第11章等候线模型课件.ppt

1、第第11章章 等候线模型等候线模型 回想一下上一次称不得不等候的情形回想一下上一次称不得不等候的情形：在超市的收银台等候，在银行等候出纳：在超市的收银台等候，在银行等候出纳员，或者是在快餐店等候服务员。在类似员，或者是在快餐店等候服务员。在类似上述需要排队的情况下，把时间用于等待上述需要排队的情况下，把时间用于等待是令人非常不快的。然而增加更多的收银是令人非常不快的。然而增加更多的收银员、银行出纳员或服务生并不总是改变服员、银行出纳员或服务生并不总是改变服务水平的最经济的策略。因此，各行各业务水平的最经济的策略。因此，各行各业需要采取相应的措施，把等待时间控制在需要采取相应的措施，把等待时间控

2、制在顾客所能容忍的限度内。顾客所能容忍的限度内。人们已经设计建立了一些模型来帮助管人们已经设计建立了一些模型来帮助管理者理解等候线的运作，并帮助他们做出更理者理解等候线的运作，并帮助他们做出更好的决策。等候线用管理科学的术语来讲也好的决策。等候线用管理科学的术语来讲也称队列，与等候线相关的知识体系称为排队称队列，与等候线相关的知识体系称为排队论。论。20世纪初，丹麦的一个电话工程师世纪初，丹麦的一个电话工程师A.K.阿朗开始对打电话时发生的阻塞和等待时间阿朗开始对打电话时发生的阻塞和等待时间进行研究。之后，排队论的发展已经日趋复进行研究。之后，排队论的发展已经日趋复杂，并广泛的运用到等候线情形

3、中。杂，并广泛的运用到等候线情形中。等候线模型包括一些数学公式以及可用于确定等等候线模型包括一些数学公式以及可用于确定等候线运行参数（绩效指标）的关系式。相关的一些运候线运行参数（绩效指标）的关系式。相关的一些运行参数如下：行参数如下：(1)系统中没有任何个体的概率；系统中没有任何个体的概率；(2)等候线中等待个体的平均数；等候线中等待个体的平均数；(3)系统中个体的平均数（等候线中个体的平均数加上系统中个体的平均数（等候线中个体的平均数加上接收服务的个体的数目）；接收服务的个体的数目）；(4)一个个体在等候线中所花费的平均时间；一个个体在等候线中所花费的平均时间；(5)一个个体在系统中花费的

4、平均时间（等候时间加上一个个体在系统中花费的平均时间（等候时间加上服务时间）；服务时间）；(6)一个个体到达以后不得不等待以接受服务的概率；一个个体到达以后不得不等待以接受服务的概率；管理者具备了以上的信息，才能更好的做出使期管理者具备了以上的信息，才能更好的做出使期望服务水平与所花费的成本相平衡的决策。望服务水平与所花费的成本相平衡的决策。11.1等候线系统的结构等候线系统的结构 为了说明等候线系统的基本特征，我们以为了说明等候线系统的基本特征，我们以伯格伯格.度姆快餐店的等候线为例。伯格度姆快餐店的等候线为例。伯格.度姆快度姆快餐店出售火腿汉堡、奶酪汉堡、法式油炸食品餐店出售火腿汉堡、奶酪

5、汉堡、法式油炸食品、软包装饮料和搅拌牛奶，同时还有一些特色、软包装饮料和搅拌牛奶，同时还有一些特色食品和甜点可供选择。虽然伯格食品和甜点可供选择。虽然伯格.度姆快餐店度姆快餐店希望能为每位顾客提供即时的服务，但是很多希望能为每位顾客提供即时的服务，但是很多时候，到达的顾客远远多于伯格时候，到达的顾客远远多于伯格.度姆快餐店度姆快餐店的服务人员所能接待的人数。因此，顾客们不的服务人员所能接待的人数。因此，顾客们不得不排队，以等候所点快餐并取走所点的食品得不排队，以等候所点快餐并取走所点的食品。伯格伯格.度姆快餐店担心，它目前所用的顾客度姆快餐店担心，它目前所用的顾客服务方式正导致过长的等候时间。

6、管理层已经服务方式正导致过长的等候时间。管理层已经提出要求，需要对等候线进行研究，以开发一提出要求，需要对等候线进行研究，以开发一个能够减少等待时间、提高服务质量的最佳服个能够减少等待时间、提高服务质量的最佳服务方式。务方式。11.1.1 单列等候线单列等候线 在伯格在伯格.度姆快餐店目前所实行的运作方式中，度姆快餐店目前所实行的运作方式中，首先由一名服务生接受一位顾客的点餐，计算总费首先由一名服务生接受一位顾客的点餐，计算总费用，向顾客收取餐费，然后上菜。为第一位顾客上用，向顾客收取餐费，然后上菜。为第一位顾客上菜之后，这名服务生就可以为下一位等待中的顾客菜之后，这名服务生就可以为下一位等待

