线性代数第一章-行列式课件.ppt

1、 本课程主要是介绍线性代数理论的经典内容，包括本课程主要是介绍线性代数理论的经典内容，包括行列式、矩阵、线性空间、线性方程组、线性变换、特行列式、矩阵、线性空间、线性方程组、线性变换、特征值和特征向量、二次型等，并以附录形式简单介绍了征值和特征向量、二次型等，并以附录形式简单介绍了欧氏空间欧氏空间 线性代数是高等院校理工和经管各专业本科生的一线性代数是高等院校理工和经管各专业本科生的一门必修的数学基础课程，它既是其它数学课程的必备基门必修的数学基础课程，它既是其它数学课程的必备基础，也是解决实际问题的重要工具础，也是解决实际问题的重要工具第一章第一章 行列式行列式第一节第一节 行列式的基本概念

2、行列式的基本概念一、行列式的定义一、行列式的定义.排列及逆序数排列及逆序数定义定义1 将将 个不同的自然数个不同的自然数 组成的组成的一个有序数组称为一个一个有序数组称为一个 级排列级排列.n12,nm mmn1,2,n定义定义1 将自然数将自然数 组成的一个有序数组称组成的一个有序数组称级排列级排列 为一个为一个n例例1试写出所有的 3 级排列123,132,213,231,312,321定义定义 2在一个在一个 级排列中，如果某两个数的前后级排列中，如果某两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么就称它们为一个那么就称它们为一个

3、逆序逆序，一个排列中逆序的总数，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的就称为这个排列的逆序数逆序数n 通常，将通常，将 的逆序数记成的逆序数记成 ，12nj jj12()nj jj并且我们将逆序数为奇数的排列称为并且我们将逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，将逆，将逆序数为偶数的排列称为序数为偶数的排列称为偶排列偶排列设设 是一个是一个 级排列，如果把排在级排列，如果把排在 12nj jjnij（）前面且比）前面且比 大的数的个数记为大的数的个数记为 ，1,2,inijis则则 的逆序数为的逆序数为12nj jj1212()nnj jjsss级排列的逆序数：级排列的逆序数：n一般地，可利用如下方

4、法计算一般地，可利用如下方法计算(2 35 41)000145(325 41)010146 例如例如(12)0000n意两个数意两个数 和和 交换一下位置，而其余的数保持不交换一下位置，而其余的数保持不ij符号符号 表示表示(,)i j级排列中，如果把这个排列里的任级排列中，如果把这个排列里的任n定义定义3在一个在一个n动，那么就得到了一个新的动，那么就得到了一个新的级排列对排列施行级排列对排列施行n级排列的一次级排列的一次对换对换，并且用，并且用这样的一个变化称为这样的一个变化称为定理定理 1任何一个对换都可以改变排列的奇偶性，也任何一个对换都可以改变排列的奇偶性，也就是说，经过一次对换，偶

5、排列变成奇排列，奇排列就是说，经过一次对换，偶排列变成奇排列，奇排列变成偶排列变成偶排列 1212()()(1)(1)nnn j jjj jj 级排列，则级排列，则12nj jjn定理定理2设设是任意一个是任意一个12nj jj12n与与可以经过一系列对换互变，可以经过一系列对换互变，12()nn j jj的奇偶性与逆序的奇偶性与逆序并且所作对换的个数并且所作对换的个数12()nj jj的奇偶性相同，的奇偶性相同，数数即即.行列式的定义行列式的定义111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa2n(,1,2,)ija i jn定义定义4将由将由个数个数组成的算式组成的算式n称为称为阶

6、行列式阶行列式，1212njjnja aaD算式算式定义为所有取自不同行定义为所有取自不同行的代数和，的代数和，n个数的乘积个数的乘积不同列的不同列的（1）（2）当当 是奇排列时，（）式带负号是奇排列时，（）式带负号 12nj jj对每一个乘积项（）式冠以正负号，规定：对每一个乘积项（）式冠以正负号，规定：12nj jj当当 是偶排列时，（）式带正号；是偶排列时，（）式带正号；12nj jj1,2,nn其中其中是是的一个的一个级排列，级排列，并且并且于是于是1212121112121222()1212(1)nnnnnj jjjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaa12nj jjn其

