第三章-中值定理与导数的应用-课件.ppt

1、湖南教育出版社湖南教育出版社第三章 中值定理与导数的应用 3.1 中值定理 3.2 罗必达法则 3.3 函数单调性的判别法 3.4 函数的极值 3.5 函数的最大值和最小值 3.6 曲线的凹凸与拐点 3.7 函数图像的描绘 3.8 曲率湖南教育出版社湖南教育出版社下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.1 中值定理中值定理1.罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理2.拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)定理定理3.柯西柯西（Cauchy）定理定理首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.1 中值定理中值定理1.罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理定理定理1（罗尔定理）如果函数（罗尔定

2、理）如果函数f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导；内可导；(3)f(a)=f(b),0 0f().则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点使得使得(),abxyo0 0f().CabAB首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 验证函数验证函数定理的条件，并求出使定理的条件，并求出使的的值值.解解1 1x 所以，在所以，在内，使得内，使得的的有两个有两个:3.1 中值定理中值定理3,33)(3在xxxf上满足罗尔上满足罗尔0)(f33)(2xxf3()33,3,f xxx，且在是初等函数上有定义3()3.f

3、xxx在该区间上连续)3()3(ff0)(xf2330 x(1)0,(1)0ff)3,3(0)(f121,1.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)定理定理定理定理2（拉格朗日定理）（拉格朗日定理）如果函数如果函数f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导；内可导；则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点使得使得3.1 中值定理中值定理(),ab()()().f bf afbaxyoABf()k.abABabafbfkAB)()(首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出

4、版社格朗日定理的条件，并求格朗日定理的条件，并求 的值的值.例例2 验证函数验证函数在区间在区间0，1上满足拉上满足拉解解拉格朗日定理拉格朗日定理2 2303032321 1.（舍）（舍）1 13 33 3,2 23 33 3.3.1 中值定理中值定理xxxf2)(33()20,1f xxx在区间上有定义，所以在区间0，1上连续；2()32fxx 在开区间(0,1)内存在)(01)0()1(fff首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社推论推论1如果函数如果函数f(x)在区间在区间(a,b)内的导数恒为内的导数恒为 零，则零，则f(x)在区间在区间(a,b)内是一个常数内是一个常数

5、.推论推论2如果函数如果函数f(x)和和g(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导,且且则在区间则在区间(a,b)内两个内两个函数至多相差一个常数，即函数至多相差一个常数，即 其中其中C为某个常数为某个常数.3.1 中值定理中值定理（用拉格朗日定理证）()(),fxg x()(),f xg xC首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得3.柯西柯西（Cauchy）定理定理定理定理3（柯西定理）如果函数（柯西定理）如果函数f(x)和和g(x)满足满足:(1)在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可

6、导，且内可导，且 3.1 中值定理中值定理()0,g x()()().()()()f bf afg bg agxxg)()()().f bf afba首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社1.未定式未定式 型的极限求法型的极限求法 3.2 罗必达法则罗必达法则0 00 02.未定式未定式 型的极限求法型的极限求法 3.其他类型的未定式极限的求法其他类型的未定式极限的求法首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社可以除外），可以除外），(2)在点在点的某邻域内（点的某邻域内（点1.未定式未定式 型的极限求法型的极限求法 3.2 罗必达法则罗必达法则0 00 0罗必达法则罗

7、必达法则1 如果函数如果函数f(x)和和g(x)满足下述条件：满足下述条件：(1)0 0 x0 0 x均存在且均存在且(3)存在（或为无穷大），则有存在（或为无穷大），则有00lim()lim()0;xxxxf xg x)(),(xgxf()0;g x)()(lim0 xgxfxx00()()limlim.()()xxxxf xfxg xg x首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1求求解解例例2 求求 解解3.2 罗必达法则罗必达法则0(1)1lim().xxx为实数1000(1)1(1)1(1)limlimlim.()1xxxxxxxxarctan2lim.1xxx222

