基本初等函数课件.ppt

1、1函数的几种特性函数的几种特性初等函数初等函数 小结小结 思考题思考题 作业作业第三节第三节 函数的几种函数的几种 特性与初等函数特性与初等函数第一章第一章 函数函数21.有界性有界性(bounded)设函数设函数y=f(x)在区间在区间I上有定义上有定义,Axf)(则说则说 f(x)在区间在区间I上上有上有上 界界.),)(Bxf(下下),Ix 使得对所有使得对所有若存在若存在常数常数A都有都有函数的几种特性与初等函数函数的几种特性与初等函数(B),一一.函数的几种特性函数的几种特性3 若存在常数若存在常数使得对所有使得对所有,Ix Mxf)(则称则称 f(x)在在I上上有界有界.在在 I上

2、上无界无界;映射与函数映射与函数MxfM )(,0 M都有都有 若这样的若这样的M 不存在不存在,则称则称 f(x)即为对于任何即为对于任何,0 M 总存在总存在,0Ix ,)(0Mxf 使使则称则称 f(x)在在 I上上无界无界.有界有界无界无界xyOab)(xfMM,baI xyO20 xMxy1)2,0(I4在定义域上有界的函数叫做在定义域上有界的函数叫做例例xysin 是有界函数是有界函数;xy1 是无界函数是无界函数,但它在区间但它在区间 上上),0(在区间在区间 上上),1(注注 一定要把区间明确出来一定要把区间明确出来!即，即，函数的有界性与定义域有关函数的有界性与定义域有关不是

3、有界函数不是有界函数,就是无界函数就是无界函数.显然显然,映射与函数映射与函数(bounded function)有界函数有界函数.有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.有下界有下界,有界有界.5六个常见的有界函数六个常见的有界函数,1|sin|x,|arccos|x,1|cos|x),(,2|arcsin|x,2|arctan|x,|cotarc|x),(1,1 映射与函数映射与函数62.单调性单调性(monotonicity),)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数时时当当2121,xxIxx 上上在在区区间间则则称称函函数数Ixf)(),()(21xfxf 是是严格严

4、格单调增加单调增加;映射与函数映射与函数.DI 区区间间如果对如果对恒有恒有 monotone increasingxyOI)(xfy )(1xf)(2xf1x2x7I,)(Dxf的的定定义义域域为为设设函函数数 注注 应指明单调区间应指明单调区间,否则会产生错误否则会产生错误.是是严格严格单调减少单调减少.映射与函数映射与函数)(xfy )(1xf)(2xf1x 2x.DI 区区间间时时当当2121,xxIxx ),()(21xfxf 如果对如果对恒有恒有上上在在区区间间则则称称函函数数Ixf)(monotone decreasingxyO即，函数的单调性与定义域有关即，函数的单调性与定义域

5、有关83.奇偶性奇偶性偶函数的图形偶函数的图形,关于原点对称关于原点对称设设D),()(xfxf 称称 f(x)为为偶函数偶函数(even function);映射与函数映射与函数有有对于对于,Dx xyO)(xf )(xfy )(xfxx9,关于原点对称关于原点对称设设D),()(xfxf 奇函数的图形奇函数的图形称称 f(x)为为奇函数奇函数(odd function).映射与函数映射与函数有有对于对于,Dx xyO)(xf )(xf)(xfy xx10(1)不要把奇偶函数当作两个完全相反的不要把奇偶函数当作两个完全相反的(2)奇偶性是对称区间而言的奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈否则无

6、从谈奇偶函数的运算性质奇偶函数的运算性质:(1)奇奇(偶偶)函数的代数和仍为奇函数的代数和仍为奇(偶偶)函数函数;(2)偶数个奇偶数个奇(偶偶)函数之积为偶函数函数之积为偶函数;奇数个奇函数的积为奇函数奇数个奇函数的积为奇函数.(3)一奇一偶的乘积为奇函数一奇一偶的乘积为奇函数.注注映射与函数映射与函数概念概念.奇、偶奇、偶.11)1ln()1(2 xxy为为是判别是判别)(0)()(xfxfxf 判别给定函数的奇偶性判别给定函数的奇偶性,解题提示解题提示奇函数奇函数的的有效方法有效方法.判别下列函数的奇偶性判别下列函数的奇偶性:)2111)()2(xaxFy.)(,1,0为奇函数为奇函数其中

7、其中xFaa 奇函数奇函数偶函数偶函数有时也用其运算性质有时也用其运算性质.映射与函数映射与函数主要是根据主要是根据奇偶性的定义奇偶性的定义,12结论：定义于对称区间上的任意函数结论：定义于对称区间上的任意函数f(x)总可总可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。1()()()2F xf xfx是偶函数1()()()2G xf xfx是奇函数于是于是()()()f xF xG x映射与函数映射与函数134.周期性周期性(periodicity)的的周期周期.)()(xflxf ,Dx 使得使得周期函数周期函数(period function).映射与函数映射与

8、函数如果存在一个如果存在一个正数正数l且总有且总有称为称为f(x)通常称周期函数的通常称周期函数的周期周期是指是指最小正周期最小正周期.,l周期为周期为 的周期函数的周期函数l,)(Dlx 有有23l23l 2l 2lOxy设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D,则称则称f(x)是是14映射与函数映射与函数例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数 )(xDy,Qx.CQx,1,0狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(当当x是有理函数时是有理函数时)(当当x是无理函数时是无理函数时)这是一个这是一个周期函数周期函数,任何正有理数任何

