1、第23讲 线性方程组有解的充要条件（一）m、n 不不一定相等！一定相等！设有 个未知数 个方程的线性方程组mn当右端常数项 全为0时，方程组称为齐次线性方程组；不全为0时，称为非齐次线性方程组。mbbb,21,.,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa1、一般形式.,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2、矩阵形式bAx mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.nxxxx21nbbbb21其中一、线性方程组的表示形式3、向量形式baxaxaxnn2
2、211Tmjjjjaaaa),(21其中为未知量的系数向量Tmbbbb),(21称为常数项向量.二、齐次线性方程组解的判定设齐次线性方程组.0,0,0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa即0Ax齐次线性方程组消元法求解线性方程组的过程就是对系数矩阵实施行初等变换的过程mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.下面讨论系数矩阵：（设系数矩阵的秩 ）rAR)(00000000001000100011212111rnrrnrnrrkkkkkk若 则矩阵变为：nr 0000001000100011A对应的线性方程组为：,000,00
3、0,000212121nnnxxxxxxxxx,0,0,021nxxx即：因此，方程组只有零解.若 则对应的方程为：nr,00,00,0,0,0112112211111nnrrrrrnnrrnnrrxkxkxxkxkxxkxkx,112112211111nrnrrrrnnrrnnrrxkxkxxkxkxxkxkx即：此时 个未知量 叫自由未知量。rnnrrxxx,21,221122112222112212211111rnnrrrnrnrrrrrrnnrrrnnrrcxcxcxckckckxckckckxckckckx则方程组有无穷多解。即：令 其中 为任意常数,2211rnnrrcxcxcxr
4、nccc,21由此可得齐次线性方程组解的判定：定理1：元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩nnAR)(推论1：当 时，齐次线性方程组有非零解 nm推论2：个方程、个未知数的齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零.nn例1 1 解齐次线性方程组.0793,083,032,054321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解：10000000022710123017931181332111511AA显然 ，因此线性方程组有非零解42)(1AR 对应方程组 与原方程组同解1A,0227,023432431xxxxxx令 得方程组的一般解13cx 24cx.,227,232413212211cxcxccxccx显然 ，因此线性方程组只有零解nAR 3)(0001900110321203110452321A例2 2 解齐次线性方程组.023,0,0452,0323132321321xxxxxxxxxx解：例3 3 解齐次线性方程组.0111784,02463,03542432143214321xxxxxxxxxxxx例4 4 解齐次线性方程组 .042,052,0321321321xxxxxxxxx小结 nAR nAR齐次线性方程组0Ax0Ax只有零解0Ax有非零解