8、21arctan12limlimlim1.111xxxxxxxxx10,arctan0,0.20 xxx 00,(1)10,0.0 xxx 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3求求解解3.2 罗必达法则罗必达法则30sinlim.xxxx3200sin1 coslimlim,3xxxxxxx2001 cossin1limlim.366xxxxxx003200000sin1 cossin100limlimlim.366xxxxxxxxxx首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社的某邻域内（点的某邻域内（点可以除外），可以除外），2.未定式未定式 型的极限求法型的

9、极限求法 罗必达法则罗必达法则2如果函数如果函数f(x)和和g(x)满足下述条件：满足下述条件：(1)(2)在点在点0 0 x0 0 x均存在且均存在且(3)存在（或为无穷大），则有存在（或为无穷大），则有3.2 罗必达法则罗必达法则00lim()lim();xxxxf xg x)(),(xgxf()0;g x)()(lim0 xgxfxx00()()limlim.()()xxxxf xfxg xg x首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求求解解3.2 罗必达法则罗必达法则0 0lncotlim.lnxxx xxxxxxxxxxxcossinlim1)csc(cot1l

10、imlncotlnlim0020000.1sinlimcos1lim0000 xxxxx首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 求求解解例例6解解求求3.2 罗必达法则罗必达法则2lnlim.xxx221ln1limlimlim0.22xxxxxxxxlim.nxxxexnxxnxxnxexnnenxex21)1(limlimlim!lim0.xxne注意注意 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例7求求解解例例8求求解解方法失效方法失效 3.2 罗必达法则罗必达法则sinlim.x

11、xxx(sin)cos1limlim ()()1xxxxxx不存在1limsin1limsinlimxxxxxxxxxxlim.xxxxxeeeexxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeelimlimlim1010111limlim22xxxxxxxxeeeeee首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.其他类型的未定式极限的求法其他类型的未定式极限的求法例例9 求求解解例例10 求求解解3.2 罗必达法则罗必达法则000,0,1,0 0或0 0limln.xxx(0)0 00 00 00 021lnlimlnlimlimlim0.11xxxxxxxxxxx 2lim

12、(sectan).xxx 22201 sin0cos0lim(sectan)limlim0.cossinxxxxxxxxx首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例11求求解解3.2 罗必达法则罗必达法则0 0lim.xxx 000 0limlnln0 00 0limlim,xxxxxxxxxee 0 0limln0,xxx 00 0lim1.xxxe 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法设函数设函数f(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导.定理定理(1)如果在如果在(a,b)内，内，0)(xf，则函数，则函数f(x)在在

13、(a,b)内单调增加内单调增加;(2)如果在如果在(a,b)内，内，0)(xf，则函数，则函数f(x)在在(a,b)内单调减少内单调减少.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf(),.yf xa b在上单调减少3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法211221()()()

14、(),f xf xfxxxx首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社表中表中“”表示单调增加，表示单调增加，“”表示单调减表示单调减少少.例例1 判定函数判定函数的单调性的单调性.解解00 x3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法2)(xxfxxf2)(0,()0;0,()0;0,()0.xfxxfxxfx时时时)0,(),0()(xf)(xf首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例2 求函数求函数的单调区间的单调区间.解解x-1(-1,3)3003.3 函数单调性判别法函数单调性判别法1493)(23xxxxf2()3693(1)(3),fxxxxx12()0,

15、1,3.fxxx 解得)1,(),3()(xf)(xf(,1)(3,),(1,3).单调增加区间为和单调减少区间为首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 求函数求函数的单调区间的单调区间.解解1不存在x3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法32)1(3)(xxf331)1(2)1(2)(xxxf)(xf)(xf)1,(),1(1,),(1).单调增加区间为单调减少区间为，首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求函数求函数的单调区间的单调区间.解解0-0+x3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法)1ln()(xxxf(1,)定义域为，1()1.11x

16、fxxx()00.fxx)(xf)(xf)0,1(),0(0,),(1 0).单调增加区间为单调减少区间为，首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社（2）求导数，并求使）求导数，并求使 或或 不存在的点，不存在的点，得到各单调区间的分界点；得到各单调区间的分界点；3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法综合以上几例，得到求函数单调区间的步骤如下：综合以上几例，得到求函数单调区间的步骤如下：（1）求函数的定义域；）求函数的定义域；（3）讨论）讨论 在各区间内的符号，判断函数在各区间内的符号，判断函数 在各区间内的单调性在各区间内的单调性.0)(xf)(xf)(xf)(xf 注意注意

