大学物理第15章课件.ppt

1、目 录第14章狭义相对论基础第15章量子力学基础目 录第一节黑体辐射 普朗克量子化第二节光的量子性第三节玻尔的氢原子理论第四节德布罗意波第五节不确定关系第六节波函数 薛定谔方程第十五章第十五章 量子力学基础量子力学基础1905年，爱因斯坦发表了著名论文论运动物体的电动力学，他在狭义相对性原理和光速不变原理的基础上建立了狭义相对论.狭义相对论适用于惯性参考系，它从时间和空间等基本概念出发，利用洛伦兹变换将力学和电磁学统一起来，建立了崭新的狭义相对论时空观，预言了时间延缓、长度收缩效应，并在此基础上修正和发展了牛顿力学，得出了质量-速度关系和质量-能量关系.狭义相对论在涉及高速运动情况时，与经典理

2、论显示出明显的区别，但在低速情况下，该理论自然还原为经典理论，显示出它的兼容性和普遍性.狭义相对论是20世纪物理学最重要的发现之一，它对整个物理学都带来了极其深远的影响，从而成为近代物理学的主要理论基础之一.第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化光是波还是粒子？牛顿把光看作一束粒子流，成功地解释了光沿直线传播和光的反射现象，却不能解释光的折射现象.之后，托马斯杨的双缝干涉实验说明光具有波的特征，惠更斯-菲涅尔原理则完全用波动的观点解释了光的反射、折射、干涉和衍射现象.19世纪60年代的麦克斯韦电磁理论预言光是一种电磁波并在后来的实验中得到证实.至此，光是一种电磁波的概念就根深

3、蒂固了.随着电磁理论的日臻完善，19世纪末的经典物理学大厦（包括牛顿力学、热力学与统计物理和电磁理论）已经非常宏伟，以至于当时的许多物理学家都认为物理学理论本身已经十分完美，剩余的工作就是如何应用它来解决具体的问题.第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化 黑体辐射一、一、19世纪末，由于冶金技术和天文学观测的需要，人们开始深入研究热辐射现象.所谓热辐射现象，就是指任何物体在任何温度下都不断地向外界发射电磁波的现象.物体在发射电磁波的同时，也在不断吸收周围其他物体发射出来的电磁波，这种现象称为热吸收.为了定量描述热辐射现象，需要引入以下几个物理量：第一节第一节 黑体辐射黑体辐射

4、 普朗克量子化普朗克量子化（1）单色辐出度e(,T)：物体单位表面积上发射波长为的电磁波的功率.（2）辐出度E(T)：物体单位表面积上的辐射总功率.显然有吸收率A：物体吸收的热辐射能量和入射的热辐射总能量的比值.它用来描述物体对热辐射的吸收能力.其中，波长区间(,+d)的吸收率dA与区间宽度d的比值称为单色吸收率a(,T).（15-1）第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化如果一个物体能够吸收投射到其表面的所有辐射，那么该物体就称为黑体.黑体的吸收率为1.黑体是一种理想模型，自然界中不存在绝对的黑体，但有许多近似的黑体.例如，楼房上的窗户，可以想象从窗户照射进去的光线再从窗户

5、里发射出来的概率是很小的，因此，它就是一个很好的近似黑体.受此启发，物理学家就在空心容器上开一个小孔来近似地研究黑体的辐射行为，这就是黑体模型，如图15-1所示.第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化图15-1 黑体模型第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化1859年，基尔霍夫首先发现，对于形状不同或者材料不同的两个物体，它们的单色辐出度和单色吸收率均不相同.但单色辐出度和单色吸收率的比值却与物体的材料和形状无关，它只是物体所处温度和所辐射电磁波波长的函数.这便是著名的基尔霍夫定律，其数学表达式为式中，e(,T)和a(,T)为任一物体的单色辐出度和单色吸收率

6、，e0(,T)为黑体的单色辐出度，注意黑体能够吸收所有辐射，即黑体的吸收率和单色吸收率都等于1.该定律说明对于热辐射而言，一个好的发射体也必定是一个好的吸收体.（15-2）第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化1879年，斯特潘从实验数据总结得出，物体的辐出度和温度的四次方成正比，对于黑体为式中，0=5.6710-8Wm-2K-4，称为斯特潘常数.1884年，玻尔兹曼从理论上推得该式，因此，式（15-3）称为斯特潘-玻尔兹曼定律.（15-3）第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化1894年，维恩从实验中发现黑体热辐射能谱分布曲线，如图15-2所示.峰值所对应

