考研数学D2-考研基础班精品课件.ppt

1、1 第二章 一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分三、典型题型的解题方法与技巧三、典型题型的解题方法与技巧2一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用导数导数 :0()()()limxf xxf xfxx 当当时时,为右导数为右导数当当时时,为左导数为左导数0 x)(xf0 x)(xf微分微分 :d()()df xfxx 可导与可微的概念可导与可微的概念：可导可导0limxyx 存在存在.可微可微()yA xx 其中其中A是与是与x 无关的常数无关的常数.特点是：特点是：“分分子一定一动，子一定一动，分母有左有右分母有

2、左有右”分子是函数值分子是函数值之差，之差，分母是分母是相应的自变量相应的自变量之差，分母趋之差，分母趋于零的极限于零的极限.能能3联系联系:xxfyxxd)(d00 区别：区别：可从定义式子；可从定义式子；实质；实质；几何意义几何意义三方面考察三方面考察.)(0 xf 是函数相对于自变量的是函数相对于自变量的变化率变化率.0dxxy 是相对于自变量改变量为是相对于自变量改变量为x 时，时，导数与微分的区别与联系导数与微分的区别与联系函数改变量函数改变量y 的的线性主部线性主部.即即00d.x xx xyy 0000()lim,xfxxfxfxx 00ddx xyfxxxx0 xyo)(xfy

3、 0 xyyd0()tankf x 当当y 是曲线的纵坐是曲线的纵坐标增量时，标增量时，dy就是切就是切 线纵坐标对应的增量线纵坐标对应的增量.4可导与可微的区别与联系可导与可微的区别与联系:区别区别：可从定义式子；几何意义两方面考察：可从定义式子；几何意义两方面考察.可导可导0limxyx 存在存在.可导可导一定有切线一定有切线 且切线不垂直于且切线不垂直于x轴轴.以直代曲以直代曲当当x 很小时，很小时，在在点点M的附近的附近，可用切线段近似地代替曲线段可用切线段近似地代替曲线段.可微可微联系：联系：可微必可导，可微必可导，可导必可微可导必可微.可微可微()yA xx 其中其中A是与是与x

4、无关的常数无关的常数.能能xx0 xyo)(xfy 0 xyyd5 几个定理几个定理 00()()f xf xA 定理定理1 Axf )(0()f xx在在点点处处可可导导定理定理2()f xx在在点点 处处连连续续定理定理3在在)(xfy 0 x处可导处可导在在)(xfy 0 x处连续处连续在在)(xfy 0 x处的极限一定存在，处的极限一定存在，即即)(lim0 xfxx存在存在.在在)(xfy 0 x可微可微可微可微可导可导连续连续有极限有极限有定义有定义()yf x 在点在点 可微可微 0 x()yf x 在点在点 处可导处可导0 x600()()f xxfxx 函函数数在在 处处可可

5、导导,能能否否有有在在 处处连连续续？21cos,0:(),0,0 xxf xxx 如如21(cos),00(),0 xxxfxx ，0 x 在在处处可可导导,且且()0fxx 则则在在处处连连续续吗吗？112 cossin,0()0,0 xxf xxxx 事事实实上上，0 x 在在不不连连续续.0(0)(0)(0)limxfxffx 思考：思考：00()()f xxfxx 结结论论：函函数数在在 处处可可导导,在在 处处不不一一定定连连续续？201()cos0(0)limxxxfx 7应用应用 :(1)(1)利用导数定义解决的问题利用导数定义解决的问题 (2)(2)用导数可求切线与法线的方程

6、用导数可求切线与法线的方程4 4）用导数定义求极限；用导数定义求极限；2)2)求分段函数在分界点处的导数求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊及某些特殊函数在特殊点处的导数函数在特殊点处的导数;3)3)由导数定义证明一些命题；由导数定义证明一些命题；1)1)利用导数的定义求函数在某点处的导数；利用导数的定义求函数在某点处的导数；用导数可求变速直线运动的速度与加速度用导数可求变速直线运动的速度与加速度5 5）判断函数在某一点的可导性）判断函数在某一点的可导性.81）几何应用）几何应用(1)几何意义：几何意义：是是y=f(x)在点在点0()fx(2)切线、法线的方程：切线、法线的方程：切线的方程