17、如果函数在某区间内，只有个别点的导数等于零或不存在，但该区间内其余各点的导数均大于（或小于）零，则函数在这个区间内仍是单调增加（或减少）的.3xy 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例50 0 x sin xx.证明证明:当当时，时，证证令令所以所以在在内是单调增加的且连续内是单调增加的且连续.3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法,0.0)0(,sin)(时当则xfxxxf,0cos1)(xxf)(xf),0(0()(0)0,xf xfsin0,xxsin(0).xx x首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.4 函数的极值函数的极值1.函数极值的定义函

18、数极值的定义2.函数极值的判定和求法函数极值的判定和求法首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.4 函数的极值函数的极值概念引入概念引入14142525(),(),(),(),().yf xc cf cf cC Cf cf c在点处的函数值比它们左右邻近各点的函数值大 而在处的函数值比它们邻近各点的函数值都小首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.4 函数的极值函数的极值1.函数极值的定义函数极值的定义定义定义0 0 x设函数设函数在在的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义.（1）如果对于该邻域内的任意点）如果对于该邻域内的任意点，都有，都有（2）如果对于该邻域内

19、的任意点）如果对于该邻域内的任意点，都有，都有函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的极值极值，使函数取得极值的点称为函数的使函数取得极值的点称为函数的极值点极值点.)(xf0()x xx00()(),()(),f xf xf xf x则称为函数极大值的并且0();xf x称是的极大值点点0()x xx00()(),()(),f xf xf xf x则称为函数极小值的并且0()xf x极称点 是的小值点.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社取得极值，则函数在点取得极值，则函数在点可导，且在点可导，且在点2.函数极值的判定和求法函数极值的判定和求法定理定理

20、1（必要条件）（必要条件）0 0 x0 0 x0 0 x设函数设函数在点在点的导数的导数 使函数的导数为零的点叫作函数的使函数的导数为零的点叫作函数的驻点（或稳定点）驻点（或稳定点）3.4 函数的极值函数的极值)(xf0()0.fx注意注意001,()()0,.f xfxx定理 表明 函数在的点 处可能取极值但是 在导数不存在的点 函数也可能有极值yxxyoxyo13yx首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.4 函数的极值函数的极值xyoabxyoab0 x0 x()0fx()0fx()0fx()0fx 定理引入定理引入首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社在点

21、在点的一个邻域内的一个邻域内定理定理2（第一充分条件）（第一充分条件）设函数设函数在点在点0 0 x连续且可导（但连续且可导（但可以不存在）可以不存在）.（1）如果在）如果在0 0 x的邻域内，当的邻域内，当0 0 xx 时，时，0 0 xx 0 0 x当当时，时，则函数，则函数取得极大值取得极大值（2）如果在）如果在0 0 x的去心邻域内，的去心邻域内，0 0 xx 时，时，当当0 0 xx 时，时，则函数，则函数在点在点0 0 x取得极小值取得极小值3.4 函数的极值函数的极值)(0 xf()0;fx0)(xf)(xf0().f x()0;fx()0fx)(xf0().f x（3）如果在）

22、如果在(),fx不改变符号的邻域内，当的邻域内，当0()().f xf x则不是函数的极值0 x首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社（2）求导数）求导数 ;3.4 函数的极值函数的极值综合上面两个定理，得到求函数极值的一般步骤如下：综合上面两个定理，得到求函数极值的一般步骤如下：（1）求函数的定义域；）求函数的定义域；)(xf（3）求）求 的全部驻点或导数不存在的点；的全部驻点或导数不存在的点；（4）讨论各驻点或导数不存在的点是否为极值点，）讨论各驻点或导数不存在的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；是极大值点还是极小值点；（5）求各极值点的函数值，得到函数的全部极值）求各