7、的波长与物体所处温度的乘积是一个常数，这就是维恩位移定律，其数学表达式为mT=b（15-4）式中，b=2.89810-3mK，称为维恩常量.第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化图15-2 黑体热辐射能谱分布规律第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化【例例15-115-1】另由斯特潘-玻尔兹曼定律，可计算出太阳表面辐射的辐出度为M(T)=T4=5.6710-85 79646.4107 W/m2第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化 普朗克的能量量子化二、二、对于以上实验结果，人们希望能用当时的物理理论予以解释，这就需要从理论上计算黑体辐射的

8、能谱公式.一旦知道了能谱公式，其他辐射规律就都可以推导得到.1896年，维恩假设黑体辐射能谱的分布规律与麦克斯韦分子速率分布相似，并结合实验数据得到一个经验能谱公式为（15-5）式中，c1、c2为两个经验参数，可由实验数据拟合得到.第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化19001905年，瑞利和金斯将热辐射和物体中带电粒子的振动相联系，利用经典电磁理论，并结合统计物理中的能量按自由度均分定理，推导得到瑞利-金斯公式，即e0(,T)=2c-4kT （15-6）式中，c为真空中的光速，k为玻尔兹曼常数.如图15-3所示，与实验数据比较可以发现，维恩公式在短波方向与实验结果符合得很

9、好，在长波方向则差别较大.瑞利-金斯公式恰恰相反，在长波方向符合得很好，而在短波方向竟然得出无穷大的荒谬结果，这被形象地称为“紫外灾难”.第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化图15-3 维恩公式、瑞利-金斯公式、普朗克公式与实验结果的比较第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化1900年，普朗克经过两个多月的探索，最后发现，如果假设频率为的振子所携带的能量是不连续的，即分立的，其取值只能是一个最小能量单元h的整数倍，即假定频率为的振子的能量为=h,2h,3h，（15-7）这一理论称为普朗克的能量量子化.在这个理论的基础上，就可以按照经典物理中的麦克斯韦-玻尔

10、兹曼分布律和能量自由度均分定理推得第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化（15-8）式（15-8）就是著名的普朗克公式，其中h=6.62610-34Js，称为普朗克常数.在长波方向，很大，则 将其带入式（15-8）即可得到瑞利-金斯公式.在短波方向，很小，则ehc/kT很大，此时略去分母中的1，则式（15-8）就回到了维恩公式.从图15-3中可以发现，普朗克公式在全波段都与实验结果相吻合.第一节第一节 黑体辐射黑体辐射 普朗克量子化普朗克量子化尽管普朗克的能谱公式在全波段都与实验结果十分一致，但是普朗克假定了振子的能量是一份一份的，是不连续的，即能量是量子化的，这与经典电磁理

11、论对光波的描述相矛盾.经典电磁理论认为光是电磁波，起源于带电粒子的振动，其能量取决于振子的振幅，而振幅是可以连续变化的，因此电磁波的能量也应该是连续的.对此，普朗克本人也十分迷惑，他在得到式（15-8）之后，仍然幻想在经典物理学的框架内，不借助能量量子化的假定推导该式.为此，他花费了十多年的时间，最终以失败告终.能量量子化的假定实际上蕴含着超出经典物理学框架的、更深刻的思想，一个全新的物理学世界由此拉开序幕.第二节第二节 光的量子性光的量子性 光电效应实验一、一、1887年，赫兹首先发现，若用光照射处在火花间隙下的电极，则火花会比较容易从电极间通过.之后，勒纳德于1900年对这个效应做了进一步

12、研究，并指出光电效应是金属中的电子吸收了入射光的能量而从金属表面逸出的现象.光电效应的实验装置与结果如图15-4(a)所示.图15-4 光电效应（a）实验装置 （b）伏安曲线与光强的关系 （c）伏安曲线与频率的关系第二节第二节 光的量子性光的量子性从光电效应实验可归纳出以下规律：（1）入射光频率一定时，饱和电流Im与入射光强成正比.如图15-4(a)所示，A是阳极，K是金属阴极，当外加的正向电压足够大时，从阴极K逸出的电子全部到达阳极A，再继续增大正向电压，A、K间通过的电流将不再随电压的增加而增加，此时的电流就称为饱和电流.图15-4（b）给出了入射光频率相同，光强不同的条件下得到的三条光电

13、流-电压的变化关系，由下到上入射光强依次递增.可以看出，随着光强的增加，饱和电流也增加.详细的研究表明，光电效应实验中的饱和电流正比于入射光强.第二节第二节 光的量子性光的量子性（2）入射光频率一定时，反向截止电压U0取决于阴极材料，与入射光强无关.若外加电压是A负K正，则为反向电压.对于固定的入射光频率和入射光强，随着反向电压的增加，从阴极K逸出并能到达阳极A的电子会越来越少，A、K间的电流就会越来越小，电流变为0时的电压就称为反向截止电压.图15-4(c)中的U0即为不同阴极材料的反向截止电压.（3）对于给定的阴极材料，反向截止电压正比于入射光频率，且存在一个最低频率，称为红限频率.当入射

