微分中值定理汇总课件.ppt

1、微分中值定理微分中值定理一、引理一、引理二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理四、柯西中值定理五、泰勒公式五、泰勒公式一、引理引理 设f(x)在 处可导,且在 的某邻域内恒有 则有 .0 x0 x),()()()(00 xfxfxfxf或0)(0 xf二、罗尔定理定理4.1 设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续,.0)(),(fba，使则至少存在一点(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.罗尔定理几何意义：若曲线弧在a,b上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每

2、点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.例如f(x)=|x|在1,1上连续，且f(1)=f(1)=1,但是|x|在(1,1)内有不可导的点，本例不存在 使 .),1,1(0)(f又如f(x)=x在0,1上连续，在(0,1)内可导，但是f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 ，使 .)1,0(0)(f再如 f(x)在(0,1)内可导，f(0)=0=f(1)，但是f(x)在0,1上不连续，本例不存在,1 ,0,10 ,)(xxxxf.0)(f使),1,0(还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必要条件.也就是说，定理的结

3、论成立，函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.例如 在0,3上不满足罗尔定理的条件 但是存在 ，使 .)3,0(12)1()(xxf),3()0(ff0)1(f三、拉格朗日中值定理定理4.2 设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点 .)()()(),(abafbffba，使 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.)(x),(x0)(，)()()(abafbff拉格朗日中值定理的几何意义：如果在a,b上的连

4、续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.),(,(f.)()()()(axabafbfafy弦线的方程为作辅助函数)()()()()()(axabafbfafxfx即可.的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.)(x证 令).()()()()()(axabafbfafxfx由于f(x)在a,b上连续，因此 在a,b上连续.)(x)(x由于f(x)在(a,b)内可导，因此 在(a,b)内可导.又由于),(0)(ba因此 在a,b上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点 ，使 ，即)(x),(ba0)(0

5、,)()()(abafbff从而有 ，或表示为)()()(abafbff上述结论对ba也成立.).)()()(abfafbf 如果f(x)在(a,b)内可导，则在以 为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即),(),(00baxxbaxxxx00与 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.,)()()(00 xfxfxxf其中 为之间的点.也可以记为xxx00与为10 ,)()()(000 xxxfxfxxf或,10 ,)(0 xxxfy推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.)(xf 事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得21,x

6、x,0)()()(1212xxfxfxf由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：位于x1，x2之间，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有)()(xgxf其中C为某常数.由推论1可知f(x)g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得.0)()()()(xgxfxgxf例1 选择题.选出符合题意的选项.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有().0,2 ,1)(.Axxxf.4,2 ,)4()(.B2xxxf.2,23 ,sin)(.Cxxxf.

7、1,1|,|)(.Dxxxf注意罗尔定理的条件有三个:(1)函数y=f(x)在a,b上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).分析不难发现 ，在2,0上不满足连续的条件，因此应排除A.xxf1)(对于 ，在2,4上连续，在(2,4)内可导；f(2)=36，f(4)=0，因此应排除B.2)4()(xxf)4()2(ff.C.上2,23sin).2(1)23(应选尔定理满足罗在因此xff,)2,23(,2,23sin)(可导内在上连续，在对于xxf对于f(x)=|x|，在1,1上连续，在(1,1)内不可导，因此应排除.综合之，本例应单选.例2 设函数y=f(x)在a,b上

8、连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线().A.仅有一条；B.至少有一条；C.不一定存在；D.不存在.由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在a,b上满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 使得),(ba.0)(f分析又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.)(,(f例3 选择题.函数 在区间1,3上满足拉格朗日中值定理的 =().1 .D ;3 .C ;0 .B ;43 .A 由于 在1,3上连续，在(1,3)内可导，因此f(x)在1,3上满足拉格朗日中值定理条件.12)(2xxxf分析

9、使),3,1(由拉格朗日定理可知，必定存在.)()()(abafbff由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(1)=4,而 因此有.14)(f12)(2xxxf可解得 ，因此本例应选D.1.3)1(341614.|arctanarctan|abab例4 试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.证 设f(x)=arctan x,不妨设a0时,试证不等式分析1ln)1ln()1ln(xx取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t)在区间0,x上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得.),0(x.)()0

10、()(xffxf,11)(11)()1ln()(fttfttf，,1 1)1(111ln)1ln(xxx说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与a,b的选取不是唯一的.,11111x即.)ln(11xxxx，因此由于x0,11xxxx进而知四、柯西中值定理定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足：(1)在闭区间a,b上都连续，(2)在开区间(a,b)内都可导，(3)在开区间(a,b)内，,0)(xg则至少存在一点.)()()()()()(),(agbgafbfgfba，使在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到

11、拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.五、泰勒公式由微分的概念知道，如果y=f(x)在点 处可导，则有0 x)()()()(0000 xxoxxxfxfxf|0很小时，有近似公式因此当xx，即)(dxoyy.)()()(000 xxxfxfxf从几何上看，上述表达式可以解释为:在点x0的附近用曲线y=f(x)在点 处的切线来代替曲线y=f(x)(简言之，在点x0附近，用切线近似曲线.).)(,(00 xfx上述近似公式有两点不足：1.精度往往不能满足实际需要；2.用它作近似计算时无法估计误差.因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式.在实际计算中，多项式是比较简

12、单的函数，因此希望能用多项式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 来近似表达函数f(x)，并使得当 时，为比 高阶的无穷小,还希望能写出 的具体表达式，以便能估计误差.0 xx)()(xPxfnnxx)(0)()(xPxfn设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使与f(x)尽可能相近，希望)()()(000处相等在xxfxPn)()()(000处有相同的切线在xxfxPn)()()(000曲方向处两条曲线有相同的弯xxfxPn )()(0)(0)(xfxPnn，00)(axPn，101)(axPn，20!2)(axPn,!)(0)(nnnanxP),(!

13、21)()(020100 xfaxfaxfa，),(!10)(xfnann ，可知.)(!1 )(!21)()()(00)(200000nnnxxxfnxxxfxxxfxfxP 从而得到由f(x)构造的n次多项式若用 在点 附近来逼近f(x)，有下列两个结论：)(xPn0 x).)()(0nnxxoxr(1)余项rn(x)=f(x)Pn(x)是关于(xx0)n的高阶无穷小，即,)()!1()()(10)1(nnnxxnfxr(2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数，则rn(x)可以表示为.0之间与在其中xx综上所述，可以描述为：泰勒公式 设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内

14、具有直至n阶导数，则当 时有,)()(!1 )(!21)()()(000)(200000nnnxxoxxxfnxxxfxxxfxfxf .(Peano)()(0型余项亚诺为泰勒展开式中的作佩常称nnxxoxr),(bax泰勒公式 设函数f(x)在含x0 的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数，则当 时有),()(!1 )(!21)()()(00)(200000 xrxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn .)(.,)()!1(1)(010)1(朗日型余项为泰勒展开式中的拉格常称之间与介于其中xrxxxxfnxrnnnn),(baxnnnxxxfnxxxfxxxfxfxP)(!1 )(!21)()()(00)(200000 通常称为f(x)在x0处的n次泰勒多项式.以上 展开式也称为f(x)的n阶泰勒公式.若在泰勒公式中令 ，则得到麦克劳林公式.),()0(!1)0(!21)0()0()()(2nnnxoxfnxfxffxf 00 x,)()!1(1 )0(!1)0(!21)0()0()(1)1()(2 nnnnxfnxfnxfxffxf其中 介于0与x之间.