7、中其中表示对所有表示对所有级排列的求和级排列的求和（3）12,11nnna aa1122nna aa定义定义5在（）式中，将在（）式中，将所在的那条对所在的那条对所在的对角线所在的对角线当当 时，时，；ij0ija 将主对角线以上都是将主对角线以上都是0的行列式称为的行列式称为下三角行列式下三角行列式，角线称为行列式的角线称为行列式的主对角线主对角线;副对角线副对角线，即，即列式称为列式称为对角行列式对角行列式；式称为式称为上三角行列式上三角行列式，而另外一条对角线称为而另外一条对角线称为将除了主对角线以外元素全为将除了主对角线以外元素全为 0 的行的行将主对角线以下都是将主对角线以下都是 0

8、 的行列的行列即即即即当当 时，时，ij0ija 低阶行列式的计算低阶行列式的计算）一阶行列式）一阶行列式|aa注意：这个符号不要与绝对值的符号相混淆注意：这个符号不要与绝对值的符号相混淆）二阶行列式）二阶行列式 1112(12)(21)11221221112212212122(1)(1)aaa aa aa aa aaa 主对角线上的两个元素的乘积减去副对角线上两个主对角线上的两个元素的乘积减去副对角线上两个元素的乘积元素的乘积11122122aaaa对角线法则对角线法则）三阶行列式）三阶行列式 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 注意

9、注意 实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素的乘积冠以负号的乘积冠以负号322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 对角线法则对角线法则例例2计算三阶行列式计算三阶行列式132322211D 解解 由对角线法则，有由对角线法则，有1 2(1)3 22(2)(3)11 2 1 3(3)(1)(2)22D 2 126298 13阶上三角行列式阶上三角行列式例例3证明证明n111212221122nnnnnnnaaaaaUa aaa例例4证明证明n阶行列式阶行列式1(1)2212(1)n nnn 二、行列式的基本性质二、行

10、列式的基本性质111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa1121112222T12nnnnnnaaaaaaDaaanD是一个是一个阶行列式，如果把行列式阶行列式，如果把行列式 的行列互换（行的行列互换（行变为列，列变为行），就得到一个新的行列式变为列，列变为行），就得到一个新的行列式TDD将行列式将行列式称为称为的的转置行列式转置行列式定义定义6设设111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa提示：此性质说明，行列式中的行与列是对称的，提示：此性质说明，行列式中的行与列是对称的，即行和列具有同等的地位对行成立的性质，

11、对即行和列具有同等的地位对行成立的性质，对列也成立；对列成立的性质，对行也成立列也成立；对列成立的性质，对行也成立 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即性质性质2交换行列式两行（列）的位置得到的新行列交换行列式两行（列）的位置得到的新行列式与原行列式相差一个负号式与原行列式相差一个负号推论推论 如果一个行列式的两行（列）对应的数分别相如果一个行列式的两行（列）对应的数分别相等，则这个行列式等于等，则这个行列式等于0性质性质3用一个数用一个数 k 乘以行列式的某一行（列）得到乘以行列式的某一行（列）得到的新行列式等于这个数乘以原行列式，的新行列式等于这个数乘以

12、原行列式，即即111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa推论推论1行列式中某一行（列）所有元素的公因子可行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式外面以提到行列式外面 推论推论2行列式的某两行（列）对应成比例，则这个行列式的某两行（列）对应成比例，则这个行列式的值为行列式的值为 0 推论推论3行列式的某一行（列）全为零，则这个行列行列式的某一行（列）全为零，则这个行列式的值为式的值为 0 性质性质4行列式某一行（列）的所有元素都可以写成行列式某一行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则这个行列式可以拆成两个行列

13、式之和，两项的和，则这个行列式可以拆成两个行列式之和，即即11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabababaaabbbaaaaaaaaa性质性质5将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以一个数一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，加到另外一行（列）上，行列式不变，即即111211112112112212121212nniiinijijinjnjjjnjjjnnnnnnnnnaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaa例例5计算行列式计

14、算行列式 1212114124611322D例例6计算计算 n 阶行列式阶行列式 121212nnnxmxxxxmxDxxxm第二节第二节 行列式的计算行列式的计算一、化三角形法计算行列式一、化三角形法计算行列式 对行列式进行如下三类变换，仍然能够确定它们的值：对行列式进行如下三类变换，仍然能够确定它们的值：）用一个非零数）用一个非零数 k 乘以行列式的某一行（列），行乘以行列式的某一行（列），行列式变为原行列式的列式变为原行列式的 k 倍；倍；）用任意数）用任意数 k 乘以行列式的某一行（列）加到另外乘以行列式的某一行（列）加到另外一行（列）上，行列式的值不变；一行（列）上，行列式的值不变；

