+Buy=Cx+Du令令x=px，则
5、，则2 x=Ax+Buy=Cx+Du13-1-1AP APBP BCCP其中：其中：由系统由系统2，有：有：1()ss2GCIAB D1s-1-1=CPI-P APP B+D1()s-1-1=C P I-P AP PB+D11s-1-1=C P IP-PP APPB+Dss-11=CI-AB+DG()14即系统经过坐标变换后，其传递函即系统经过坐标变换后，其传递函数阵不变。数阵不变。例：已知系统的状态空间表达式为：例：已知系统的状态空间表达式为：01123012uyu xxx试求出该系统的传递函数试求出该系统的传递函数G(s).21245()()32ssG ssssC IABD158-6 线性
6、定常控制系统的分析线性定常控制系统的分析一、线性定常系统的自由运动一、线性定常系统的自由运动当系统的输入为零时，对应系统的状态当系统的输入为零时，对应系统的状态方程是一个齐次方程的解的问题，即系方程是一个齐次方程的解的问题，即系统的自由解，是由初始状态引起系统自统的自由解，是由初始状态引起系统自由运动的解。由运动的解。16设系统的状态方程为：设系统的状态方程为：x=Ax()u=0定义：定义：2 211.2!tk ketttkAI+A+A+A+若设：若设：t2 2(t)(0)11(.)(0)2!k ktttkAxe xI+A+A+A+x17将将x(t)代入齐次方程，有代入齐次方程，有2 20()(0)11(.)(0)2!(.)(0)1(.)(0)2!(0)()(0)tk ktetttktttettA2 22AtxxI+A+A+A+x0+A+A+xA I+A+A+xAxAx18故使方程两边相等，故使方程两边相等，x(t)是其解。是其解。同理，若初始时刻为同理，若初始时刻为t0，则，则0(-)0()()t ttetAxx是齐次方程的解。是齐次方程的解。198.6 习题习题:7.(1)2021