7、中的顾客服务。这种运作方式就是一个单列等候线模型的例服务。这种运作方式就是一个单列等候线模型的例子。每位进入伯格子。每位进入伯格.度姆快餐店的顾客都必须通过这度姆快餐店的顾客都必须通过这一条渠道（一个接收点餐和上餐的工作台）以进行一条渠道（一个接收点餐和上餐的工作台）以进行点餐、付款，然后取食品。当到达的顾客人数很多点餐、付款，然后取食品。当到达的顾客人数很多，以至于工作人员不能及时提供服务时，顾客们就，以至于工作人员不能及时提供服务时，顾客们就会形成一条等候队伍，等待这个点餐和上菜的工作会形成一条等候队伍，等待这个点餐和上菜的工作台为其提供服务。有关伯格台为其提供服务。有关伯格.度姆快餐店的

8、单列等候度姆快餐店的单列等候线如图线如图11-1所示。所示。等候线服务生接收点餐并满足点餐要求顾客到达点餐完毕后顾客离开系统图 11-1 伯格.度姆的单列等候线 11.1.2 达到间隔分布达到间隔分布 为等候线确定到达过程，主要包括确为等候线确定到达过程，主要包括确定在某个给定时间段内顾客到达数目的概定在某个给定时间段内顾客到达数目的概率分布。对于有些等候线情形来说，顾客率分布。对于有些等候线情形来说，顾客的到达具有随机性和独立性，我们也不能的到达具有随机性和独立性，我们也不能预测新的顾客会在什么时候到达。在这种预测新的顾客会在什么时候到达。在这种情况下，管理科学家们发现，顾客的到达情况下，管

9、理科学家们发现，顾客的到达规律可以用泊松概率分布来很好地进行描规律可以用泊松概率分布来很好地进行描述。述。泊松概率函数可以计算出在某个泊松概率函数可以计算出在某个时间段内，有时间段内，有x位顾客到达的概率。该位顾客到达的概率。该概率函数如下：概率函数如下：,(0,1,2.)!xxeP xxx式中，式中，x-在此时间段内到达的人数在此时间段内到达的人数;-每个时间段内到达的平均人数；每个时间段内到达的平均人数；e=2.718 28e-的值可以利用计算器或通过书末附录的值可以利用计算器或通过书末附录B计计算得出。算得出。(11-1)0.750.75()!xxxeeP xxx4724.0!075.0

10、)0(75.075.00ee 假设伯格假设伯格.度姆快餐店已经对相关的度姆快餐店已经对相关的顾客到达数据进行了分析，并得知平均每顾客到达数据进行了分析，并得知平均每小时到达的顾客人数为小时到达的顾客人数为4545人。也就是说，人。也就是说，平均平均1 1分钟内到达人数为分钟内到达人数为=45=45名顾客名顾客/60/60分钟分钟=0.75=0.75名顾客名顾客/分钟。因此，我们可以分钟。因此，我们可以利用下面的泊松概率函数计算利用下面的泊松概率函数计算1 1分钟内有分钟内有x x为顾客到达的概率：为顾客到达的概率：从而，从而，1 1分钟内有分钟内有0 0为、为、1 1位和位和2 2位顾客到位顾

11、客到达的概率分别为：达的概率分别为：3543.04724.075.075.0!175.0)1(75.075.01ee1329.024724.05625.0!275.0)2(75.02e可见，可见，1分钟内没有顾客到达的概率为分钟内没有顾客到达的概率为0.472 4，有有1位顾客到达的概率为位顾客到达的概率为0.354 3，有有2位顾客到达的概率为位顾客到达的概率为0.132 9.表表11-1表表示偶尔一分钟内到达的顾客数的概率。示偶尔一分钟内到达的顾客数的概率。表表 11-1 1分钟内到达伯格分钟内到达伯格.度姆快餐店度姆快餐店的顾客人数概率分布的顾客人数概率分布 到达顾客数到达顾客数 概率概

12、率 0 0.472 40 0.472 4 1 0.354 3 1 0.354 3 2 0.132 9 2 0.132 9 3 0.033 2 3 0.033 2 4 0.006 2 4 0.006 2 5 0.001 0 5 0.001 0 在第在第11.2节和第节和第11.3节中，我们将要讨节中，我们将要讨论到等待线模型，其中伯格论到等待线模型，其中伯格.度姆快餐店的度姆快餐店的顾客到达人数是用泊松分布描述的。在实顾客到达人数是用泊松分布描述的。在实际应用中，我们要记录几天或几个星期内际应用中，我们要记录几天或几个星期内每个时间段的实际到达人数，并将观察到每个时间段的实际到达人数，并将观察到