7、：切线的方程：法线的方程：法线的方程：000)(),(yyfxxx 0000(),()1).(0yyxxfxfx 2）物理应用）物理应用d,dsvt 瞬时速度：瞬时速度：瞬时加速度：瞬时加速度：22dd.ddvsatt 00(,()x f x处切线的处切线的斜率斜率.9二、二、导数和微分的求法（微分法）导数和微分的求法（微分法）1.正确使用导数及微分公式（正确使用导数及微分公式（16个）和法则（四则个）和法则（四则法则；锁链法则；反函数求导法则）法则；锁链法则；反函数求导法则）2.熟练掌握求导方法和技巧熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数求分段函数的导数注意讨论分注意讨论分界点界点处左

8、右导数是否存在和相等处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法隐函数求导法(直接法、微分法）直接法、微分法）(3)参数方程求导法（复合函数法、微商法）参数方程求导法（复合函数法、微商法）(5)复合函数求导法复合函数求导法(可利用微分形式不变性可利用微分形式不变性)(6)高阶导数的求法高阶导数的求法（逐次求导归纳（逐次求导归纳;间接求导法）间接求导法）(4)对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用）及幂指函数有用）10)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxxsin)(tan xx2sec)(cot xx2csc)(secxx

9、xtansec)(cscxxxcotcsc)(xaaaxln)(exxe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x3.3.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 (P94)(P94)及法则及法则11有限次四则运算的求导法则（注意条件）有限次四则运算的求导法则（注意条件）)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数为常数)0(v复合函数求导法则（注意条件）复合函数求导法则（注意条件）)(,)(xuufyxydd)()(xufuyddxudd1 1 ()()

10、fxfy d 1 dddyxxy 或或反函数的求导法则反函数的求导法则（注意条件）（注意条件）初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数.注意注意:,)(vuuvvuvu124.高阶导数高阶导数如果函数如果函数)(xf的导数的导数)(xf 在点在点x处处，即即()fx 0()()limxfxxfxx 则称则称()fx为函数为函数)(xf在点在点x处的处的记作记作一般地，一般地，)(xf()f x2222dd()(),.ddyf xfxyxx ()()dd()(),.ddnnnnnnyf xfxyxx相应地，相应地，)(xf称为称为，)(xf 13()

11、(1)nuv()()nnuv ，()(2)()nCu()nCu(C为常数为常数)直接法和间接法直接法和间接法(3)乘积乘积()()1(1)()()()().nnnkn kknnnnnuvuvC uvC uvC uv 该公式称为该公式称为莱布尼兹公式，莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆它和二项式公式有类似的记忆11().nnnkn kknnnnnuvuC uvC uvC v ()()()0!().!()!nnknkkknnknu vC uvCknk 其其中中3)高阶导数的基本公式高阶导数的基本公式()()xnxee()(sin)sin(),2nnxx ()(cos)cos(),2nnxx

12、()1(1)!ln(1)(1),(1)nnnnxx ()()(1)(2).(1),nnxnx ()()!nnxn()()(ln)xnnxaaa 141.有以上公式与法则，我们就可以对各类函数有以上公式与法则，我们就可以对各类函数（显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分（显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分段函数等）求各阶段函数等）求各阶导导(函）数函）数及及微分微分.2.求导时应认清结构及变量之间的关系求导时应认清结构及变量之间的关系.3.求导时应认清谁是自变量谁是函数求导时应认清谁是自变量谁是函数.对哪一个变量求导对哪一个变量求导.4.应正确使用符号应正确使用符号.如如 04404ddd;

13、dddx xfxyyy yfxfxfxyxxx说明说明：22ddd()dddyyyfxxxx如如：符号符号 的优点的优点:ddyx1.表示导数时能显示谁是函数谁是表示导数时能显示谁是函数谁是自变量自变量2.表示微分时有商的含义，故表示微分时有商的含义，故3.隐含着微分形式的不变性隐含着微分形式的不变性1ddddyxxyd()dyxd()dyfuu15例例1.设设)(0 xf 存在存在,求求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解:原式原式=xxfxxxfx )()(lim02002)(xx2)(xx)(0 xf()f xx a在在 处可导处可导()()limxaf xf axa存存在在三

14、、典型题型的解题方法及技巧三、典型题型的解题方法及技巧题型题型1：已知导数求极限：已知导数求极限0()()limxf axf ax 存存在在.一般的若一般的若)(0 xf 存在存在 000 ()lim xff xx0().fx00002()()lim()hf xhf xhfxh0000()()()limxf xxf xfxx 160lim hhhxf2)(00()f xhhxf2)(0)(0 xf01()2fx 001()()2fxfx00000022()()()()limlim()hhf xhf xf xhf xhh 0002()()limhf xhf xhh一般的若一般的若)(0 xf 存