15、）交换行列式中两行（列）的位置，此时行列式改）交换行列式中两行（列）的位置，此时行列式改变符号变符号 定理定理3 任意一个行列式经过一系列上述的三类变换，任意一个行列式经过一系列上述的三类变换，总能化成上三角或下三角行列式进行求值总能化成上三角或下三角行列式进行求值例例 7计算计算 n 阶行列式阶行列式 12310001000100000001nnnxaxaxaDxaxa例例8 证明证明 111212122212111211112121222212221212000000000mmmmmmmnmnnnnmnnnnaaaaaaaaaDcccbbbcccbbbcccbbb1112111121212

16、22212221212mnmnmmmmnnnnaaabbbaaabbbaaabbb二、按行（列）展开计算行列式按行（列）展开计算行列式定义定义7设设111111jniijinnnjnnaaaaaaDiaaaj是一个是一个 n 阶行列式，其中阶行列式，其中 i 和和 j 表示第表示第 i 行和第行和第 j 列列在在 D 中划去元素中划去元素 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列，将剩下列，将剩下ija的的 个元素按照原来的顺序构成一个新的个元素按照原来的顺序构成一个新的 n-1阶阶 2(1)n行列式行列式111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniiji

17、jiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa称为元素称为元素 的的余子式余子式，记为，记为 ijaijM并且将并且将(1)ijijijAM 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式 ija引理引理111121,1111121,121222,1221222,11,11,21,11,1,11,21,10001nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa其中等号左端的行列式是一个其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端阶行列式；等号右端 的行列式是左端的行列式是左端 n 阶行列式的前阶行列式的前 n-1 行前行前 n-1 列的元列的

18、元素所组成的素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第阶行列式，即左端行列式第 n 行第行第 n列元素列元素 1 的余子式的余子式 nnM引理引理2111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaa111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1(1)jjniijijinijijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaa 定理定理4设设111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa是

19、一个是一个 n 阶行列式，阶行列式，ijA为为 D 的第的第 i 行第行第 j 列元素列元素ija的代数余子式，的代数余子式，则有则有1122,0,;ijijinjnDija Aa Aa Aij1122,0,.ijijninjDija Aa Aa Aij如果使用连加号和如果使用连加号和Kronecker符号符号1,0,ijijij则结果可以简写成则结果可以简写成1nisjsijsa AD1nsisjijsa AD例例9计算计算 4 阶行列式阶行列式10001100010101xDy三、递推法计算行列式递推法计算行列式例例10 将将 n 阶行列式阶行列式 12322221231111123111

20、1nnnnnnnnxxxxVxxxxxxxx称为称为 n 阶的阶的范德蒙（范德蒙（Vandermonde）行列式）行列式 证明：证明：对于任意的正整数对于任意的正整数 n()，n 阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式2n 1()nijj i nVxx 例例11设设 ，计算，计算 n 阶行列式阶行列式 yznxyyyzxyyDzzxyzzzx第三节第三节 克莱姆法则克莱姆法则定理定理5设设 11 11221121 1222221 122,nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb是以是以 为未知数，含有为未知数，含有 n 个线性方程的方个线性方程的方 12,nx x

21、x程组程组按照在方程中的位置关系所构成的行列式）按照在方程中的位置关系所构成的行列式）1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa如果方程组的系数行列式（即方程组的系数如果方程组的系数行列式（即方程组的系数(25)则线性方程组（则线性方程组（25）有唯一的解，并且解可以如下表）有唯一的解，并且解可以如下表示示 jjDxD1,2,jn其中其中 为常数项为常数项 替换替换 D 中第中第 j 列后所得到列后所得到 jD12,nb bb的行列式的行列式这个定理通常称为这个定理通常称为克莱姆法则克莱姆法则定义定义8对于线性方程组对于线性方程组11 11221121 1222221 122,

22、.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb当，也就是常数项全为零时，则称当，也就是常数项全为零时，则称 120nbbb线性方程组为线性方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组；为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组 否则称线性方程组否则称线性方程组显然，齐次线性方程组必有解显然，齐次线性方程组必有解 ，(0,0,0)称为称为齐次线性方程组的齐次线性方程组的零解零解定理定理6如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组11 1122121 122221 1220,0,0nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x的系数行列式的系数行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa则方程组只有零解则方程组只有零解例例12解线性方程组解线性方程组123412341234123421,2323,322,24332.xxxxxxxxxxxxxxxx