14、光频率低于此值时，就不会产生电流.第二节第二节 光的量子性光的量子性（4）光电效应具有瞬时响应特性，即从光照射到阴极表面到产生电流（有电子从阴极K发出）的时间间隔不大于纳秒数量级.以上实验结果，除（1）之外的另外三点都无法用经典物理理论予以解释.按照经典物理理论，金属阴极中的电子在光线（电磁波）的照射下做受迫振动，并吸收电磁场的能量.只要电子吸收足够多的能量，就可能从金属表面逸出，产生光电效应.因此，只要光强足够强，或者照射的时间足够长，电子就会积累到足够的能量并从表面逸出，从而发生光电效应现象.这样，首先，反向截止电压应该与入射光强有关；其次，光电效应不应该受到频率的限制；最后，电子要积累到

15、足够的能量所需要的时间应该在毫秒量级，并且这个时间应该随着光强的增加而缩短.第二节第二节 光的量子性光的量子性 爱因斯坦光子说二、二、1905年，爱因斯坦注意到，借助普朗克能量量子化概念可以解释光电效应，他在普朗克能量量子化的基础上进一步提出光子学说.他认为在光电效应中，入射光可以看作一束入射的粒子流，即光子.光子和金属中的电子相碰撞，其能量将被电子全部吸收，电子获得能量的多少取决于入射光子的能量.而光子的能量可以参照普朗克能量量子写出，即光子能量为=h （15-9）第二节第二节 光的量子性光的量子性光子与电子碰撞时把能量全部传给电子，电子获得的能量在从金属表面逸出的过程中由于和其他电子、原子

16、的碰撞要损失掉一部分，这部分能量称为逸出功，用A0表示.剩余的能量就是电子逸出时所具有的动能，称为电子的初动能.逸出功是材料属性，同种金属的逸出功相同，不同金属的逸出功不同.这样，描述光电效应的能量方程为 h=A0+12mev2max （15-10）第二节第二节 光的量子性光的量子性另外，电子的能量是在和光子碰撞的瞬间一次性获得的，而不是逐渐积累的；再者，对于给定的入射光频率，入射光的光强（单位时间通过单位面积上的能量）与单位时间内单位面积上入射的光子数目成正比，所以光强越大，入射的光子越多，和光子发生碰撞并逸出的电子也就越多，从而饱和电流也就正比于入射光强.这样，光电效应的所有实验结果都可以

17、得到解释.毫无疑问，爱因斯坦取得了成功.不仅如此，爱因斯坦还进一步指出光子具有动量，即频率为的光子所具有的动量为第二节第二节 光的量子性光的量子性（15-11）式（15-9）和式（15-11）合在一起称为爱因斯坦关系式，它们是爱因斯坦光子学说的核心.有趣的是，这两式的左边是能量和动量，反映了光子粒子性的一面；而右边却与波长和频率相联系，代表了光子波动性的一面.第二节第二节 光的量子性光的量子性 康普顿散射三、三、当光照射到某物体时，光线就会向各个方向散开，这种现象称为光散射.通常而言，光在散射过程中的波长不会发生变化，这种普通的散射现象在经典物理学中可以得到圆满解释.1923年，康普顿在用X射

18、线（比紫外线波长更短的光）进行光散射实验时发现，散射光中除原波长的光线外，还会出现一些波长更长的光线，这就是康普顿效应.第二节第二节 光的量子性光的量子性图15-5所示为康普顿散射实验示意图.实验时，X射线源S发出的X射线被石墨散射，散射的X射线的波长和强度由X射线谱仪测定记录，绕散射中心转动X射线谱仪，可以测定不同方位角散射出的X射线的波长和强度.图15-5 康普顿散射实验示意图第二节第二节 光的量子性光的量子性从实验结果可以看到：（1）对于不等于零的散射角，除了原波长的光外，还有波长更长的光出现，并且波长的改变量（与入射光波长的差）随着散射角度的增加而增大；同时，随着散射角度的增加，原波长

19、光的强度降低，新波长光的强度增加.（2）波长改变量与入射光波长和散射物质无关，但是对于固定的散射角，原波长光的强度随着散射物质原子序数的增加而增加，同时新波长光的强度会减弱.第二节第二节 光的量子性光的量子性对于这些实验结果，经典物理学能够很好地解释有关原波长光的现象，但是却不能解释波长为什么改变及相应的变化规律.康普顿指出，若借用光子概念，把光的散射过程看作入射的光子和物质中的电子的碰撞过程，则利用相对论的能量守恒和动量守恒就可以解释波长变化的规律.X射线光子的能量在103 eV以上，轻物质中外层电子的能量只有几个电子伏，相比之下，轻物质中的电子可以看作自由电子，设X射线的波长为，按照爱因斯