13、的到达人数概率分布与泊松概率分布相比的到达人数概率分布与泊松概率分布相比较，以确定由泊松概率分布计算得出的值较，以确定由泊松概率分布计算得出的值是否是实际到达人数分布的合理的近似值是否是实际到达人数分布的合理的近似值。tet1)(服务时间11.1.4服务时间分布服务时间分布 服务时间是指从服务开始，某位顾客在服务服务时间是指从服务开始，某位顾客在服务台所花费的时间。对于伯格台所花费的时间。对于伯格.度姆快餐店而言，服度姆快餐店而言，服务时间是从顾客开始向服务生点餐开始，并持续务时间是从顾客开始向服务生点餐开始，并持续到顾客拿到所点的食品为止。服务时间通常不是到顾客拿到所点的食品为止。服务时间通

14、常不是固定的。在伯格固定的。在伯格.度姆快餐店，每位顾客所点的食度姆快餐店，每位顾客所点的食品数目和品种有很大的不同。点餐少的顾客可能品数目和品种有很大的不同。点餐少的顾客可能在几秒钟内完成，但点餐多的顾客的可能要花在几秒钟内完成，但点餐多的顾客的可能要花2分分钟甚至更长的时间才能完成。钟甚至更长的时间才能完成。管理科学学家们发现，如果服务时间的概率管理科学学家们发现，如果服务时间的概率分布可以用指数概率分布来表示，那么可以用公分布可以用指数概率分布来表示，那么可以用公式计算等候线运作所需的有用信息。利用指数概式计算等候线运作所需的有用信息。利用指数概率分布来计算服务时间小于或等于时间长度率分

15、布来计算服务时间小于或等于时间长度t时的时的概率如下：概率如下：其中，其中，-每个时间段内可接受服务的个每个时间段内可接受服务的个体的均值；体的均值；e=2.718 28。假设伯格假设伯格.度姆快餐店已经研究了接受度姆快餐店已经研究了接受点餐和上菜的过程，并发现每个服务生平点餐和上菜的过程，并发现每个服务生平均每小时能为均每小时能为60位顾客提供点餐服务。在位顾客提供点餐服务。在此基础上，可以得出平均服务率为此基础上，可以得出平均服务率为=60名名顾客顾客/60分钟分钟=一名顾客一名顾客/分钟。例如，当分钟。例如，当=1时，我们可以用式（时，我们可以用式（11-3）来计算在）来计算在0.5分分

16、钟内、钟内、1分钟内分钟内以及以及2分钟内可以处理一个点餐要求的概率分钟内可以处理一个点餐要求的概率。计算分别如下：。计算分别如下：1 0.5(0.511 0.60650.3935Pe 服务时间分钟）1 1.0(1.011 0.36790.6321Pe 服务时间分钟）1 2.0(2.011 0.13530.8647e 服务时间分钟）因此，我们可以得出结论：因此，我们可以得出结论：0.5分钟内分钟内能处理一个点餐要求的概率为能处理一个点餐要求的概率为0.393 5，1分分钟内能处理一个点餐要求的概率为钟内能处理一个点餐要求的概率为0.632 1，2分钟内能处理一个点餐要求的概率为分钟内能处理一个

17、点餐要求的概率为0.864 7。本章所述的几个等候线模型中，我们假本章所述的几个等候线模型中，我们假定服务时间的概率分布服从指数分布。在定服务时间的概率分布服从指数分布。在实践中，我们应该收集相关的实际服务时实践中，我们应该收集相关的实际服务时间的数据，以确定由指数分布得出的值是间的数据，以确定由指数分布得出的值是否是实践中服务时间的合理近似值。否是实践中服务时间的合理近似值。11.1.4 排队原则 在描述等候线系统时，我们必须规定等待中的个体按照什么方式等待服务。就伯格 度姆快餐店的等候线（推广到一般来讲，可以是所有面向顾客的等候线）来说，我们是以先到先服务的原则来安排等候服务的顾客的，这种

18、方式被称做FCFS排队原则。然而，用些情况要求有不同的排队原则。如，人们在等候电梯时，最后上电梯的人通常是最先完成服务过程（即最先离开电梯）的人。还有一些排队原则则是赋予等候个体优先次序，然后为具有最高优先权的顾客最先提供服务。在本章中，我们只讨论先到先服务的排队原则为基础的等候线。11.1.5 稳态运行稳态运行 当伯格当伯格.度姆快餐店早上开始营业时，度姆快餐店早上开始营业时，店里没有顾客。渐渐地，营业开始正常或店里没有顾客。渐渐地，营业开始正常或呈稳定状态。我们将开始或起始阶段成为呈稳定状态。我们将开始或起始阶段成为过渡（瞬时）阶段。当系统正常或稳态运过渡（瞬时）阶段。当系统正常或稳态运行

