1、计算题押题练(四)1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：(1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；(2)上述过程中，杆cd上产生的热量。解析：(1)设杆cd下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势EBLv，回路中的感应电流I杆所受的安培力FBIL根据牛顿第二定律有mgsin ma当速度v0时，杆的加速度最大，最
2、大加速度amgsin ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度a0时，速度最大，最大速度vm，方向沿导轨平面向下。(2)杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsin Q总mvm2又Q杆Q总所以Q杆mgxsin 。答案：(1)gsin (2)mgxsin 2如图所示为某车间传送装置的简化示意图，由水平传送带、粗糙斜面、轻质弹簧及力传感器组成。传送带通过一段光滑圆弧与斜面顶端相切，且保持v04 m/s的恒定速率运行，AB之间距离为L8 m，斜面倾角37，弹簧劲度系数k200 N/m，弹性势能Epkx2，式中x为弹簧的形变量，弹簧处于自然状态时上端到斜面顶端的距离为d3.2 m。现将
3、一质量为4 kg的工件轻放在传送带A端，工件与传送带、斜面间的动摩擦因数均为0.5，不计其他阻力，sin 370.6，cos 370.8，g取10 m/s2。求：(1)工件传到B端经历的时间；(2)传感器的示数最大值；(3)工件经多次缓冲后停在斜面上，传感器的示数为20 N，工件在斜面上通过的总路程。(结果保留三位有效数字)解析：(1)设工件轻放后向右的加速度为a，达共速时位移为x1，时间为t1，有：mgmaag5 m/s2t1 s0.8 s，x1at250.82 m1.6 m接着工件向右匀速运动，设时间为t2，t2 s1.6 s工件传到B端经历的时间tt1t22.4 s。(2)设传感器示数最
4、大时弹簧的压缩量为x1由动能定理得：mg(dx1)sin 37mg(dx1)cos 37kx120mv02代入数据得x10.8 mFmkx1160 N。(3)设传感器示数为20 N时弹簧的压缩量为x2，工件在斜面上通过的总路程为sx2 m0.1 m由能量守恒得：mv02mg(dx2)sin 37mgscos 37kx22代入数据得s6.89 m。答案：(1)2.4 s(2)160 N(3)6.89 m3如图甲所示，在0xd的区域内有垂直纸面的磁场，在x0的区域内有沿y轴正方向的匀强电场(图中未画出)。一质子从点P处以速度v0沿x轴正方向运动，t0时，恰从坐标原点O进入匀强磁场。磁场按图乙所示规
5、律变化，以垂直于纸面向外为正方向。已知质子的质量为m，电荷量为e，重力不计。(1)求质子刚进入磁场时的速度大小和方向；(2)若质子在0时间内从y轴飞出磁场，求磁感应强度B的最小值；(3)若质子从点M(d,0)处离开磁场，且离开磁场时的速度方向与进入磁场时相同，求磁感应强度B0的大小及磁场变化周期T。解析：(1)质子在电场中作类平抛运动，时间为t，刚进磁场时速度方向与x正半轴的夹角为，有xv0td，yt，tan ，又v，解得vv0，30。(2)质子在磁场中运动轨迹与磁场右边界相切时半径最大，B最小由几何关系知R1R1cos 60d，解得R1d根据牛顿第二定律，有evBm解得B。(3)分析可知，要想满足题目要求，则质子在磁场变化的半个周期内的偏转角为60，在此过程中质子沿x轴方向上的位移恰好等于它在磁场中做圆周的半径R。欲使质子从M点离开磁场，且速度符合要求，必有：n2Rd质子做圆周运动的轨道半径：R解得B0(n1,2,3，)设质子在磁场做圆周运动的周期为T0，则有T0，解得T(n1,2,3，)。答案：(1)v0沿x轴正方向斜向上与x轴夹角为30(2)(3)B0(n1,2,3，)T(n1,2,3，)
