现代控制理论基础第3章-线性控制系统的动态分析课件.ppt

1、3 31 1 引言引言 状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输出与内部状态关系的动态数学模型状态方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务之一。本章重点:讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，并在此基础上导出状态方程的求解公式。连续系统状态方程的离散化，即建立连续系统的离散系统状态方程。齐次状态方程：齐次状态方程：x tAx t，控制输入为零。控制输入为零。(1)若若A为标量有：为标量有：x tax t 000e.!atnnx tx tatx tn初始时刻初始时刻

2、t0=0,则则3 32 2 线性定常系统状态方程的求解线性定常系统状态方程的求解(2)(2)若若A A为方阵，为方阵，0100!;nnnnAtx tx tnAtAx tnAx t绝对一致收敛绝对一致收敛 00!nnAtx tn级数级数称为矩阵指数称为矩阵指数0!nAtnAten矩阵级数矩阵级数232310000110102!3!00Attttettt24353524112!4!3!5!13!5!2!4!tttttttttcossin.sincostttt解：解：.Ate求求例例3 32 21 1 已知已知01,10A骣=-桫3 32 22 2状态转移矩阵的性质及其计算方法状态转移矩阵的性质及其

3、计算方法一、状态转移矩阵的基本定义一、状态转移矩阵的基本定义 对于线性定常连续系统 ，当初始时刻t0=0时，满足如下矩阵微分方程和初始条件：x=Ax00()(),()ttttttAI,(3-1)解 为线性定常连续系统 的状态转移矩阵。()tx=Ax12nA则有：则有：1200nttAtteeee二、二、几个特殊矩阵指数几个特殊矩阵指数(1)(1)若若 为对角矩阵为对角矩阵A2 212!AteIAtA t12n101=01t 212222012!0nt证证:由由 定义知定义知Ate1020010!1!10!n nnn nnn nnntntntn12nttteeem m11A则有：则有：12111

4、21!1012!01mmAttm mtttmttmeet约当矩阵约当矩阵 m mA若若 为为（2 2）则有：则有：1200jAtA tAtA teeee具有约当块的矩阵具有约当块的矩阵 A若若 为为（3 3）1jAAA其中：其中：12,jA AA为约当块为约当块则有：则有：cossinsincosAtttteett-A(4)(4)若若 为为A3.2.2.3 3.2.2.3 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质性质一性质一()()()tttAA性质二性质二 性质三性质三()(0)ttI()()()tt性质四性质四 性质五性质五 1()()tt211020012()()(),ttttttttt3.

5、2.2.4 3.2.2.4 状态转移矩阵的计算方法状态转移矩阵的计算方法 0 x tAx tsx sxAx s(1)(1)定义法：定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现按照定义直接计算，适合于计算机实现(2)拉氏变换法：拉氏变换法：11100 x ssIAxx tLsIAx11AteLsIA有：有：例例3.2.2 3.2.2 用用Laplace Laplace 变换法计算矩阵指数：变换法计算矩阵指数：0123A123ssIAs1311232ssIAss s31121221212ssssssssss解：解：12111121222121212AtsssseLssss则有：则有：22222222

6、tttttttteeeeeeee(3)(3)标准型法：标准型法：则有则有个互异的特征值个互异的特征值A设设具有具有n12,n.a12100nttAtteeePPe满足满足P其中其中1,.nP APdiag解解:1)1)特征值特征值116-11612306115IA 1231,2,3 例例3.2.2 3.2.2 已知矩阵已知矩阵0116-116-6-115A.Ate试计算矩阵指数试计算矩阵指数 2)2)计算特征向量：计算特征向量：1231110,2,6149ppp 3)3)构造变换阵构造变换阵P P：111026149P153223433112P 则有：则有：213000000tAttteePe

7、Pe23232332323232323533342322668966527312916212922tttttttttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee-1-21-1!-2!0ntttnttA tttteteenteeePPntee.b设设 具有具有 个重特征值个重特征值 则有则有An,解解:1)1)计算特征向量和广义特征向量。计算特征向量和广义特征向量。123112322,17492546749ppp 例例3.2.3 3.2.3 已知矩阵已知矩阵065102324A.Ate试计算矩阵指数试计算矩阵指数1123221,749546-2749P得得：12

8、6272814112P11AtPAPtePeP2)2)计算矩阵指数：计算矩阵指数：2112026532210072817490041115462749tttteteee 22222222297322282227243410121132-858222022352ttttttttttttttttttttttttttteteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeetee 210121,.knnAc Ic Ac AcAkn(4)(4)化有限项法化有限项法根据：根据：1011.Atnneat Ia t Aat A 1011.tnneata tat1)1)特征根两两互异：特征根两两互异