19、时，过渡（瞬时）阶段结束。等候线模行时，过渡（瞬时）阶段结束。等候线模型描述了等候线的稳态运行参数。型描述了等候线的稳态运行参数。11.2 到达服从泊松分布、服务时间服从指到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模型数分布的单列等候线模型 在本节中，为了确定单列等候线的稳态在本节中，为了确定单列等候线的稳态运行参数，我们将引进一些相关的公式。如运行参数，我们将引进一些相关的公式。如果顾客到达服从泊松分布，并且服务时间服果顾客到达服从泊松分布，并且服务时间服从指数分布，则我们就可以应用这些公式。从指数分布，则我们就可以应用这些公式。因为上述假设符合第因为上述假设符合第11.1节中讨论的

20、伯格节中讨论的伯格.度度姆快餐店问题，因此，我们将解释如何应用姆快餐店问题，因此，我们将解释如何应用这些公式来确定伯格这些公式来确定伯格.度姆快餐店的运行参度姆快餐店的运行参数，并据此为管理层提供有益的决策信息。数，并据此为管理层提供有益的决策信息。11.2.111.2.1运行参数运行参数 我们可以用下述公式来计算到达服从我们可以用下述公式来计算到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线的运行参数，其中，等候线的运行参数，其中，-每个时间段内到达的平均数（平每个时间段内到达的平均数（平均到达率）；均到达率）；-每个时间段内服务的平均数（平每个时间段内

21、服务的平均数（平均服务率）；均服务率）；1.1.系统中没有任何个体的概率：系统中没有任何个体的概率：10（11-411-4）qLLqqLW 1qWW3 3 系统中个体的平均数：系统中个体的平均数：4 4 一个个体在等候线中所花费的平均时间：一个个体在等候线中所花费的平均时间：5 5 一个个体在系统中花费的平均时间：一个个体在系统中花费的平均时间：2 2等候线中个体的平均数：等候线中个体的平均数：)(2qL(11-5)(11-5)(11-6)(11-7)(11-8)11 9很明显，平均到达率 和平均服务时间 的值是决定运行参数的重要因素。通过式（）可以看出，平均到达率和平均服务时间的比值表示一个

22、到达的个体由于服务设施处于被使用的状态而不得不等候的概率。因此，通常将看作服务设施的利用系数。0)(nn7 7 系统中同时有系统中同时有n n个个体的概率：个个体的概率：(11-10)(11-10)w6 6 某位刚到达的个体必须等待的概率：某位刚到达的个体必须等待的概率：(11-9)111 411 10111 411 10只有当平均服务率 大于平均到达率（即）时，式（）（）所求的运行参数才适用。如果不存在上述情况，则等候线将会无限期增长，因为服务设施没有足够的能力接待新到达的个体。因此，必须要求当 时，我们才能利用式（）式（）来计算。11.2.2伯格伯格.度姆快餐店问题的运行参数度姆快餐店问题

23、的运行参数 回顾一下，在伯格回顾一下，在伯格.度姆快餐店的问题度姆快餐店的问题中，我们已经得到一个平均到达率中，我们已经得到一个平均到达率=0.75和一个平均服务率和一个平均服务率=1。111411 10.因此，在的情况下，可以利用式（）（）来计算伯格度姆快餐店的单列等候线的运行参数。75.0175.0(41131(375.025.2(3175.025.2(25.2)75.01(175.0)(250.0175.011220wqqqqqWWLWLLLP分钟）分钟）位顾客）位顾客）我们可以用式（我们可以用式（11-10）确定系统中任何数）确定系统中任何数目顾客的概率。表目顾客的概率。表11-2提供

24、了应用式（提供了应用式（11-10）得出的概率。）得出的概率。表11-2 伯格.度姆快餐店的等候线系统中有n位顾客的率顾客人数顾客人数 概率概率 0 0.250 00 0.250 0 1 0.187 5 1 0.187 5 2 0.140 6 2 0.140 6 3 0.105 5 3 0.105 5 4 0.079 1 4 0.079 1 5 0.059 3 5 0.059 3 6 0.044 5 6 0.044 5 7 7个或更多个或更多 0.133 50.133 5 11.2.3管理者对等候线模型的应用管理者对等候线模型的应用 伯格伯格.度姆快餐店的单列等候线的计算结果给出了度姆快餐店的

25、单列等候线的计算结果给出了一些关于等候线运作的重要信息。特别值得注意的是一些关于等候线运作的重要信息。特别值得注意的是，顾客们在点餐前的平均等待时间为，顾客们在点餐前的平均等待时间为3分钟，这对以分钟，这对以快速服务为宗旨的快餐行业来说，多少有些长了点。快速服务为宗旨的快餐行业来说，多少有些长了点。此外，我们还注意到，等待中的顾客平均人数为此外，我们还注意到，等待中的顾客平均人数为2.25位，且顾客不得不等待的概率为位，且顾客不得不等待的概率为75%，这也要求我们，这也要求我们必须采取措施来改善等候线的运作。通过表必须采取措施来改善等候线的运作。通过表11-2，我，我们知道，在伯格们知道，在伯

