1、圆与方程复习)4,1(A)2,3(B0y)4,2(P例例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的与圆的关系标准方程并判断点222)()(rbyax0y0b222)(ryax)4,1(A)2,3(B22224)3(16)1(rara1a202r20)1(22yx解法一:解法一:(待定系数法)设圆的标准方程为圆心在直线上,故圆的方程为又该圆过、两点解之得:,所以所求圆的方程为解法二:解法二:(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点,所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上又因为13124ABk故l的斜率为1,又AB的中点为)3,2(,故AB的垂直平分线l的方程为:23xy即01yx
2、又知圆心在直线0y上,故圆心坐标为)0,1(C半径204)11(22 ACr故所求圆的方程为20)1(22yx又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22点P在圆外例例2.求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2xy3=0上的圆的方程;解法一:解法一:设圆心P(x0,y0),则有2020202000)2()3()2()5(032yxyxyx解得 x0=4,y0=5,半径r=10,所求圆的方程为(x4)2+(y5)2=10 解法二:解法二:圆心在线段AB的垂直平分线和已知直线的交点处,以下同解法一。72例例3.一圆与y轴相切,圆心在直线x3y=0上,且直线y=x截
3、圆所得弦长为,求此圆的方程。解:因圆与y轴相切,且圆心在直线x3y=0上,故设圆方程为(x3b)2+(yb)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为27,则有2229)7()23(bbb(x3)2+(y1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.例例4.已知圆 A的圆心在曲线xy182,圆A与y轴相切,又与另一圆1)3()2(22yx相外切,求圆A的方程.解:设圆A圆心坐标为),18(020yy,半径为r,依题有202202020)3()182(11818yyryyr解之得:60y或30y 所求圆A的方程为:4)6()2(22yx或4)3()21(22yx例例5.求半径为4,与圆042422y
4、xyx相切,且和直线0y相切的圆的方程解:解:则题意,设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC:圆C与直线0y相切,且半径为4,C则圆心的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(半径为3若两圆相切,则734CA或134CA(1)当)4,(1aC时,2227)14()2(a或2221)14()2(a(无解),故可得1022a所求圆方程为2224)4()1022(yx或2224)4()1022(yx(2)当)4,(2aC时,2227)14()2(a,或2221)14()2(a(无解),故622a所求圆的方程为2224)4()622(yx,或2224)4()622(yx例例6.设圆满足:截y轴所得弦长为2;被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件、的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离为55的圆的方程解:设圆P的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为b,a.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90,知圆P截x轴所得的弦长为.故r2=2b2 又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有 r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.又因为到直线02yx的距离为所以,即有a-2b=1,由此有或解方程组得或 于是r2=2b2=2,所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2,或(x-1)2+(y-1)2=2.