9、：12101 11 11012121011ntnntnntnnnnaaaeaaaeaaae11101111.1ntntnnnaeae 1011tnneata tat 212123231-1121261-21!tnntnnntntea tatnat eatatnnatenat1n2)2)有有 个重特征值个重特征值n两端对两端对 求求1 1至至 阶导数得：阶导数得：1n 1,2-1.ia tin解方程组可求得解方程组可求得 201224teata tat -012teata tat例例3.2.4 3.2.4 已知系统已知系统010001230A.Ate试用化有限的方法求矩阵试用化有限的方法求矩阵

10、的矩阵指数的矩阵指数A1,1,2 。解：矩阵解：矩阵 的特征方程为：的特征方程为：A 2120，特征值特征值为为32对于对于 有有1 2-1，对于对于 有有 -122ttea tat 202122186912239139tttttttttateetea teeteateete从而可联立求得：从而可联立求得：因为因为-1-1是重根，故需补充方程：是重根，故需补充方程：由此可得：由此可得：201222222222286231 312264532239464838453Attttttttttttttttttteat It Aat Aet eet eet eet eet eet eeteeteet e

11、3 32 23 3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统在输入信号u u作用下的运动称为强迫运动，其可用式（352）所示的非齐次状态方程描述，即00()()t tttx=Ax+Buxx下面求解非齐次状态方程式（352），以研究控制作用下系统强迫运动的规律。（352）一、直接求解法一、直接求解法非齐次状态方程()()()tttxAxBu可改写为()()()tttxAxBu两边左乘 teA()()()ttettetAAxAxBu由矩阵指数性质及导数运算法则 d()()dttetettAAxBu得 由矩阵指数性质及导数运算法则 d()()dttetettAAxBu

12、两边在t0到t闭区间进行积分，得 00()()dtttteeAAxBu000()()()dtttteteteAAAxxBu 即 两边左乘 ，由矩阵指数性质可得 000()()000()()()d()()()()dtt ttttttetettttAAxxBuxButeA00t(0)x若特殊情况下，如，对应初始状态为则线性定常非齐次状态方程的解为()00()(0)()d()(0)()()dttttteettAAxxxBuBu二、拉氏变换法二、拉氏变换法00t()()(0)()sssI-A xxBu1()sI-A11()()(0)()()tsssxI-AxI-ABu1111()()(0)()()tL

13、sLssxI-AxI-ABu事实上，对初始时刻的情况，也可应用拉普拉斯变 （360）得 式（361）两边取拉普拉斯反变换得对上述状态方程的求解式利用卷积分公式，则有换法求解非齐次状态方程。对式（353）两边取拉普拉斯变换，并移项整理得式（360）两边左乘（361）（362）10()()(0)()()()(0)()()dtttLssttxxBuxBu结果与直接求解法完全相同。三、状态方程解的意义三、状态方程解的意义000()()000()()()d()()()()dtt ttttttetettttAAxxBuxBu系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初

14、始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。零状态响应。00()()()()t tttttxAxBuxx()tA()B t00()()()t ttttxAxxx线性时变系统的结构参数随时间而变化，其一般形式的状态方程为时变非齐次状态方程，即（363）、分别为nn、nr时变实值矩阵。若式中，输入控制u=0，式（363）则变为时变齐次状态方程，即（364）00()(,)()tt ttxx时变齐次状态方程式（364）的解为 为保证该齐次状态方程解的存在性和唯一性,在系

15、统的时间定义域t0，tf内，A(t)的各元素为时间t的分段连续函数。（365）3 33 32 2线性时变连续系统的状态转移矩阵线性时变连续系统的状态转移矩阵一、状态转移矩阵的求解一、状态转移矩阵的求解0(,)t t0000(,)()(,)(,)t tA tt tt tI001101(,)()(,)dttt tIAt对于线性时变连续系统，状态转移矩阵是如下矩阵微分方程和初始条件 的解，它是一个nn维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。为了求得状态转移矩阵的表达式，可在时间域内 （367）0(,)t t对该矩阵微分方程积分，即有001101(,)()(,)dttt tIAt （367）10(,)t1

