分子动理学理论的平衡态理论课件.ppt

1、 第二章第二章:分子动（理学）理论的平衡态理论分子动（理学）理论的平衡态理论 2.1 分子动理论与统计物理学分子动理论与统计物理学 2.2 概率论的基本知识概率论的基本知识 2.3 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 2.4 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布 2.5 气体分子碰壁数及其应用气体分子碰壁数及其应用 2.6 外力场中自由粒子的分布外力场中自由粒子的分布.玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 2.7 能量均分定理能量均分定理2.1 分子动理论与统计物理学分子动理论与统计物理学 分子动理论分子动理论方法的方法的主要特点主要特点:考虑到分子与分子间、考虑到分子与分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分

2、子间有相互作用力，分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，利用利用力学定律力学定律和和概率论概率论来讨论分子运动分子碰撞的详情。来讨论分子运动分子碰撞的详情。它的最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的它的最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。过程。分子动理论分子动理论:分子运动学分子运动学+分子动力学分子动力学热力学对不可逆过程所能叙述的仅是孤立体系的熵的增加热力学对不可逆过程所能叙述的仅是孤立体系的熵的增加，而，而分子动理论则企图能进而叙述一个非平衡态气体的演变过程分子动理论则企图能进而叙述一个非平衡态气体的演变过程。诸如：分子由容器上的小孔逸出所产生的诸如：

3、分子由容器上的小孔逸出所产生的泻流泻流；动量较高；动量较高的分子越过某平面与动量较低的分子混合所产生的与的分子越过某平面与动量较低的分子混合所产生的与黏性黏性有关有关的分子运动过程；动能较大的分子越过某平面，与动能较小的分子运动过程；动能较大的分子越过某平面，与动能较小的分子混合所产生的与的分子混合所产生的与热传导热传导有关的过程；一种分子越过某有关的过程；一种分子越过某平面与其他种分子混合的平面与其他种分子混合的扩散扩散过程；流体中悬浮的微粒受到过程；流体中悬浮的微粒受到从各方向来的分子的不均等冲击力，使微粒作杂乱无章的从各方向来的分子的不均等冲击力，使微粒作杂乱无章的布朗布朗运动运动；两种

4、或两种以上分子间以一定的时间变化率进行的化；两种或两种以上分子间以一定的时间变化率进行的化学结合，称为学结合，称为化学反应动力学化学反应动力学。u 特点特点:1.气体分子动理论在处理复杂的非平衡态系统时，都要加上一些近气体分子动理论在处理复杂的非平衡态系统时，都要加上一些近似假设。似假设。2.由于微观模型细致程度不同，理论的近似程度也就不同，对于同由于微观模型细致程度不同，理论的近似程度也就不同，对于同一问题可给出不同理论深度的解释。微观模型考虑得越细致，越一问题可给出不同理论深度的解释。微观模型考虑得越细致，越接近真实，数学处理也越复杂。接近真实，数学处理也越复杂。3.重点应掌握基本物理概念

5、、处理问题的物理思想及基本物理方法，重点应掌握基本物理概念、处理问题的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理论的重要基础熟悉物理理论的重要基础基本实验事实。基本实验事实。4.在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理论的在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理论的十分严密与结果的十分精确。因为相当简单的例子中常常包含基十分严密与结果的十分精确。因为相当简单的例子中常常包含基本物理方法中的精华，它常常能解决概念上的困难并能指出新的本物理方法中的精华，它常常能解决概念上的困难并能指出新的计算步骤及近似方法。计算步骤及近似方法。2.2 概率论的基本知识概率论的基本知识 2.2.1

6、伽尔顿板实验伽尔顿板实验 解决问题的关键：解决问题的关键：分子按速率的概率分布律分子按速率的概率分布律 1.只要小球总数足够多（只要小球总数足够多（N，则每一小槽内都有小球则每一小槽内都有小球落入，且第落入，且第i个槽内小球数个槽内小球数Ni 与小球总数与小球总数N（N=Ni）之比之比有一定的分布。有一定的分布。2.若重复做实验甚至用同一小球投入漏斗若重复做实验甚至用同一小球投入漏斗N次（次（N），），其其分布曲线都相同。分布曲线都相同。说明说明1.1.统计规律统计规律：单个小球的运动服从力学规：单个小球的运动服从力学规律，大量小球按槽的分布服从统计规律律，大量小球按槽的分布服从统计规律.2.