15、在存在 000 ()lim xff xx0().fx00002()()lim()hf xhf xhfxh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在00002()()lim()hf xhf xhfxh17例例2.设设1000cos ()xf xxx，讨论，讨论 在在 处的可导性，处的可导性，()f x0 x 并求并求0002()()lim.hfhfhh解解:001lim()limcosxxf xx不存在不存在0()f xx在在不连续，从而不可导不连续，从而不可导.但是但是001100022coscos()()limlim.hhfhfhhhhh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在00002()()l

16、im()hf xhf xhfxh18例例3.若若0)1(f且且)1(f 存在存在,求求.tan)1()cos(sinlim20 xexxfxx解解:1)cos(sinlim20 xxx原式原式=220)cos(sinlimxxxfx且且0)1(f联想到凑导数的定义式联想到凑导数的定义式220(sincos)limxfxxx1cossin2xx1cossin2xx)1(f)1(f)211()1(21f 000 ()lim xff xx0().fx19例例4.设设)(xf在在2x处连续处连续,且且,32)(lim2xxfx求求.)2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xx

17、fxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3 limxafxf axa存存在在 fxxa在在处可导，即处可导，即 limxafxf axa存存在在 fxxa在在处右可导，即处右可导，即.fa存存在在.fa存存在在题型题型2：已知极限求导数：已知极限求导数 0000 ()()lim xff xfxx20在在 处可导的一个充分条件是（处可导的一个充分条件是（）练习练习 设设D在在xa的某个邻域内有定义，则的某个邻域内有定义，则()f x()f xxa1()lim ()()hAh f af ah存存在在；0(2)()()limhf ahf ahBh存存在在；0()()()l

18、im2hf ahf ahCh存存在在；0()()()limhf af ahDh存存在在.11()()limhf af ahh存存在在0()()limtf atf at存存在在 0limtf atf at存存在在 fxxa在在处可导处可导0()()limhf ahf ah存存在在0()()limtf atf at存存在在21题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数1）求分段函数在分界点处的导数时；2）不符合求导法则的条件时3）表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的 用求导法则0 yx xx在在处的导数处的导数.30si

19、n yxxx在在 0000limxfxffx30sinlimxxxx0例例5.求求处的导数处的导数.解解:注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就不一定可导不可导就不一定可导.注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就一定不可导不可导就一定不可导.33213sincos yxxxx22例例6.022d,.d54txttyxytt t 设设求求解解:分析分析:0,tt 当当时时导导数数不不存存在在d0,dxtt 当当时时不不 存存 在在不能用公式求导不能用公式求导.00limlimxtyx 00d.dtyx故故 20054()yytyttt 002xxt

20、xtt求左右极限求左右极限ddddddyytxxt20542()limtttttt 20903()limttt 20542()limtttttt 200()limttt 254()ttt 2 tt23设设 连续，且连续，且 ，)(xg)()()(2xgaxxf 求求 .)(af )(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)(afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 例例7.解解:注意：注意：求导法则的成立是有条件的求导法则的成立是有条件

21、的.24)(xf设设0,()f xx 讨讨论论在在解解:因为因为)(lim0 xfx又又xfxfx)0()(lim0例例8.所以所以 )(xf0 x在在处连续处连续.即即)(xf0 x在在处可导处可导.xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性处的连续性及可导性.xxxx120sinlim0)0(f注：注：判断可导性的方法判断可导性的方法不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.25例例9.设设,3)(23xxxxf求使求使)0()(nf存在的最高存在的最高

22、分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x)0(fxxx206lim0)0(fxxx2012lim0)(xf但是但是,12)0(f,24)0(f)0(f 不存在不存在._n2又又0 x,24x0 x,12x阶数阶数000()()()limxf xffx000()()()limxfxffx000()()()limxfxffx26注意：注意：000(),:(),().(),xxxf xfxg xxx 如如求求00(),()(),xxxfxg xxx 0lim()xxx 且且0().fxA 0li

23、m(),xxg xA 322,1:(),(1)3,1xxf xfxx 又又如如求求22,1()2,1xxfxx x (1)2f 1x 因因为为该该函函数数在在处处不不连连续续,所所以以不不可可导导.2721cos,0:(),0,0 xxf xxx 又又如如112cossin,0()0,0 xxfxxxx (0)f 求求 0011lim 00,lim(2 cossin)xxxxx不不存存在在，(0).f 不不存存在在(0).f 实实际际上上是是存存在在的的000()()()limxf xffx因因为为2010coslimxxxx0故故 分段函数分界点处的导数必须用导数的定义求；分段函数分界点处的