23、极值点的函数值，得到函数的全部极值.)(xf首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1求函数求函数的极值的极值.解解（1）函数的定义域为）函数的定义域为（2）（3）令）令得驻点得驻点3.4 函数的极值函数的极值11232)(23xxxxf(,).2()66126(2)(1).fxxxxx0)(xf122,1.xx（4）列表讨论如下）列表讨论如下:x-2(-2,1)100极大值21极小值6)2,(),1()(xf)(xf首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.4 函数的极值函数的极值xyo(2)21,(1)6.ff 极大值为极小值为3223121yxxx12首页首

24、页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例2求函数求函数的极值的极值.（1）函数的定义域为）函数的定义域为解解（2）（3）令）令得驻点得驻点（4）列表讨论如下）列表讨论如下:x-1(-1,0)0(0,1)1-0-0+0+极小值03.4 函数的极值函数的极值1)1()(32 xxf(,).2222()3(1)26(1)(1).fxxxx xx0)(xf1231,0,1.xxx)(xf)(xf)1,(),1(首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社1 11 1x,3 31 1x 由上表知，函数的极小值为由上表知，函数的极小值为.驻点驻点不是极值点，如下图所示不是极值点，如下图所

25、示.3.4 函数的极值函数的极值0)0(fxyo1123(1)1yx首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 求函数求函数的极值的极值.解解（1）函数的定义域为）函数的定义域为（2）（3）令）令得驻点得驻点1 1x.当当0 0 x 时，导数不存在时，导数不存在.（4）列表讨论如下）列表讨论如下:x0(0,1)1+不存在不存在-0+极大值极大值0极小值极小值1 12 2 3.4 函数的极值函数的极值3223)(xxxf(,).13()1.fxx 0)(xf)(xf)(xf)0,(),1(首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社由上表知，函数的极大值为由上表知，函数的

26、极大值为3.4 函数的极值函数的极值(0)0.f1(1).2f 函数的极小值为函数的极小值为首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社取得极小值取得极小值.在点在点定理定理3（第二充分条件）（第二充分条件）设函数设函数0 0 x处具有二阶处具有二阶导数且导数且（1）如果）如果，则函数，则函数在点在点0 0 x（2）如果）如果，则函数，则函数在点在点0 0 x取得极大值取得极大值.3.4 函数的极值函数的极值)(xf0()0,()0.fxfx0)(0 xf)(xf)(xf0)(0 xf注意注意 0()0()0,3,fxfx当且则定理 失效 这时仍用第一充分条件来判定.32)(,)(xx

27、gxxf0 x 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.4 函数的极值函数的极值例例4 求函数求函数在区间在区间 0 20 2,上的极值上的极值.xxxfcossin)(解解()cossin.fxxx0)(xf125,.44xxxxxfcossin)()20,4f()()2.44f xxf在取得极大值02)45(f55()()2.44f xxf 在取得极小值首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社（1）求函数）求函数 的导数，并求出所有的驻点和导数不存的导数，并求出所有的驻点和导数不存在的点在的点.（3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是）比较上述各函数值的大小

28、，其中最大的就是 在闭区间在闭区间a，b上的最大值，最小的就是上的最大值，最小的就是 在闭区间在闭区间a，b上的最小值上的最小值.3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值求函数求函数 在闭区间在闭区间a，b上的最大值与最小值的步骤为：上的最大值与最小值的步骤为：)(xf)(xf)(xf)(xf（2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值例例1 求函数求函数 的最大值和的最大值和最小值最小值.解解令令 所以最大值为所以最大值为，最小值为，最小值为32(

29、)392 2,6f xxxx在闭区间)3)(1(3963)(2xxxxxf12()0,1,3.fxxx 得驻点（2）求出区间端点及各驻点的函数值分别是）求出区间端点及各驻点的函数值分别是（1）求函数的导数，得）求函数的导数，得.25)3(,7)1(,56)6(,0)2(ffff56)6(f(3)25.f 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例2用一块边长为用一块边长为24cm的正方形铁皮，在其四角各截去一块面的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒，问截去的小正方形积相等的小正方形，做成无盖的铁盒，问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？边