26、格.度姆快餐店的系统中，同时有度姆快餐店的系统中，同时有7个或个或7个以上顾客等待的概率为个以上顾客等待的概率为0.1335.这一数字表明，如果这一数字表明，如果伯格伯格.度姆快餐店继续使用单列等候线运作方式，则很度姆快餐店继续使用单列等候线运作方式，则很可能会出现较长的等待队伍。可能会出现较长的等待队伍。如果相对于公司的服务标准来讲，伯格如果相对于公司的服务标准来讲，伯格.度姆快餐度姆快餐店的运作参数并不令人满意。因此，快餐店的管理者店的运作参数并不令人满意。因此，快餐店的管理者应当考虑采取其他设计或计划来改善等候线的运作。应当考虑采取其他设计或计划来改善等候线的运作。11.2.4改进等候线

27、运作改进等候线运作 等候线模型通常会显示出哪些运作参数需要改等候线模型通常会显示出哪些运作参数需要改善。然而，要就怎样改变等候线结构来改善运行参善。然而，要就怎样改变等候线结构来改善运行参数做出决策，必须依靠分析家的洞察力和创造力。数做出决策，必须依靠分析家的洞察力和创造力。考察了等候线模型所提供的运行参数之后，伯考察了等候线模型所提供的运行参数之后，伯格格.度姆快餐店的管理者认为有必要改善等候线的度姆快餐店的管理者认为有必要改善等候线的运作从而减少顾客的等候时间。为了改善等候线的运作从而减少顾客的等候时间。为了改善等候线的运作，分析家们常常侧重于采用提高服务率的方法运作，分析家们常常侧重于采

28、用提高服务率的方法。一般来讲，要提高服务率，需要做出下面一两种。一般来讲，要提高服务率，需要做出下面一两种改变：改变：(1)通过创造性的设计变更或利用新技术来提通过创造性的设计变更或利用新技术来提高平均服务率高平均服务率。(2)增加服务渠道，这样能够使更多的顾客得增加服务渠道，这样能够使更多的顾客得到即时服务。到即时服务。假设在考虑方案假设在考虑方案1时，伯格时，伯格.度姆快餐店的管理度姆快餐店的管理者决定雇用一名上菜员来帮助收银台旁的点餐员。者决定雇用一名上菜员来帮助收银台旁的点餐员。从点餐员点餐开始，顾客开始接受服务。点餐后，从点餐员点餐开始，顾客开始接受服务。点餐后，点餐员通过一个内部通

29、讯系统报出菜名，然后由上点餐员通过一个内部通讯系统报出菜名，然后由上菜员开始上菜。点餐完毕后，点餐员处理付款事宜菜员开始上菜。点餐完毕后，点餐员处理付款事宜，上菜员继续上菜。按照这一设计，伯格，上菜员继续上菜。按照这一设计，伯格.度姆快餐度姆快餐店的管理者预测，平均服务率可以从现在的每小时店的管理者预测，平均服务率可以从现在的每小时60位顾客上升到每小时位顾客上升到每小时75位顾客。也就是说，改变位顾客。也就是说，改变后的系统的平均服务率为后的系统的平均服务率为=75位顾客位顾客/60分钟分钟=1.25位顾客位顾客/分钟。在分钟。在=0.75位顾客位顾客/分钟且分钟且=1.25位顾客位顾客/分

30、钟的情况下，我们可以利用式（分钟的情况下，我们可以利用式（11-4）式（式（11-10）重新计算伯格度姆快餐店的等候线的新的运）重新计算伯格度姆快餐店的等候线的新的运行参数。计算得到的运行参数如表行参数。计算得到的运行参数如表11-3所示。所示。系统中没有顾客的概率系统中没有顾客的概率等候线中顾客的平均人数等候线中顾客的平均人数系统中顾客的平均人数系统中顾客的平均人数一位顾客的等候线中花费一位顾客的等候线中花费的平均时间的平均时间分钟分钟一位顾客在系统中花费的一位顾客在系统中花费的平均时间平均时间分钟分钟一位到达的顾客必须等候一位到达的顾客必须等候的概率的概率系统中有系统中有7位以上（含位以上

31、（含7位）位）顾客的概率顾客的概率表表11-3 平均服务率上升到平均服务率上升到=1.25位顾客位顾客/分钟时，伯分钟时，伯格度姆快餐店系统的运行参数格度姆快餐店系统的运行参数 从表从表11-3中我们可以看出，服务率的提中我们可以看出，服务率的提高改善了所有的运行参数。特别地，顾客排高改善了所有的运行参数。特别地，顾客排队等候所花费的平均时间从队等候所花费的平均时间从3分钟下降到了分钟下降到了1.2分钟；顾客在系统中所花的平均时间从分钟；顾客在系统中所花的平均时间从4分钟减少到分钟减少到2分钟。然而，还没有其他的方分钟。然而，还没有其他的方法可以让伯格度姆的快餐店提高服务率呢？法可以让伯格度姆