20、坦关系式，即式（15-9）和式（15-11），相应的光子能量和动量分别为第二节第二节 光的量子性光的量子性电子的初动量为0，初始能量为mec2，这里的me为电子的静止质量，c为光速.如图15-6所示，散射（碰撞）后，设光子沿方向射出，波长变为，相应的动量为p，能量为E，则（15-12）第二节第二节 光的量子性光的量子性图15-6 康普顿散射模型第二节第二节 光的量子性光的量子性电子沿方向反冲，速度为v，能量和动量设为Ee和pe.按照相对论力学，则（15-13）第二节第二节 光的量子性光的量子性对散射过程应用能量守恒定律，得到h+mec2=h+Ee （15-15）（15-14）第二节第二节 光的

21、量子性光的量子性应用动量守恒定律，得到p-p=pe （15-16）由式（15-13）式（15-16），可以解得（15-17）式中，称为康普顿波长，用c表示.第二节第二节 光的量子性光的量子性实验现象是客观存在、不可辩驳的.判断一个假设或理论是否正确的标准就是理论推导的结果是否与实验相吻合.从以上分析过程可以看出，如果赋予光子确定的能量和动量，就可以利用动量守恒、能量守恒和相对论的相关公式非常完美地解释康普顿散射实验规律.这就说明：爱因斯坦关于光子动量、能量的假设，即光子学说是正确的；动量守恒和能量守恒定律对于微观领域的粒子也是成立的；爱因斯坦相对论是正确的.第二节第二节 光的量子性光的量子性黑

22、体辐射、光电效应和康普顿散射实验，是相互独立、层层推进、彼此统一的三个实验.对黑体辐射现象的研究，普朗克首先引出了能量量子化的概念；受此启发，爱因斯坦提出光子学说，成功解释了光电效应；康普顿更进一步，借用能量、动量守恒和相对论，又完美地说明了康普顿散射.从表面来看，这是三个不相关的实验，但是在本质上，它们都反映了光波的能量、动量具有颗粒性，即光可以像粒子一样和其他物质（或微观粒子）相互作用、相互碰撞，并发生能量、动量的转移.简而言之，这三个实验都反映了光波的粒子性一面.第二节第二节 光的量子性光的量子性在光学中，从光程差出发，利用波的叠加原理，可以非常好地说明光的干涉和衍射现象.换句话说，在处

23、理光的干涉、衍射问题时，把光看作纯粹的波就可以解释观察到的现象.在处理黑体辐射、光电效应和康普顿散射时，需要把光看作一类粒子，才可以解释相关结果.那么，光到底是粒子还是波？实际上，光具有波粒二象性.也就是说，在一些问题，如干涉和衍射中，光的波动性占据主导地位；而在另一些涉及光和物质的相互作用的问题，如光电效应和康普顿散射中，光的粒子性则占据主导地位.光既是粒子又是波，但不是纯粹的经典粒子，也不是纯粹的经典波这便是目前对光的本性最恰当的描述.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论大家已经知道，通过量子化的概念可以解释黑体辐射、光电效应和康普顿散射等实验现象.那么，量子化概念是不是在微观世

24、界领域还具有更深刻的意义？丹麦物理学家玻尔运用量子化概念解释说明了氢原子的结构和光谱规律.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论 氢原子光谱一、一、第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论式（15-18）就是著名的里德伯光谱公式.在式（15-18）中，RH=1.097 373107 m-1，称为里德伯常数.该式具有非常鲜明、简洁的规律性，它所预言的谱线也都在后来的实验中得到了证实，如1908年发现了对应于m=3的帕邢线系，1916年发现了m=1的赖曼线系，1922年发现了布喇开线系，1924年发现了普丰德线系.那么，这种规律性到底反映了什么样的物理本质呢？第三节第三节 玻尔的氢原

25、子理论玻尔的氢原子理论 原子结构模型二、二、1897年，J.汤姆孙发现了电子.在此之前，原子被认为是物质结构的最小单元，是不可分的，可是电子的发现却表明原子中包含带负电的电子.那么，原子中必然还有带正电的部分，这就说明原子是可分的，是有内部结构的.执着的科学家就会继续追问：原子的内部结构是什么样的？简洁的里德伯光谱公式是不是氢原子内部结构的外在表现？第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论为此,J.汤姆孙在1904年提出了原子结构的枣糕式模型.该模型认为，原子可以看作一个球体，原子的正电荷和质量均匀分布在球内，电子则一颗一颗地镶嵌其中.1909年，J.汤姆孙的学生卢瑟福为了验证原子结构的