30、长为多少时，做出的铁盒容积最大？解解设截去的小正方形边长为设截去的小正方形边长为xcm，铁盒容积为，铁盒容积为Vcm3得得3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社令令 0 0V,得得 又由问题得实际意义知，函数又由问题得实际意义知，函数V的最大值在（的最大值在（0，12）内取）内取得，所以当得，所以当x4时，函数时，函数V取得最大值，即当所截去的正取得最大值，即当所截去的正方形边长为方形边长为4cm时，铁盒的容积最大。时，铁盒的容积最大。3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值)120()224(2xxxV).4)(12(12)624

31、)(224()2)(224(2)224(2xxxxxxxV1212,4.xx首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3在一条河的同旁有甲乙两城，甲的城位于河岸边，乙城离在一条河的同旁有甲乙两城，甲的城位于河岸边，乙城离岸岸40km，乙城到岸的垂足与甲城相距，乙城到岸的垂足与甲城相距50km，两城在此河，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每公里为每公里3万元和万元和5万元，问此水厂应设在河边的何处才能万元，问此水厂应设在河边的何处才能使水管费用最省？使水管费用最省？3.5 函数最大值和最小值函数最大值和

32、最小值解解 设水厂离甲城设水厂离甲城xkm，水管，水管总费用为总费用为y万元，则万元，则).500(,)50(405322xxxy2222223 40(50)5(50)5(50)3.40(50)40(50)xxxyxx 020.yx 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例4已知电源电压为已知电源电压为E，内阻为，内阻为r，求负载电阻，求负载电阻R为多大时，为多大时，输出功率最大？输出功率最大？解解2 2PI R,EIrR 令令 0 0dP,dR 得得 Rr.所以当所以当 Rr 时，输出功率最大时，输出功率最大.3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值2,(0,).EPRR

33、rR32)(RrRrEdRdP首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例5每单位产品的价格是每单位产品的价格是134元，求使利润最大的产量元，求使利润最大的产量.解解生产生产x个单位利润为个单位利润为3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值某产品生产某产品生产x单位的总成本为单位的总成本为3001705121)(23xxxxC.300365121)3001705121(134)()()(2323xxxxxxxxCxRxL211()1036(36)(4),44L xxxxx 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社因为因为 所以所以在在 3636x 有极大值有极大值

34、;又因为又因为 所以所以在在 4 4x 有极小值有极小值.因此因此L(36)=996是是L(X)的最大值的最大值.所以所以,生产生产36个单位时个单位时,有最大利润有最大利润996元元.3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值1()10.2L xx 12()036,4.L xxx(36)80,L )(xL(4)40,L)(xL(0)300,36,()0LxL x().L x单调减少首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社)设曲线弧的方程为设曲线弧的方程为y=f(x)，且曲线弧上的每一点，且曲线弧上的每一点都有切线，如果在某区间内，该曲线弧位于其上任意一都有切线，如果在某区间内，

35、该曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的凹的；如果该；如果该曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是间内是凸的凸的。3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义xyoxyo2yxyx)首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社定理定理设函数设函数f(x)在在(a,b)内有二阶导数内有二阶导数.（1）如果在）如果在(a,b)内，内，则曲线则曲线y=f(x)在在(a,b)内是凹的内是凹的;（2）如果在）如果在(a,b)内，内，则曲线则曲线y=f(x)在在(a,b)内

36、是凸的内是凸的.例例1判定曲线判定曲线3 3yx 的凹凸性的凹凸性.解解函数的定义域为函数的定义域为2 23636yx,yx.0000 xy.所以曲线在所以曲线在 内是凸的内是凸的,在在内是凹的内是凹的.3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点()0,fx()0,fx(,).)0,(),0(首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫作连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫作曲线的曲线的拐点拐点.3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点yxo3 3yx 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例2求曲线求曲线43432121y