32、的快餐店提高服务率呢？如果有，并且每种方法中的平均服务率如果有，并且每种方法中的平均服务率都都能确定，则可以利用式（能确定，则可以利用式（11-4）式（式（11-10）来计算改变后的运行参数以及等候线系统）来计算改变后的运行参数以及等候线系统中的所有改善。我们可以将实施改进方案所中的所有改善。我们可以将实施改进方案所增加的成本与提高的服务质量进行比较，从增加的成本与提高的服务质量进行比较，从而帮助管理者决定实行改善方案的服务改善而帮助管理者决定实行改善方案的服务改善策略是否有价值。策略是否有价值。正如前面所提到的，方案正如前面所提到的，方案2可以提供一个可以提供一个或多个额外的服务梁道。从而可

33、以在同一时间或多个额外的服务梁道。从而可以在同一时间内为多位顾客服务。下一界讨论的主题就是把内为多位顾客服务。下一界讨论的主题就是把单列等候线模型扩展到多位等候线模型。单列等候线模型扩展到多位等候线模型。11.2.5等候线模型的等候线模型的Excel解法解法 在工作表的帮助下，我们可以很容易的实在工作表的帮助下，我们可以很容易的实施等候线模型。伯格度姆快餐店单列等候线的施等候线模型。伯格度姆快餐店单列等候线的Excel工作表如图工作表如图11-2所示。阴影部分是输入所示。阴影部分是输入了公式的单元格，明亮的部分是输入了数值的了公式的单元格，明亮的部分是输入了数值的单元格。在单元格单元格。在单元

34、格B7和和B8中分别输入平均到中分别输入平均到达率和平均服务率，然后将等候线相关运行参达率和平均服务率，然后将等候线相关运行参数的公式输入到单元格数的公式输入到单元格C13到到C18中。中。通过该工作表得到的结果与我们前面得到的通过该工作表得到的结果与我们前面得到的运行参数的值是相同的。我们可以通过在单运行参数的值是相同的。我们可以通过在单元格元格B7和和B8输入不同的平均到达率和（或）输入不同的平均到达率和（或）平均服务率，来得出等候线设计的变更。如平均服务率，来得出等候线设计的变更。如此就可以立刻得到等候线的新的运行参数。此就可以立刻得到等候线的新的运行参数。图图11-2所示的工作表是一个

35、模板，可以所示的工作表是一个模板，可以用于所有到达服从泊松分布、服务时间服从用于所有到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模型。该工作表及本指数分布的单列等候线模型。该工作表及本章中提到的其他的一些等候线模型的类似工章中提到的其他的一些等候线模型的类似工作表，可以参见在本书附带的作表，可以参见在本书附带的CD盘中的内容盘中的内容。11.3 到达服从泊松分布、服务时间服从指到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的多列等候线模型数分布的多列等候线模型 一个多列等候线包括两个或两个以上的一个多列等候线包括两个或两个以上的服务梁道，假设这些服务渠道就服务能力而服务梁道，假设这些服务渠道就服

36、务能力而言是相同的。在多列系统中，到达的个体在言是相同的。在多列系统中，到达的个体在单列等候线中等待，然后移动到第一个可用单列等候线中等待，然后移动到第一个可用的梁道接收服务。图的梁道接收服务。图11-3为伯格度姆快餐店为伯格度姆快餐店的一个双梁道示意图。的一个双梁道示意图。本节中，我们将介绍确定多列等候线本节中，我们将介绍确定多列等候线稳态运行参数的公式。这些公式的应用前稳态运行参数的公式。这些公式的应用前提为下列条件成立：提为下列条件成立：到达服从泊松分布；到达服从泊松分布；各个梁道的服从时间服从指数分布；各个梁道的服从时间服从指数分布；各个梁道的平均服务率各个梁道的平均服务率相同；相同；

37、到达者在单列等候先中等候，然后移动到到达者在单列等候先中等候，然后移动到第一个可用的梁道接受服务。第一个可用的梁道接受服务。顾客到达等候线渠道1服务生A渠道2服务生B顾客到下一个营业渠道点餐完毕后顾客离开图11-3 伯格 度姆快餐店的双渠道等候线02101/!kknPknkk （11-1111-11）02/1!kqLPkk(11-12)(11-12)11.3.1运行参数运行参数 我们可以用下列公式来计算多列等候我们可以用下列公式来计算多列等候线的稳态运行参数线的稳态运行参数,其中其中,表示系统中的平表示系统中的平均到达率均到达率;表示每个两道的平均服务率表示每个两道的平均服务率;k表表示渠道数