9、正有理数r都是它都是它的的周期周期.因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数,所以没有所以没有最小正最小正周期周期.15周期函数的运算性质周期函数的运算性质:的周期为的周期为则则的周期的周期为为若若)(,)()1(baxfxfl 则则为为周周期期的的函函数数均均是是以以若若,)(),()2(lxgxf;)()(为周期的函数为周期的函数也是以也是以lxgxf,)(),()3(21llxgxf分别是以分别是以若若映射与函数映射与函数函数函数,21ll ;|al为周期的为周期的12()(),f xg xl l则是以的最小公倍数的最小公倍数为周期的函数为周期的函数.解题提示解题提示判别给定函数

10、是否为周期函数判别给定函数是否为周期函数,主要是根据周期的定义主要是根据周期的定义,有时也用其运算性质有时也用其运算性质.16映射与函数映射与函数5.函数的运算函数的运算设函数设函数)(),(xgxf的定义域分别为的定义域分别为,21DD21DDD,则可定义这两个函数的下列运算则可定义这两个函数的下列运算:和和(差差)(xgf:gf ;Dx 积积:gf )(xgf;Dx 商商:gf )(xgfDx 且且;0)(xg线性组合线性组合:gf ,为实数为实数,)(xgf Dx),()(xgxf),()(xgxf,)()(xgxf),()(xgxf 171)幂函数幂函数(power function)

11、(是常数是常数 xy 定义域与定义域与 的取值有关的取值有关.二二.初等函数初等函数(elementary function)(basic elementary function)映射与函数映射与函数(1)基本初等函数基本初等函数xyO11)1,1(xy 2xy xy1 xy 182)指数函数指数函数(exponential function)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 定义域为定义域为),(值域为值域为).,0(映射与函数映射与函数xyO 193)对数函数对数函数(logarithm function)1,0(log aaxyaxyln xyalog xy

12、a1log)1(a定义域为定义域为).,(值域为值域为),0(映射与函数映射与函数xyO)0,1(204)三角函数三角函数(trigonometric function)正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为),(值域为值域为.1,1 映射与函数映射与函数11 xyO 2 2 23 2 23 221xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为),(值域为值域为.1,1 映射与函数映射与函数11 xyO 2 2 23 2 23 25 22正切函数正切函数xycot 余切函数余切函数xytan xytan xycot 定义域定义域).,(值域值域 Znnx ,212

13、定义域定义域).,(值域值域Znnx ,映射与函数映射与函数xyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 235)反三角函数反三角函数(inverse trigonometric function)xyarcsin xysinArc 定义域定义域值域值域,1,1.2,2 主值主值映射与函数映射与函数反正弦函数反正弦函数xyO2 2 11 24xyarccos 定义域定义域值域值域,1,1.,0 主值主值映射与函数映射与函数反余弦函数反余弦函数xycosArc xyO 11 25xyarctan 主值主值定义域定义域值域值域),(.2,2 映射与函数映射与函数反正切函数反正切函数xytanA

14、rc xyO2 2 反余切函数反余切函数xyArccot xyO2 主值主值xycotarc 定义域定义域值域值域),().,0(幂函数、指数函数、对数函数、三角幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.26(2)初等函数初等函数(elementary function)初等函数初等函数.如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函数都是初等函数.7!75!53!3753xxxxy不是初等函数不是初等函数.映射与函数映射与函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加

15、、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构和有限次的函数复合步骤所构成并可用成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为27注注一般分段函数不叫初等函数一般分段函数不叫初等函数,0,0,xxxxy如如 可看作分段函数可看作分段函数,是否又可看作是初等函数是否又可看作是初等函数?答答:0,0,xxxxy2|xx 故又可看作是初等函数故又可看作是初等函数.是是!由于由于映射与函数映射与函数不是用不是用一个式子一个式子表达出来的表达出来的.因为它因为它282shxxeex xych xysh),(:D奇函数奇函数.2chxxeex ),(:D偶函数偶函数.1)双曲函数双曲函数x

16、ey21 xey 21 叠加法叠加法映射与函数映射与函数(3)双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦xyO29 xxxchshth奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,映射与函数映射与函数双曲正切双曲正切xxxxeeee xyO30双曲函数常用公式双曲函数常用公式 )(chyx xx22shch x2sh x2ch映射与函数映射与函数;shshchchyxyx;1;chsh2xx.shch22xx )(shyx;shchchshyxyx312)反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:D内内在在),(xyarsh)1ln(arsh2 xxxy yxsh由由

17、可得可得映射与函数映射与函数 反双曲正弦反双曲正弦yxsh 是是的反函数的反函数,2yyee 单调增加单调增加.xyOxyarshxyarsh32内内在在),1),1 :D)1ln(arch2 xxxyxyarch 映射与函数映射与函数 反双曲余弦反双曲余弦单调增加单调增加.xyO1xyarch33xyarth xx 11ln21)1,1(:D奇函数奇函数,内内在在)1,1(xyarth 映射与函数映射与函数 反双曲正切反双曲正切单调增加单调增加.xyO11 xyarth34三、小结三、小结初等函数初等函数.映射与函数映射与函数函数的几种特性函数的几种特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.35思考题思考题映射与函数映射与函数,0)(1)(,)(2 xxxfexfx 并且并且设设)(x 求求及其定义域及其定义域.解题思路解题思路此题是复合函数问题此题是复合函数问题,可设可设),(xu 从题目条件分析从题目条件分析u和和x的关系的关系.解解),(xu 令令则则 )()(ufxf xeu 12.)1ln(xu 0 x于是于是,)1ln()(xx 0 x,2ue36作作 业业 习题习题1-3 P20-22 1-3 P20-22 (B)1.映射与函数映射与函数总习题总习题(1)P23-24(1)P23-243.(4)8.(3)11.13.