16、0102202(,)()(,)dttIAt10012000010001001220211112330321111221123440(,)()()(,)dd()d()()()(,)ddd()d()()dd()()()()(,)dtttttttttttttttt tIAIAtIAAAIAtIAAAAAAIAt230004321ddd.tttt如果将上式中积分号内的再按上式展开，则有然后按此法继续迭代下去，并将各展开式代入式（367），可得（369）（368）0(,)t t1000120001230000011122112332112344321(,)()d()()dd()()()ddd()()()

17、()ddddttttttttttttttt tIAAAAAAAAAA1t10(,)t t可得一个由无穷项之和组成的状态转移矩阵即 上式就是线性时变连续系统的状态转移矩阵的计算公式。在一般情况下，它不能写成封闭的解析形式。在实际应用此公式时，可按一定的精度要求，用数值积分计算方法去近似计算时刻的的值。（370）00()()d()d()ttttA tAAA t00(,)exp()dttt tA当时变的系统矩阵A A(t)满足如下条件时，时变系统的状态转移矩阵的解可以表示为的指数形式。（371）（372）二、状态转移矩阵的性质二、状态转移矩阵的性质时变系统的状态转移矩阵的性质如下。1传递性20211

18、0(,)(,)(,)t tt tt t （379）2可逆性11001(,)(,)t tt t（380）3 33 33 3线性时变连续系统非齐次状态方程的解线性时变连续系统非齐次状态方程的解()()()()ttttxAxBu00()()t tttxx0()tx()tu()tu000()(,)()(,)()()dtttt ttt xxBu当具有外加输入作用时，其状态方程为如下非齐次状态方程：该状态方程在初始状态下的解，也就是由初始状态和输入作用所引起的系统状态的运动轨迹。为分段连续时，该非齐次状态方程的解为（383）()()()()()tttttyCxDu000()()(,)()()(,)()()

19、d()()tttC tt ttC ttBD ttyxuu00()()()()dttttB xxu000()(,)()(,)()()dtttt tttB xxu当系统的状态空间模型中输出方程为 时。系统的输出为比较线性定常连续系统与线性时变连续系统状态方程的解的表示形式：定常系统 时变系统 第一项为初始状态的影响；第二项为初始时刻后输入的影响，为脉冲响应函数与输入的卷积。与线性定常连续系统的状态方程和输出方程的解比较可知，线性时变连续系统与线性定常连续系统的解的结构和形式相同，都为状态的零输入响应和零状态响应的和。线性定常连续系统的状态方程和输出方程的解可视为线性时变连续系统相应的解的一种特殊形

20、式。在A A(t)为时不变时，时变系统的状态转移矩阵 即为定常系统的状态转移矩阵 。由此可以看出引入状态转移矩阵的重要性。只有引入状态转移矩阵，才能使时变系统和定常系统的求解公式建立统一的形式。0(,)t t0()tt3 34 4线性离散时间系统状态方程的求解线性离散时间系统状态方程的求解离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。整个系统工作于单一的离散状态：对于这种系统其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量，如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等；系统工作在连续和离散两种状态的混合状态：对于这种系统，其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量，又有离散时间型的离散量，如连续被

21、控对象的采样控制系统就属于这种情况。3 34 41 1线性连续系统状态方程的离散化线性连续系统状态方程的离散化 线线 性连续系统的时间离散化问题的性连续系统的时间离散化问题的数学实质数学实质，就是在，就是在一定的采样方式和保持方式下，由系统的连续状态空间模一定的采样方式和保持方式下，由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型，并建立起两者的各系型来导出等价的离散状态空间模型，并建立起两者的各系数矩阵之间的关系式。数矩阵之间的关系式。为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程，必须满足如下条件和假设：在离散化之后，系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。保持器为零阶

22、的，即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周期内不变，且等于前一采样时刻的瞬时值，故有()()(1)u tu kTkTtkT 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理，即采样频率 大于2倍的连续信号 的上限频率。满足上述条件和假设，即可推导出连续系统的离散化的状态空间模型。2/T()x k一、线性定常连续系统的离散化一、线性定常连续系统的离散化 利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化 连续系统的状态方程的求解公式如下：000()()()()()dtttttttxxBu取0,(1)tkT tkT，(1)(1)()()(1)()dk

23、TkTkTTkTkTxxBu假定 在采样周期内保持不变()u t(1)(1)()()(1)d()kTkTkTTkTkTkTxxBu(1)(1)()()(1)d()kTkTkTTkTkTkTxxBu(1)tkT0(1)()()()dt()TkTTkTtkTxxBu令则上式可记为()kTx()kTu对任意的和成立的条件为()()ATTTe G00()()dte dtTTAtH T tBB 2 2近似离散化方法近似离散化方法 在采样周期较小，且对离散化的精度要求不高的情况下，用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。近似离散化的计算公式：()()G TIATH TBT一般说来，采样周期T越小，则