24、导数必须用导数的定义求；非分界点处的导数用公式与法则求导非分界点处的导数用公式与法则求导.000()()()limxf xffx且且02812990()()()(),().f xx xxxf设设求求 解解:方法方法1 利用导数定义利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式利用求导公式.)(xf)(xx)99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f 29例例11 证明：证明：20.()f xx若若在在 处可导且为偶函数处可导且为偶函数00()f1.()()f xf x是是周周奇奇（）函函数数是是偶

25、偶、奇奇、期期周周偶偶(函函数数期期)证明：证明：定义法定义法()()fxf x 0()()()limxfxxfxfxx 0()()limxf xxf xx 0()()limxfxxf xx ()fx公式法公式法()()fxf x()()fxf x 即即()()()fxxfx()()fxfx题型题型4 4：利用导数的定义证明导函数的性质：利用导数的定义证明导函数的性质30思考：思考：05数一、二，数一、二，4分分 设设F(x)的导数是的导数是f(x)，MN表示表示“M的充分必要条件是的充分必要条件是N”，则必有，则必有 (B)F(x)是奇函数是奇函数f(x)是偶函数是偶函数.(A)F(x)是偶

26、函数是偶函数f(x)是奇函数是奇函数.f(x)是周期函数是周期函数.(C)F(x)是周期函数是周期函数f(x)是单调函数是单调函数.(D)F(x)是单调函数是单调函数 A ()()Fxf x 2()f xx3()F xx1()cosf xx()4(1)2,f xf 设设是是以以 为为周周期期的的函函数数且且练练习习：0lim .(34)(3)hhfhf 则则()4()4f xfx 是是以以 为为周周期期的的函函数数是是以以 为为提提示示：周周期期的的函函数数01lim(34)(3)4(3)hhfhff 则则31解解sin()sinxxyeesin(sin)xxee()sinxesin()xe

27、sinxecos x cosxexe 题型题型5：求各类函数的导数及微分：求各类函数的导数及微分例例12 求下列函数的导数求下列函数的导数1(arct()an)xf1(arctan)xf 22111()1xx 关键关键:搞清函数的运算结构搞清函数的运算结构，对复合函数结构对复合函数结构 应由外向内逐层求导应由外向内逐层求导.11sin.sin(arctan),xxxyeef其中其中)(xf可微可微,.y求求 3211sin.sin(arctan),xxxyeef其中其中)(xf可微可微,.y求求 另解另解:yd)d(sinsinxxee)d(sinsinxxee)d(arctan)(arcta

28、n11xxf)d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee21111(arctan)d()1xxxf xexexxd)sin(cossin2111(arctan)dxxfx ddyyx xxee cos ddyfuu211d()dxxx 解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln20.(),.aaxaxayxaaay求求 aaxln2sin111(cos sin cos )(arctan)xxxxxxexeeef 33cos3.(cos),xxyxxy 求求解：解：coslnln(cos),xxxxyee cosln(cosln)xxyexx coscos(sin

29、ln)xxxxxx (cos)ln(cos)(tan)xxxxx ln(cos)ln(cos)xxexx 0()()()()v xf xu xu x)(ln)()(lnxuxvxf 然后用然后用求导求导.变形为变形为()ln()(),v xu xf xe然后用然后用求导求导.34例例13.解：解：.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxddddddyytxxt)sin(cos3cossin322ttatta ttan 22dddd()ddddyyyxxxx)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 3c

30、ostanxatyt 求导小技巧：先变形再求导求导小技巧：先变形再求导35注：注：由参数方程所确定的导数的求导法：由参数方程所确定的导数的求导法：1()yx 则则可可导导若参数方程若参数方程()()xtyt 可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数(),()tt可导可导,且且关系关系,0()t 时时，法法1：由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得ddddddytyxxt txtydd1dd .)()(tt txtyxydddddd 即即22ddddddyytxxt 法法2：由微商及微分的计算求导由微商及微分的计算求导ddyyxx把把看看成成是是函函数数 的

31、的微微分分及及自自变变量量 的的微微分分之之商商,yxt求求出出dddd 代代入入约约去去d d 即即可可.22d()d()ytxt d(),d()ytxt?已知已知注意注意:对谁求导对谁求导?36单值可导隐函数单值可导隐函数(),yf x0dd,0dd22xxyxxy并求并求,1sin),(yxeyyxFx,yeFxxxyFy cos01sinyxeyx()yy x公式法：公式法：10sinxyexy 例例设设14.14.在点在点(0,0)某邻域某邻域可确定一个可确定一个dd0yx x sin10 xyexycosdyy 两边微分两边微分1dxex dy x d0 x ycos(0,0)xe