38、示渠道数.1.系统中没有任何个体的概率系统中没有任何个体的概率:2.等候线中个体的平均数等候线中个体的平均数:qLLqqLW1qWW(11-15)(11-15)3.系统中个体的平均数系统中个体的平均数:(11-13)4.一个个体在等候线中所花费的平均时间一个个体在等候线中所花费的平均时间:(11-14)5.一个个体在系统中花费的平均时间一个个体在系统中花费的平均时间:01!kwkPPkk 0/!nnPPn 0/!nnn kPPk k(对于对于nk)（11-17）（对于（对于n nk k）（）（11-1811-18）6.某位刚到达的个体必须等待的概率某位刚到达的个体必须等待的概率:(11-16)

39、7.系统中同时有系统中同时有n个个体的概率：个个体的概率：因为因为为每个渠道的平均服务率，所以为每个渠道的平均服务率，所以k就就是多列系统的平均服务率。我们已经知道上述公是多列系统的平均服务率。我们已经知道上述公式适用与单列等候线模型，但只有当系统的平均式适用与单列等候线模型，但只有当系统的平均服务率大于系统的平均到达率时，这些公式才能服务率大于系统的平均到达率时，这些公式才能使用于多列等候线模型的运行参数。也就是说，使用于多列等候线模型的运行参数。也就是说，对于多列等候线模型，只有当对于多列等候线模型，只有当k时，才可以时，才可以应用上述公式。应用上述公式。对于多列等候线，有些运行参数的表达

40、式比对于多列等候线，有些运行参数的表达式比单列等候线的要复杂。但是，式（单列等候线的要复杂。但是，式（11-11）式（式（11-18）给出了与单列等候线模型相同的信息。）给出了与单列等候线模型相同的信息。为了帮助简化多列等候线模型中的公式的运用，为了帮助简化多列等候线模型中的公式的运用，表表11-4给出了根据所选定的一些给出了根据所选定的一些和的值所和的值所计算出的计算出的0 的值。表中的数值都对应着的值。表中的数值都对应着k的情况，即服务率足够处理到达的顾客。的情况，即服务率足够处理到达的顾客。11.3.2 伯格伯格度姆快餐店问题的运行参数度姆快餐店问题的运行参数 为了说明多列等候线模型，我

41、们仍然以为了说明多列等候线模型，我们仍然以伯格度姆快餐店的等候线为例。如果管理者伯格度姆快餐店的等候线为例。如果管理者想对增开第二个点餐工作台（以便能同时为想对增开第二个点餐工作台（以便能同时为2位顾客提供服务）的可行性进行评估。假位顾客提供服务）的可行性进行评估。假设在单列等候线中排在第一位的顾客首先到设在单列等候线中排在第一位的顾客首先到达空闲的服务生处接受服务。下面我们来计达空闲的服务生处接受服务。下面我们来计算这个双梁道系统的运行参数：算这个双梁道系统的运行参数：P0=0.4545（见表（见表11-4，其中，其中，/=0.75）22(0.75/1)0.75 10.45450.1227(

42、2 1)!(2 1 0.75)qL 0.750.12270.87271qLL0.12270.16360.75qqLW110.16361.16361qWW21 0.752 1()0.45450.20452!12 1 0.75WP（位顾客）（位顾客）（位顾客）（位顾客）（分钟）（分钟）（分钟）（分钟）利用式（利用式（11-17）和式（）和式（11-18），我们可以计算出系），我们可以计算出系统中有统中有n位顾客的概率。计算结果如表位顾客的概率。计算结果如表11-5所示。所示。现在，我们可以将双梁道系统的稳态运行参数现在，我们可以将双梁道系统的稳态运行参数与第与第11.2节中所讨论过的原先的单列系统

43、的运行参节中所讨论过的原先的单列系统的运行参数进行对比。数进行对比。(1)一位顾客在系统中所花费的平均时间（等候一位顾客在系统中所花费的平均时间（等候时间加上接受服务时间）从时间加上接受服务时间）从W=4分钟减少到分钟减少到W=1.1636分钟；分钟；(2)等候线中顾客的平均人数从等候线中顾客的平均人数从Lq=2.25位减少位减少到到Lq=0.1227位；位；(3)一位顾客在等候线中所花的平均时间从一位顾客在等候线中所花的平均时间从Wq=3分钟减少到分钟减少到Wq=0.1636分钟；分钟；(4)一位顾客不得不等待的概率从一位顾客不得不等待的概率从PW=0.75下降下降到到PW=0.2045。很