24、离散化精度越高。二、线性时变连续系统的离散化二、线性时变连续系统的离散化 线性时变连续系统的状态方程的离散化，就是利用时变系统的状态轨迹求解公式来进行离散化。线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下(1)()(1),()(1),()dkTkTG kkT kTH kkT B【例例315】试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态方程。2101(1)100t xxu解：解：由例3-9，该系统的转移矩阵函数为0001(1)(1)(,)01ttttt t(1)(1)21(1)(1)()(1),0111(1)(1)()d1011(1)(1)d1(1)(1)1ln(1)11kTkTkTkTTkTTkTG k

25、kT kTkTTkTTH kkTTkTTkTkTkTkTT 因此，由上述离散化计算公式，可分别计算将上述计算所得的(),()G kH k代入，则求得离散化状态方程如下 2(1)(1)11ln(1)(1)(1)()()(1)1101TkTkTkTTkTkkkkTkTTxxu3 34 42 2线性离散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解一、线性定常离散系统状态方程的解一、线性定常离散系统状态方程的解 1 1递推法递推法考虑离散时间系统：考虑离散时间系统：10000,xGxHu 21111,xGxHu 32222,xGxHu 1x kG k x kH k u k，0,1,2,k 则有：则有：()

26、.x k即可求得即可求得当给定初始条件当给定初始条件 和输入信号序列和输入信号序列()0 x()()0,1,uuL 定常情形定常情形 1100.kkkiix kG xGHu i 1x kGx kHu k上式称为线性定常离散系统的状态转移方程。上式称为线性定常离散系统的状态转移方程。H 和和 都是常值矩阵，于是可得：都是常值矩阵，于是可得：G转移矩阵。转移矩阵。其中，其中，称为线性离散时不变系统的状态称为线性离散时不变系统的状态 kkG状态转移矩阵的性质：状态转移矩阵的性质：(1)1,0.kGkI202110(2).kkkkkk 1(3).kk 离散系统状态转移方程：离散系统状态转移方程：100

27、1.kix kk xkiHu i 或：或：100-1kjx kk xj Hu kj 3.4.2 Z3.4.2 Z变换法变换法考虑离散时间系统：考虑离散时间系统：10,1,2,，x kG k x kH k u kk 0zx zzxGx zHu z -1-10-x zZIGzxZI GHu z -1-1110-x kzzIGz xzzI GHu z取取Z Z变换得：变换得：取取Z Z反变换得：反变换得：由解的唯一性可得：由解的唯一性可得：-11kzzIGzG 11110kk iizzIGHu zGHu i 例例3.4.13.4.1 考虑离散时间系统：考虑离散时间系统：1x kGx kHu k其中：

28、其中：011100.16111GHx ，1u k 试求试求 时系统的状态解。时系统的状态解。解法解法1 1：01111000.161110 1.84xGxHu 01112110.1611.8412.84 -0.84xGxHu ()()()012.8413220.161-0.8410.16 1.386xGxHu轾轾轾犏犏犏=+=+犏犏犏-臌臌臌轾犏=犏臌MM()()()()()1722250.20.869181,2,3.417.670.20.86918kkkkx kk轾犏-+-+犏=犏犏-+犏犏臌L L由此递推下去，可得到状态的离散序列表达式：由此递推下去，可得到状态的离散序列表达式：解法解法2

29、 2：-110.161zzIGz()()1110.160.20.8zzzz轾+犏=犏-+臌4111515130.230.830.230.80.810.81114130.230.830.230.8zzzzzzzz轾犏创-犏+=犏犏-+-+犏犏+臌()-1，zIG-用用Z Z变换法，先计算变换法，先计算 则有：则有：则有：则有：()()()()()()()()()()-1141550.20.80.20.833330.80.8140.20.80.20.83333kkkkkkkkkzzIGz-轾F=-犏臌轾犏-犏=犏犏-+-+-犏犏臌 22110-211zzzzzzxHu zzzzzzz ()(1)z