37、xx凹凸区间和拐点凹凸区间和拐点.解解函数的定义域为函数的定义域为令令0 0y,得得1 10 0 x,2 21 1x.x0(0,1)1+0-0+拐点拐点(0,1)拐点拐点(1,0)3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点(,).)1(121212,64223 xxxxyxxy)(xf )(xfy)0,(),1(首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3求曲线求曲线5 53 3yx 凹凸区间和拐点凹凸区间和拐点.解解函数的定义域为函数的定义域为2 23 35 53 3yx,1 13 35 25 23 33 3yx 1011019 9 3 3.x x0-不存在不存在拐点拐点(0,0

38、)3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点(,).)(xf )(xfy)0,(),0(首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例4判断曲线判断曲线是否有拐点是否有拐点?解解函数的定义域为函数的定义域为令令 0 0y,得得 1 12 2x.1 12 2x 时，恒有时，恒有0 0y,因此点因此点不是曲线得拐点，所以曲线没有拐点不是曲线得拐点，所以曲线没有拐点.3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点1)12(4xy(,).23)12(48,)12(8 xyxy1,2xy即在点的左右近旁的符号相同1,21首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.7 函数图像的描绘函数图像

39、的描绘1.曲线的水平渐近线和铅直渐进线曲线的水平渐近线和铅直渐进线2.函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘1.曲线的水平渐近线和铅直渐进线曲线的水平渐近线和铅直渐进线一般地一般地则直线则直线y=A叫作曲线叫作曲线y=f(x)的水平渐进线的水平渐进线.则直线则直线x=x0叫作曲线叫作曲线y=f(x)的铅直渐进线的铅直渐进线.(,)lim(),xxxxf xA如果或或时,0000(0,0)lim(),xxxxxxxxf x 如果或或时,首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 求曲线求曲线 2 21

40、1xyx 的渐进线的渐进线.解解0 0y 是曲线的水平渐进线是曲线的水平渐进线.例例2 求曲线求曲线 的渐进线的渐进线.解解1 1x,1 1x 是曲线的铅直渐进线是曲线的铅直渐进线.0 0y 是曲线的水平渐进线是曲线的水平渐进线.3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘22lim0,1xxx)1)(1(xxxy11 lim,lim(1)(1)(1)(1)xxxxxxxx lim0(1)(1)xxxx首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘2.函数图像的描绘函数图像的描绘利用导数描绘函数的图像的一般步骤是：利用导数描绘函数的图像的一般步骤是：（1）确定

41、函数）确定函数 的定义域，并讨论函数的奇偶性；的定义域，并讨论函数的奇偶性；（2）求出）求出 ，解出，解出 在在函数定义域内的全部实根，并求出所有使一阶导数函数定义域内的全部实根，并求出所有使一阶导数 二阶导数二阶导数 不存在的点；不存在的点；（3）把函数的定义域分为几个部分区间，列表讨论函）把函数的定义域分为几个部分区间，列表讨论函数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点；数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点；（4）确定曲线的渐近线；）确定曲线的渐近线；（5）结合极值点、拐点以及必要的辅助点，把它们）结合极值点、拐点以及必要的辅助点，把它们连成光滑的曲线，从而得到函数连成光滑的曲线，从而得到函数

42、 的图像的图像.)(xfy)()(xfxf 与0)(0)(xfxf与(),fx)(xf )(xfy 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 作函数作函数 的图像的图像.（1）函数的定义域为）函数的定义域为解解3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘33)(xxxf(,).33()3()()(3)(),fxxxxxf x 所以所以,是奇函数，它的图像关于原点对称是奇函数，它的图像关于原点对称.)(xf2(2)()333(1)(1),fxxxx12()0,1,1.fxxx 令得()6,fxx 3()0,0.fxx令得首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社（3）列表讨论

43、如下）列表讨论如下:x-1(-1,0)0(0,1)1-0+0-+0-极小极小值值2极大极大值值2曲线曲线拐点拐点(0,0)3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘)1,(),1()(xf)(xf )(xf首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 作函数作函数 2 2xye 的图像的图像.(1)函数的定义域为函数的定义域为解解所以所以是偶函数，它的图像关于是偶函数，它的图像关于y轴对称轴对称.2 22 2xyxe,3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘(,).22()()(),xxfxeef x)