32、yyx 微分法：微分法：22d()codsxxyyxeyx 2()(cos)()(cos)(cos)xxxxeyyxeyyxyx 2()(cos)()(sin1)(cos)xxxxeyyxeyy yyx 001,xyy时时 220d3dxyx 370 xysin10 xyexyyycos两边对两边对 x 求导求导1xey0 yx)0,0(cosxyyex直接求导法：直接求导法：yyyy cos)(sin2令令 x=0,注意此时注意此时01,yy 0 yxyyex两边对两边对 x 求导求导小技巧小技巧单值可导隐函数单值可导隐函数(),yf x0dd,0dd22xxyxxy并求并求10sinxye

33、xy 例例设设14.14.在点在点(0,0)某邻域某邻域可确定一个可确定一个22d3d0yxx d?dxy2200d()(,),.dyxyyf xyx xyx设设函函数数由由方方程程所所确确定定 求求思思考考:提示：提示：两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx lnln,yyxx 即即38例例15.设设2111()()()limn xn xnx eaxbf xe试确定常数试确定常数 a,b 使使 f(x)处处可导处处可导,并求并求().fx解：解：)(xf1x,bxa 1x,)1(21ba1x,2x1,x 时时();fxa1x 时时，2().fxx)1()1()1(fff得可导必连续得可导

34、必连续1()f xx 利利用用在在处处可可导导，即即ba1)1(21ba)1()1(ff000lim;lim.xxxxee 391111()()()limxf xffx211121()limxxabx21121limxxx11121()()limxax ba bx 111limxax bxa 1111()()()limxf xffx21,ab 12()f 2121,(),xfxxx)(xf 是否为连续函数是否为连续函数?如何求如何求判别判别:()?fx)(xf1x,bxa1x,)1(21 ba1x,2x,1 时x,)(axf时，1xxxf2)(即1ab121()ab练习：练习：21010sin

35、,(),().ln(),xxf xfxxxx求求 注意：注意：分段函数求导时，分界点处的导数用左右导分段函数求导时，分界点处的导数用左右导数的定义求数的定义求.其他点处的导数用公式和法则求其他点处的导数用公式和法则求.40例例16 设设2()sin,();()xfxff xf f x求求解解 2()sinf xx22()cosfxx22222()cos()cos(sin)ff xf xx()()()f f xf f xf x22222cos(sin)cosxx例例17 设设21112d(),().dffxxx求求 解解222111d()()()dffxxxx2312()()fxx23121()

36、()fxxx22112()fxx 212()ftt 注意区分符号：注意区分符号：00()();ff与与()()ff xff x与与41题型题型6：导数的应用：导数的应用2arctan0.1txttytye 求求由由方方程程在在处处的的切切线线方方程程例例18.解：解：0,0,0,txy 时时对方程分别对对方程分别对t求导得求导得 220tttyytye211txt 212ttyeyt 211txt 0000ddtxxtyyyyxx 22001211ttyyett 1,所求切线方程为所求切线方程为01(0),yx 0.xy 即即ddykx42例例19.222333xya 证证明明曲曲线线在在任任

37、意意点点的的切切线线在在两两坐坐轴轴之之间间的的长长度度为为常常数数.解：解：方程两边分别对方程两边分别对x求导得求导得113320,3xyy 则则11331133,xyyyx (,)M x y处处的的切切线线方方程程为为1313(),xyYyXx 12330XYyy x 令令得得：122333()yyx 1233,y a 12330,YXx a 令令得得：22LXY 距距离离1212223333()()x ay a 422333()axy 4233aaa 为为常常数数.43例例20.(书上的习题书上的习题)22d1d,.ddxxyyy 设设求求解：解：22dd()ddyxxyy 1()yy 2(1)(1)()()yyyyy 2()()yyy 2yyxy 21yyy 3.yy 注意：注意：要写清楚对谁求导，不写的话就是对自变量要写清楚对谁求导，不写的话就是对自变量x求导求导.谢谢 谢谢 大大 家！再见家！再见则曲线则曲线y=f(x)在点在点(1,1)处的切线方程是处的切线方程是 .03数二数二 设函数设函数y=f(x)由方程由方程42lnxyxy所确定，所确定，yx