30、u zz=-因因 所以所以()1,u k=-1017222660.290.81813.417.6760.290.8181x zZIGzxHu zzzzzzzzzzzzz()()()()()1722250.20.869183.417.670.20.86918kkkkx k轾犏-+犏=犏犏-+犏犏臌Z Z反变换得：反变换得：基于矩阵指数的拉普拉斯变换求解法，可调用MATLAB 符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）中的符号运算函数先算出“预解矩阵”，再对“预解矩阵”进行拉普拉斯反变换即求得 。)(1 AI steA 另外，MATLAB 符号数学工具箱中有专用于计算矩阵指数的指

31、令expm（）可调用。【例 】已知 ,应用MATLAB求 310130004AteA%MATLAB Program 2_1a syms s t%定义基本符号变量s 和tA=4,0,0;0,3,1;0,1,3;FS=inv(s*eye(3)-A);%求预解矩阵 eAt=ilaplace(FS,s,t);%求)(11AIAsLeteAt=simplify(eAt)%化简 的表达式 teA解 MATLAB Program 2_1a给出了基于拉普拉斯变换求 的MATLAB 程序。teA teA1tt 1t1teAMATLAB Program 2_2给出了调用expm（）求例 中矩阵A的矩阵指数 对应于

32、 的值 的MATLAB 程序。teA1.01 tt1teA%MATLAB Program 2_2 A=4,0,0;0,3,1;0,1,3;T=0.1;eAT=expm(A*T)【例 】已知离散系统状态方程为)(11)(9.02.010)1(kukkxx应用MATLAB求其状态转移矩阵 的解析式)(k解 上例中已采用四种方法求出了系统的 ，MATLAB Program 2_3给出了基于Z变换求 的MATLAB 程序。)(k)(k%MATLAB Program 2_3 syms z k%定义基本符号变量z和k G=0,1;-0.2,-0.9;Fz=(inv(z*eye(2)-G)*z;%求 zz1

33、)(GIFk=iztrans(Fz,z,k)%调用Z反变换指令求)(11zzZGI Fk=simple(Fk)%将符号运算结果表达式转换为最简形式 与例前例求解结果一致，MATLAB Program 2_3 程序运行结果如下：Fk=5*(-2/5)k-4*(-1/2)k,10*(-2/5)k-10*(-1/2)k -2*(-2/5)k+2*(-1/2)k,-4*(-2/5)k+5*(-1/2)k 常微分方程数值解一般使用逐步积分的方法实现，RungeKutta法是应用最多的一种微分方程数值解法。MATLAB提供的ode23（）、ode45（）是分别采用2/3阶、4/5阶RungeKutta法的

34、常微分方程数值求解的函数，一般ode45（）较ode23（）运算速度快，两者调用格式相同，即)0,0,xfun(23ode,xxttft)0,0,xfun(45ode,xxttft其中,xfun为由m函数定义的一阶微分方程组的m函数名，该m函数必须以状态向量x的一阶导数为输出。若原方程为高阶微分方程，应通过第1章的“实现”方法将其转换为一阶微分方程组，即状态空间表达式；t0和tf分别为积分的起始和终止时间，单位为秒；x0 0为状态向量的初始值；t和x均为返回值，其中t为离散时间列向量；x为解向量构成的矩阵，其第j列为第j个状态变量与t相对应的解向量，j=1,2,n。【例3-15】已知系统状态空

35、间表达式为 x2400000010100001000012450351043214321yuxxxxxxxx设x(0)=0，试求u(t)=1(t)为单位阶跃函数时系统时间响应的数值解。解 MATLAB Program 2_4a建立了描述系统状态方程的m函数ode_example.m。%MATLAB Program 2_4a%ode_example.m function sx=ode_example(t,x)%sx为状态列向量x的导数的导数 sx(1,1)=-10*x(1)-35*x(2)-50*x(3)-24*x(4)+1;%sx应按状态方程编写 sx(2,1)=x(1);%sx是与x同维的列

36、向量 sx(3,1)=x(2);sx(4,1)=x(3);将MATLAB Program 2_4a保存为名为ode_example.m的m文件，且将保存ode_example.m的路径设置成当前路径。MATLAB Program 2_4b为调用求解函数求状态方程和输出响应数值解的程序，图2-4所示为状态方程和输出响应数值解曲线。%MATLAB Program 2_4b x0=0;0;0;0;%设置初值条件t0=0;tf=6;tspan=t0,tf%设置积分起始和终止时间t,x=ode45(ode_example,tspan,x0);%调用求解函数求状态方程数值解y=24*x(:,4);%据输出