26、枣糕式模型，完成了著名的粒子散射实验.实验发现粒子在轰击金箔时，绝大多数粒子都穿透金箔，方向也几乎不变，但是大约有1/8 000的粒子会发生大角度偏转，即被反弹回来.这样的实验结果是枣糕式模型根本无法解释的，因为如果说金箔中的金原子都是枣糕式的结构，那么整个金箔上各点的性质应该近乎均匀，粒子轰击上去，要么全部透射过去，要么全部反弹回来，而不可能是一些穿透过去，一些反弹回来.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论面对粒子散射的实验结果，卢瑟福经过慎重思考，最后放弃了导师的枣糕式模型，在1911年提出了他的行星模型，也称为有核模型.行星模型认为：原子是一个球体，原子中的所有正电荷和绝大多数

27、质量都集中在原子中间的一个非常小的区域，称为原子核，电子则绕着原子核做圆周轨道运动.根据该模型，当粒子散射从金箔中几个原子之间穿过时，由于周围金原子对粒子的作用力基本上可以相互抵消，从而粒子基本不偏转；如果从某一个原子中穿过，受到这个原子核的排斥作用就比较强，从而发生较明显偏转；如果粒子正对着核碰撞过去，由于金原子核很重，粒子就可能被反弹回来，发生所谓的大角度偏转.这样，卢瑟福的行星模型就可以很好地解释粒子散射实验.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论可是这个模型却遭到很多物理学家的质疑.因为按照当时的物理理论（包括经典力学、经典电磁理论及热力学统计物理），这样一个模型是根本不可能的

28、，原因有以下两个：（1）在经典理论中，带电粒子做加速运动时，就会向外释放电磁波，电磁波会带走能量.这样，电子在绕原子核运动时，就会不断地向外释放能量，电子的能量就会不断下降，转动的轨道就会不断减小，最终电子会掉到核上，出现所谓的坍塌.但实际上观察到的原子是稳定的，并没有坍塌.这是第一个矛盾，即该模型不能解释原子的稳定性问题.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论（2）按照经典理论，行星模型中的电子轨道和能量连续减少，转动频率连续下降，释放出来的电磁波的波长就应该是连续变化的.实际上，正如里德伯公式所描述的那样，原子光谱都是一根一根的分立谱线.这是第二个矛盾，即原子光谱为什么是分立的.如

29、果这两个矛盾得不到解决，行星模型就不能被接受.一直到1913年年初，玻尔在最权威的英国皇家学会期刊哲学杂志上发表了里程碑式的三篇文章，提出了他的氢原子理论，对原子稳定性和光谱分立性给出统一的说明，并且从理论上非常精准地求出了氢原子所有谱线的波长和频率.这就是玻尔氢原子理论.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论 玻尔的三点基本假设三、三、为了解决原子结构有核模型的稳定性和氢原子光谱的分立性问题，玻尔提出以下三个假设：（1）定态假设.原子中的电子绕着原子核做圆周运动，但是只能沿着一系列特定的轨道运动，而不能够任意转动，当电子在这些轨道运动时，不向外辐射电磁波，原子系统处于稳定状态，具有一

30、定的能量.不同的轨道，具有不同的能量，按照从小到大的顺序记为E1、E2、E3等.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论（2）量子化条件.只有电子的角动量满足下列条件的运动轨道才是被允许的.(15-19)（3）跃迁条件.当原子中的电子从一个轨道向另一个轨道跃迁时，原子系统就会以吸收或者辐射光子的形式与外界交换能量，由于能量守恒，跃迁必须满足以下条件.(15-20)第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论 氢原子的能级和光谱公式四、四、氢原子中只有一个电子，如果把原子核看作一个质点，就是一个二体问题，真实的情况应该是电子和原子核绕着它们共同的质心转动.由于原子核的质量远远大于电子的质

31、量，因而假定原子核不动，这就是著名的波恩-奥本海默近似（核不动近似）.在波恩-奥本海默近似下，只需要考虑电子绕核的转动.假设电子速度是v,转动的轨道半径是r，则其需要的向心力是mv2/r，这个向心力应由电子和原子核之间的库仑力提供，即(15-21)第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论结合量子化条件式（15-19），可以解得第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论式中，m、n为正整数，且nm，该式可以简写为第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论图15-7 氢原子的能级和谱线系第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论显然，