44、(xf(2)20,.2yx 令得0,0.yx 令得222(21),xyxe 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社(3)列表讨论如下列表讨论如下:x0000y极大极大值值1曲线曲线拐点拐点拐点拐点2 22 2 2 22 23.7 函数图像的描绘函数图像的描绘)22,(),22(20,22(,0)2yy ),22(21e),22(21e2(4)lim0 xxe直线直线y=0为水平渐进线为水平渐进线.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 作函数作函数 2 236361 13

45、3xyx 的图像的图像.解解(1)函数的定义域为函数的定义域为 3333,3 336 336 33 3xyx 令令 0 0y,得得 3 3x.4 47267263 3xyx 令令 0 0y,得得 6 6x.(3)列表讨论如下列表讨论如下:3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘(2)首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社x3(3,6)6-+0-0+极大值极大值4曲线曲线拐点拐点 f x f x fx 3 3,3 33 3,6 6,11116 63 3(,)3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 1 1xlim fx,3 3xlim f

46、x.所以直线所以直线y=1为水平渐进线，为水平渐进线，x=-3为铅直渐进线为铅直渐进线.(5)综上所述得图像综上所述得图像3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘(4)首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.8 曲率曲率1.弧微分弧微分2.曲率及其计算公式曲率及其计算公式3.曲率圆和曲率半径曲率圆和曲率半径首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.8 曲率曲率0sM Mxsdxdssx0lim22222)(xMNMNMNxMNxs2222()()()MNxyMNx 221,MNyMNx1.弧微分弧微分首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.8 曲率曲率

47、弧微分弧微分ds就是曲线上点就是曲线上点M处的切线段处的切线段|MT|.通常把直角三角形通常把直角三角形MRT叫作曲线在点叫作曲线在点M的的微分三角形微分三角形.2222dsdxdy弧微分公式弧微分公式221.sMNyxMNx 00lim1,limxxMNyyMNx 21.dsydx s=s(x)是是x的单调增加函数，从而根号前应取正号，的单调增加函数，从而根号前应取正号，21,dsy dx首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 求正弦曲线求正弦曲线ysinx 的弧微分的弧微分.解解2 21 1dsy dx2 21 1cos xdx.例例2求圆求圆 x rcosty r s

48、int 的弧微分的弧微分.解解2222ds(r sintdt)(rcostdt)rdt.3.8 曲率曲率首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.曲率及其计算公式曲率及其计算公式平均曲率平均曲率akMN 曲率曲率0 0MNaklimMN 3.8 曲率曲率11MNMN111NMMN首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3解解已知圆的半径为已知圆的半径为R,求：（求：（1）圆上任意一段的平均曲率；）圆上任意一段的平均曲率；（2）圆上任意一点的曲率）圆上任意一点的曲率.（1）akMN aR a 1 1.R（2）圆上任一点的曲率）圆上任一点的曲率 0 0MNaklimM

49、N 0 01 1MNlimR 1 1.R 3.8 曲率曲率,.MONMNR 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.8 曲率曲率MMs0.KMNs弧弧MN的平均曲率为的平均曲率为在点在点M(x,y)的曲率为的曲率为 0lim.(1)sdKsds ytan21.cosdy dx1)(1tancoscossincos1222222y2.(2)1()yddxy首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求等边双曲线求等边双曲线xy=1在点在点(1,1)处的曲率处的曲率.解解2 21 1y,x 3 32 2y.x 1 11 1xy|,1 12 2xy|.代入曲率的计算公

50、式得代入曲率的计算公式得 3 23 22 22 21111|k.3.8 曲率曲率曲率的计算公式曲率的计算公式21 (3)dsy dx23/223/2|.(1)(1)yyKKKyy只取正值11.xyyx(2)与与(3)代入代入(1)得得首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.8 曲率曲率例例5 求抛物线求抛物线 上曲率最大的点上曲率最大的点.2xy 解解2xy 2,2.yxy2 3/2|2|.1(2)Kx当当x=0时，分母最小时，分母最小.所以，在顶点（所以，在顶点（0，0）处抛物线的曲率最大）处抛物线的曲率最大.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.曲率圆和曲