37、方程求输出响应的数值解subplot(1,2,1)plot(t,x(:,1),k,t,x(:,2),-.r,t,x(:,3),:b,t,x(:,4),-k)%绘状态方程数值解曲线gtext(x1)gtext(x2)gtext(x3)gtext(x4)subplot(1,2,2)plot(t,y,k)%绘输出响应数值解曲线gtext(y)图3-4状态方程和输出响应数值解曲线 MATLAB Symbolic Math Toolbox提供的dsolve（）为求常微分方程解析解的指令，其调用格式为 S=dsolve（eqn1，eqn2，）其中，eqn1,eqn2,为输入参数，其为描述常微分方程、初始条

38、件及独立变量的字符表达式。微分方程是必不可少的输入参数，多个方程或初始条件可在一个输入参数内联立输入，且以逗号分隔；若独立变量默认,则小写字母t为独立变量；若要定义其它独立变量，则由全部输入参数eqn1,eqn2,中的最后一个参数定义。在输入参数中，描述常微分方程规定用字符D代表对独立变量的导数（因此，用户所定义的字符变量不应含有字符D），例如若t为独立变量，y为t的函数，则Dy代表dy/dt，D2y代表 ，D3y代表 ,；初始条件可采用形如y(a)=b或Dy(a)=b的字符（串）表达式给出。S为返回的存放符号微分方程解的构架数组。22/dtyd33/dtyd MATLAB Control S

39、ystem Toolbox 提供了连续系统单位阶跃响应计算函数step()、单位脉冲响应计算函数impulse()、零输入响应计算函数initial()、任意输入（包括系统初始状态）响应计算函数lsim()，与此对应，dstep()、dimpulse()、dinitial()、dlsim()分别为计算离散系统单位阶跃响应、单位脉冲响应、零输入响应、任意输入（包括系统初始状态）响应的函数。例如，若给定线性定常连续系统、离散系统分别如式（3-83）、式（3-84）所示，则 执行step(A，B，C，D)指令，可得一组单位阶跃响应曲线，每条曲线对应于式（3-83）所示连续系统的输入/输出组合即在某一

40、输入端单独施加单位阶跃信号作用下的某一输出响应，时间向量t的范围自动设定；执行step(A，B，C，D，t)指令与执行step(A，B，C，D)指令一样，可得一组单位阶跃响应曲线，但时间向量t是由用户设定的；执行step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（3-83）所示连续系统从第iu个输入到所有输出的单位阶跃响应曲线；执行y,x,t=step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（3-83）所示连续系统从第iu个输入到所有输出y及状态x的单位阶跃响应数据，且返回函数自动设定的时间向量t，但不绘制响应曲线；执行dinitial(G，H，C，D，x0)指令可得式（3-84）所示离散系统每一个输出

41、的零输入响应曲线，取样点数由函数自动设定；执行lsim（A，B，C，D，u，t，x0）指令可针对系统初始状态x0和输入u绘制系统所有输出（全）响应曲线，其中t为用户设定的线性等间距的时间向量；对多输入系统,u为数值矩阵，其列数等于输入信号数，第j个输入信号对应于t的离散序列构成u的第j列，行数等于时间向量t的维数。【例3-17】设双输入双输出系统状态空间表达式为 21212121211001201122511xxyyuuxxxx且设 、，系统初始状态为零。)(1)(1ttu)(1)(2ttu1)分别求 、单独作用下系统的输出响应；2)(1tu)(2tu求 和 共同作用下系统的输出响应。)(1t

42、u)(2tu解 1）MATLAB Program 2_6a为调用step（）函数求 、单独作用下系统输出响应曲线的程序，图3-5为程序运行结果。)(1tu)(2tu%MATLAB Program 2_6a A=-1,-1;25,-2;B=1,1;0,2;C=1,0;0,1;D=0,0;0,0;step(A,B,C,D)grid 图3-5 、单独作用下系统输出响应)(1tu)(2tu2）MATLAB Program 2_6b为求 和 共同作用下系统输出响应的MATLAB程序，图3-6为程序运行结果。)(1tu)(2tu%MATLAB Program 2_6b A=-1,-1;25,-2;B=1,1;0,2;C=1,0;0,1;D=0,0;0,0;t=0:0.01:4;%生成时间向量t LT=length(t);%求时间向量t的维数（长度）u1=ones(1,LT);u2=ones(1,LT);%生成单位阶跃信号对应于向量t的离散 序列，u1和u2均为与向量t同维的向量 u=u1;u2;%u1和u2的转置分别构成u的第1和第2列 lsim(A,B,C,D,u,t)grid 图3-6 和 共同作用下系统输出响应)(1tu)(2tu