32、玻尔以非常高的精度从理论上计算出了实验观察到的全部氢原子的光谱数据.之后不久，索末菲将玻尔的量子化条件推广为更一般的形式pdq=nh (15-27)式中，q为电子的广义坐标；p为相应的广义动量（如直角坐标和动量、角坐标和角动量），积分回路沿着运动轨道；n为量子数.推广之后的量子化条件可适用于多自由度的情形.玻尔的氢原子理论的意义不仅回答了原子的稳定性问题和光谱的分立性问题.更重要的是，玻尔使得量子化的概念上升到了一个新的理论高度.他第一次提出了定态的概念.定态是整个量子力学中最基本、最重要的概念之一.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论尽管玻尔在氢原子问题上取得了巨大成功，但是应该看

33、到，玻尔的氢原子理论也具有很大的局限性：玻尔理论只能处理谱线位置，不能处理谱线的强度和宽度；玻尔理论只适用于氢原子和类氢原子，稍微再复杂一点的原子，如He原子，玻尔理论就束手无策；按照玻尔理论，原子应该更像一个铁饼，但实际上原子是一个球.产生这些问题的根本原因在于，玻尔只是在经典理论的框架中强加了一个量子化规则，他依旧没有摆脱经典物理的束缚.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论例如，玻尔假设的第一点用了特定轨道，但是后来的量子力学证明，微观粒子的运动只有状态，而且在一般状态下，粒子的位置和动量不能同时具有确定值，换句话说，微观粒子并没有像导弹弹道一样的确切轨道.又如，假设的第二点采用

34、了角动量量子化条件，但这是强加的，玻尔并没有给出任何理论依据，直到法国物理学家德布罗意提出物质波的概念，才用驻波图像对量子化条件进行了形象的说明.尽管如此，玻尔理论仍旧是一个承前启后的美妙过渡，在经典理论和量子力学之间搭起了一座桥梁.第三节第三节 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论【例例15-215-2】最短波长为第四节第四节 德布罗意波德布罗意波1924年，德布罗意在他的博士毕业论文中指出，19世纪的光学研究中，由于过分强调光的波动性，忽略了光的粒子性，从而难于解释黑体辐射、光电效应等新的实验现象，那么在研究实物粒子的运动时，是否可能犯了一个完全相反的错误？即是否过分强调了实物运动的粒子性，而

35、忽略了它们的波动性？德布罗意大胆推测：一切实物粒子和光波一样，也具有波粒二象性.并且，与质量为m、能量为E、动量为p的实物粒子相联系的波的频率和波长满足E=h=（15-28）（15-29）第四节第四节 德布罗意波德布罗意波第四节第四节 德布罗意波德布罗意波德布罗意的推测到底对不对呢？不妨先按照式（15-28）计算两个运动物体的物质波波长.假定某实物粒子的静止质量为m0，它具有动能Ek.按照相对论原理，该粒子的总能量为E=Ek+m0c2其动量为第四节第四节 德布罗意波德布罗意波第四节第四节 德布罗意波德布罗意波例如，质量为1 g的子弹以500 m/s的速度飞行，其物质波波长也只有该尺度要比原子核

36、（10-15m）的尺寸还小近20个数量级，这种波动性以当今的科技手段还无法感知，因此人们也觉察不到.但如果把子弹换成电子，用100 V的电压进行加速，其能量就是100 eV，该电子的物质波长为第四节第四节 德布罗意波德布罗意波该值与原子大小、X射线的波长都相当，也与晶体的原子间距相当.因此，若德布罗意物质波的假设是正确的，则用能量合适的电子照射晶体，通过透射或反射就可能观测到电子的干涉图样，从而验证电子的波动性.第四节第四节 德布罗意波德布罗意波1925年，戴维孙和革末完成了电子在镍单晶片上的反射式衍射实验.图15-8(a)所示为戴维孙-革末实验的示意图和测量结果.图15-8 戴维孙-革末实验

37、及其测量结果（a）实验示意图 （b）测量结果第四节第四节 德布罗意波德布罗意波在戴维孙-革末实验中，入射到镍单晶的电子将从不同的原子面上反射.如果电子具有波动性，这些原子面就与反射式光栅类似.对于光波，若满足光栅方程dsin=k，则形成亮条纹（d是原子面间距）；对于电子，若满足上式，则接收到的电子会最多，从而电流计的电流最大.在戴维孙-革末实验中，电子枪、接收器和镍单晶都固定不动，即d、都是不变的，实验时，连续调节电子的加速电压，从而电子波长也连续改变，总有一些波长的值能使光栅方程得以满足，从而电流计的电流达到最大值.实验测量的结果如图15-8(b)所示，与预期结果一致.第四节第四节 德布罗意