44、明显，双渠道系统可以极大地改善等候很明显，双渠道系统可以极大地改善等候线的运行参数。但是，在每个服务台增加一个线的运行参数。但是，在每个服务台增加一个上菜员也会进一步提高平均服务率，并且可以上菜员也会进一步提高平均服务率，并且可以进一步提高运行参数。伯格度姆快餐店人员决进一步提高运行参数。伯格度姆快餐店人员决策的最终决定权在管理者手中。对等候线的研策的最终决定权在管理者手中。对等候线的研究只提供了究只提供了3种结构下可以预测到的运行参数种结构下可以预测到的运行参数：一名员工的单列系统，两名员工的单列系统：一名员工的单列系统，两名员工的单列系统和每个渠道一名员工的双梁道系统。考察了上和每个渠道一

45、名员工的双梁道系统。考察了上述结果之后，你会推荐是是什么措施？在本案述结果之后，你会推荐是是什么措施？在本案例中，伯格度姆快餐店采用了下面的策略：在例中，伯格度姆快餐店采用了下面的策略：在预计到达顾客为平均每小时预计到达顾客为平均每小时45人的时间段内，人的时间段内，伯格度姆快餐店将增开两个处理点餐的梁道，伯格度姆快餐店将增开两个处理点餐的梁道，每个渠道安排一名员工。每个渠道安排一名员工。伯格度姆快餐店的管理者通过改变平均到达率伯格度姆快餐店的管理者通过改变平均到达率来反映一天中不同时段的到达率，然后计算出运行参来反映一天中不同时段的到达率，然后计算出运行参数，这样他们就能够制定出相应的方针政

46、策，告诉经数，这样他们就能够制定出相应的方针政策，告诉经理什么时候应当安排单个梁道，什么时候应当安排双理什么时候应当安排单个梁道，什么时候应当安排双梁道，或者甚至是三个或更多梁道以适应营业状况。梁道，或者甚至是三个或更多梁道以适应营业状况。表表11-511-5伯格度姆快餐店双梁道系统中有伯格度姆快餐店双梁道系统中有n n位顾客的概率位顾客的概率顾客人数顾客人数概率概率0 01 12 23 34 45 50 0454545450 0340934090 0127812780 0047904790 0018001800 00109010911.4等候线模型中的一般关系等候线模型中的一般关系在第在第1

47、1.2节和第节和第11.3节中，我们分别讲到了节中，我们分别讲到了到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线和多列等候线的运行参数的计的单列等候线和多列等候线的运行参数的计算公式。相关的运行参数如下：算公式。相关的运行参数如下：Lq等候线中个体的平均数；等候线中个体的平均数；L 系统中个体的平均数；系统中个体的平均数；Wq一个个体在等候线中所花费的平均一个个体在等候线中所花费的平均时间；时间；W一个个体在系统中所花费的平均时一个个体在系统中所花费的平均时间。间。约翰约翰里特（里特（John D.C.Little）证明）证明了这四个参数之间存在的几种

48、关系，并且了这四个参数之间存在的几种关系，并且这些关系适用于各种不同的等候线系统。这些关系适用于各种不同的等候线系统。其中的两种关系成为里特导出方程：其中的两种关系成为里特导出方程：L=W （11-19）Lq=Wq （11-20）式（式（11-19）表明，系统中个体的平均数可）表明，系统中个体的平均数可以由平均到达率以由平均到达率与每个个体在系统中所与每个个体在系统中所花费的平均时间花费的平均时间W相乘得到。式（相乘得到。式（11-20）表明，等候线中个体的平局数表明，等候线中个体的平局数Lq 与每个个与每个个体在等候线中所花费的平均时间体在等候线中所花费的平均时间Wq之间也之间也存在这一样的

49、关系。存在这一样的关系。利用式（利用式（11-20）求解）求解Wq，我们可以得到：，我们可以得到：qqLW利用里特的第二个到导出方程可以直接推利用里特的第二个到导出方程可以直接推导出式（导出式（11-21）。我们在第）。我们在第11.2节中的单节中的单列等候线模型和第列等候线模型和第11.3节中的多列等候线节中的多列等候线模型中都用到了这个公式。【参见式（模型中都用到了这个公式。【参见式（11-7）和（）和（11-14）】。一旦计算出上述某）】。一旦计算出上述某个模型的个模型的Lq，就可以通过式（，就可以通过式（11-21）计）计算出算出Wq。（11-21）另一个适用于等候线模型的一般表达另一

50、个适用于等候线模型的一般表达式是：个体在系统中的平均时间式是：个体在系统中的平均时间W等于个等于个体在等候线中的平均时间体在等候线中的平均时间Wq加上平均服务加上平均服务时间。对于一个平均服务率为时间。对于一个平均服务率为的系统来说，的系统来说，平均服务时间为平均服务时间为1/。因此，我们得到一般。因此，我们得到一般的关系式：的关系式：1qWW回顾一下，我们曾用式（回顾一下，我们曾用式（11-22）计算单列）计算单列等候线模型和多列等候线模型系统的平均等候线模型和多列等候线模型系统的平均时间【参见式（时间【参见式（11-8）和式（）和式（11-15）】。）】。（11-22）里特导出方程的重要性