38、波德布罗意波戴维孙-革末实验虽然可以用电子衍射加以说明，但并没有直接得到衍射图样；同年，发现电子的J.汤姆孙的儿子G.汤姆孙用电子束照射金箔、铝箔等金属多晶薄片，得到了图15-9所示的衍射图样，直接证实了电子具有波动性；1961年，C.约恩孙完成了电子的单缝衍射和多缝干涉实验，得到图15-10所示的干涉图样，为电子的波动性提供了最直观的实验证明.这些都说明德布罗意的假设对电子这种实物粒子而言是成立的.之后，科学家们先后观察到了中子和原子的衍射现象，证明德布罗意物质波对于微观粒子也是成立的.第四节第四节 德布罗意波德布罗意波图15-9 电子衍射图样图15-10 电子双缝干涉图样第四节第四节 德布

39、罗意波德布罗意波由这些实验现象可以外推：宏观物体也具有波动性，即能发生衍射和干涉现象.但是，衍射和干涉现象只有在障碍物或者小孔的尺寸可以与波长相比拟的条件下才能显现出来.对于宏观物体，由于相应物质波的波长很短，目前的科技水平还没有能力去观察它们的干涉和衍射现象，日常生活中就更不能觉察到物体的波动性了.第四节第四节 德布罗意波德布罗意波总之，通过这两组实验现象，可以得出结论：不管是光子，还是电子、原子，甚至是子弹等宏观物体，都具有波粒二象性.对于宏观物体而言，其物质波的波长很短，根本无法觉察，因此，在研究其运动规律时，完全可以不用考虑其波动性的影响，换句话说，在物体或者粒子的波动性可以忽略的条件

40、下，经典力学关于物体运动规律的描述是恰当的.可以认为宏观物体在任何时刻都同时具有确定的能量、动量和位置，并且这些物理量的变化都是连续的，追踪物体运动的轨道也是可以的.但是对于电子、原子、中子等微观粒子而言，由于其物质波的波长已经和其所存在的空间尺度（原子大小、原子间距等）相当，此时粒子的波动性是显著的、不能忽略的，如果还沿用经典力学理论来描述它们的运动，势必会变得不合时宜.第四节第四节 德布罗意波德布罗意波因此，为了更加恰当地描述微观世界的运动规律，就必须把物质运动的粒子性和波动性结合起来统一描述.需要说明的是，这里的粒子性并不等同于经典粒子，波动性也并不等同于经典波.经典粒子的运动在任何时刻

41、都具有完全确定的能量、动量和位置，它们可以连续变化，运动过程中所经过的位置的连线就构成了精确的轨道.波粒二象性中的粒子性则是指微观粒子的大小是有限的，能量、动量、角动量等物理量是一份一份的，是不连续的，即只是强调微观粒子的颗粒性，并不隐含确定的位置和确切的轨道等概念.经典波通常都伴随某个真实物理量的周期性变化和传播，能发生干涉和衍射现象.而波粒二象性中的波动性只是保留了波可以干涉和衍射的本质特征，即保留了波的叠加原理，但并不一定直接和某个真实物理量的周期性变化相对应.第四节第四节 德布罗意波德布罗意波利用德布罗意物质波的观点还可以形象地说明玻尔的量化条件.如果把原子中的电子看作环绕原子核传播的

42、一种波动，对于波动而言，要形成稳定的结构，只能是环绕一圈后形成驻波，因此2r=n n=1,2,3，利用=h/mv，就可以推得玻尔的量子化条件为因此，量子化条件也被称为驻波条件.第四节第四节 德布罗意波德布罗意波再例如，假设质量为m的微观粒子只能在-axa做一维运动，则由驻波条件可知，与该粒子相联系的物质波波长只能是=2a/n，利用=h/mv就可以得出该粒子的速度只能取一系列分立的值，即相应的能量也只能取一系列分立值，即也就是说，限制了运动范围的粒子的能量的取值将是分立的、不连续的.第五节第五节 不确定关系不确定关系经典粒子的运动由牛顿运动方程描述，粒子具有精确的轨道，即经典粒子的位置和动量可以

43、同时具有确定值.因此，可以说，同时准确地测定粒子(质点)在任意时刻的坐标和动量是经典力学赖以保持有效的关键.然而，对于具有波粒二象性的微观粒子来说，是否也能用确定的坐标和动量来描述呢?下面以电子通过单缝衍射为例来进行讨论.如图15-11所示，设单缝的缝宽为x，电子动量为p，仿照光学中的单缝衍射公式，可得电子单缝衍射花样中的暗条纹条件为 xsin=k第五节第五节 不确定关系不确定关系图15-11 电子衍射中的不确定关系第五节第五节 不确定关系不确定关系即xpsin=kh显然，电子在x方向上的动量分布范围应该为0psin，即x方向上的动量不确定关系为px=psin 所以有xpx=kh第五节第五节

44、不确定关系不确定关系在单缝衍射中，k1，从而可得xpxh可以证明，更严格的关系应为（15-31）这就是著名的海森堡不确定关系.除了位置和动量之外，对于时间和能量也有类似的不确定关系，即（15-32）第五节第五节 不确定关系不确定关系式（15-32）可以用来解释原子激发态能级的能级宽度.原子的激发态都具有有限的寿命，处在激发态的原子在任何时刻都有可能通过跃迁回到基态，激发态存在时间的不确定关系近似为其平均寿命，即t=.按照式（15-32），E将不等于零，因此，激发态的能量不可能准确测量.原子谱线作为能级间跃迁的结果，也必然具有一定的宽度.第五节第五节 不确定关系不确定关系【例例15-315-3】

45、第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程 波函数一、一、用来描述实物粒子德布罗意波的数学表达式称为波函数.对于一个自由粒子的波函数，可根据德布罗意物质波求得.与自由粒子对应的是单色平面波.在经典波动理论中，平面简谐波的波函数为第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程用光波与物质波对比的方法可阐明波函数的物理意义.从波动的观点来看，光的衍射图样越明亮的区域，光的强度越大，说明接收的能量越多.若把光束看作一束光子流，按照爱因斯坦关系，则每个光子所携带的能量都相同，那么越明亮的地方就意味着到达的光子数目越多.换句话说，光通过双缝后之所以形成明暗变化的干涉条纹，是因为到达光屏上各点的光

46、子数目不同，即每个光子到达光屏各点的概率不同.因为光强与光振动的振幅的平方成正比，所以光子在某处附近出现的概率与该处的光强成正比，即与该处光振动振幅的平方成正比.第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程对于电子双缝干涉实验，通过与光的双缝实验类比，可以得出结论：电子分布越多的地方就是到达的电子数目越多的地方，电子分布越少的地方就是到达的电子数目越少的地方.也就是说，电子到达各点的概率是不同的.其他微观粒子也有类似的结论.综上所述，微观粒子的运动状态用波函数(r,t)描述，t时刻粒子在空间r处附近的体积元dV中出现的概率dW与该处波函数模的平方成正比，即第六节第六节 波函数波函数 薛定谔

47、方程薛定谔方程一般而言，波函数是空间坐标和时间的函数.随着位置的变化，这个函数是变化的，这意味着粒子出现在空间各点的概率是不一样的，有的地方大，有的地方小.但对于整个空间，必须有上式称为波函数的归一化条件.对于给定问题而言，粒子出现在某一空间点的概率应该是确定的，这就要求波函数应该是单值函数.另外，两个无限接近的点的概率不应该差别太大，这就要求波函数是渐变的和连续的.所以，波函数必须具有单值、连续、有限的条件，称为波函数的标准条件.(15-34)第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程 薛定谔方程二、二、既然微观粒子的运动可以用波函数描述，那么波函数应该满足什么样的方程才能反映微观粒子

48、的运动规律呢？对此，从一个简单的一维运动出发，引出薛定谔方程.薛定谔方程是描述微观粒子运动规律的基本方程.对于质量为m，动量为p，在势场V(x)中做一维运动的粒子，其非相对论总能量为第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程是描述微观粒子运动的一般方程，自然也可以描述自由粒子的运动，即式（15-36）应为薛定谔方程的一个解，由式（15-36）可得（15-37）第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程由式（15-35）可得第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程（1）这并不是薛定谔方程的证明，薛定谔方程是量子力学的基本假定，是对大量实验观测结果的概括，它和经典力学

49、中的牛顿三定律一样，是不能被证明的.（2）式（15-40）实际上是单粒子薛定谔方程，其中(r,t)是单粒子波函数，V(r)也是单粒子感受到的势场。而对于大量微观粒子组成的系统，波函数应是总的波函数，势场也是总的势场，既包括整个系统所感受到的外部势场，也包括系统内部各粒子之间的相互作用势.第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程 定态薛定谔方程三、三、玻尔在解释氢原子光谱时就提出了定态的概念雏形.定态也是量子力学中最重要的概念之一，本节就从薛定谔方程出发，对定态的性质做一些概括性的讨论.若势能V(r)与时间无关，则可以设(r,t)=(r)f(t)（15-41）把式（15-41）代入式（1

50、5-40）,得到第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程两边同除以(r)f(t)，就可以分离变量，即第六节第六节 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程在这种情况下，一方面，式（15-45）与时间无关，因此该方程称为定态薛定谔方程.相应的解就称为定态.另一方面，式（15-45）左边的方括号是体系的哈密顿算符，因此式（15-45）就是哈密顿算符的本征方程，即能量本征方程.这样，所谓定态，实际上就是能量本征态.在能量本征态下测量能量，则一定得到相应的本征值，即定态是具有确定能量的状态.而式（15-44）就是能量为E的定态的时间演化因子.可以看出，定态波函数也是要随着时间变化的，即第六节第六节