7、涨落涨落：涨落现象是统计规律的基本：涨落现象是统计规律的基本特征之一特征之一结论结论2.2.2 等概率性与概率的基本性质等概率性与概率的基本性质 一一.概率的定义概率的定义)(limNNLNLP 在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能不发生，我们就称这样的事件为也可能不发生，我们就称这样的事件为随机事件随机事件。LLNPN 若在相同条件下重复进行同一个试验（如掷骰子），在若在相同条件下重复进行同一个试验（如掷骰子），在总次数总次数N足够多的情况下（即足够多的情况下（即N），），计算所出现某一事计算所出现某一事件（如哪一面向上）的次数件（如

8、哪一面向上）的次数NL，则其百分比即该事件出现则其百分比即该事件出现的概率的概率 二二.等概率性等概率性等概率性原理：在没有理由说明哪一事件出现概率更大些等概率性原理：在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。3616161)1()1(11PPP（2）相乘法则）相乘法则:例例:把一个骰子连续掷两次把一个骰子连续掷两次三三.概率的基本性质概率的基本性质（1）相加法则）相加法则:n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和.ABABPPP同时或依次发生的，

9、互不相关（没有关联同时或依次发生的，互不相关（没有关联,独立）的事件独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积发生的概率等于各个事件概率之乘积(3)概率归一化概率归一化:11iniP互相排斥(简称互斥)的事件:An个事件，出现事件Al，就不可能同时出现事件A2，A3,An。互不相关事件(独立事件):事件A的发生与否，不会因B事件是否已经发生过而受到影响.BABAPPP2.2.3 平均值及其运算法则平均值及其运算法则 统计分布的最直接的应用是求平均值。统计分布的最直接的应用是求平均值。1 122iiiiiN uN uN uuNN 求年龄之和可以将人按年龄分组，设求年龄之和可以将人按年龄分组，设

10、ui为随机变量为随机变量（例如年龄），其中出现（年龄）（例如年龄），其中出现（年龄）u1值的次（或人）数为值的次（或人）数为N1，u2值的次（或人）数为值的次（或人）数为N2，则该随机变量（年龄）则该随机变量（年龄）的平均值为的平均值为 因为因为 是出现是出现ui值的百分比，当值的百分比，当N 时它就是出现时它就是出现ui值值的概率的概率Pi，故故NNiiiiuPuPuPu2211 一、一、平均值平均值iiniPufuf)()(1(2)()()()(ugufuguf（3）若）若C为常数，则为常数，则 )()(ufcucf(4)若随机变量若随机变量u和随机变量和随机变量v是相互统计独立。是相互统

11、计独立。f(u)又是又是u 的某一函数，的某一函数，g（v）是是v的另一函数，则的另一函数，则()()()()f ugf ugvv以上讨论的各种概率都是归一化的，即以上讨论的各种概率都是归一化的，即 11iniP(1)设设f（u）是随机变量是随机变量u的函数，则的函数，则 二、二、平均值的运算平均值的运算法则法则2.2.4 均方偏差均方偏差 随机变量会偏离平均值随机变量会偏离平均值 ，即，即 。一般其偏离一般其偏离值的平均值为零（即值的平均值为零（即 )，但均方偏差不为零。，但均方偏差不为零。uuuii)0uu 22222uuuuuu 22212122uuuuPuuPuurrnrrrnr2u

12、22uu因为因为 0，所以，所以 定义定义相对均方根偏差相对均方根偏差uuuuuurms 212212 相对均方根偏差相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开表示了随机变量在平均值附近分散开的程度，也称为的程度，也称为涨落涨落、散度或散差。、散度或散差。2.2.5 概率分布函数概率分布函数 v到到v+dv的概率分布的概率分布有关打靶试验的例子有关打靶试验的例子:飞镖飞镖 图（图（a）直角坐标表示）直角坐标表示靶板上的分布；靶板上的分布；图（图（b）极坐标表示其分布）极坐标表示其分布 只要数出在只要数出在x到到x+x范围内的那条窄条中的黑点数范围内的那条窄条中的黑点数N，把它除以靶板上总的

13、黑点数把它除以靶板上总的黑点数N（N应该足够大），则其百分比应该足够大），则其百分比就是黑点处于就是黑点处于xx+x范围内这一窄条的范围内这一窄条的概率概率。然后以然后以 为纵坐标，以为纵坐标，以x为横坐标，画出图为横坐标，画出图.若令若令x0，就得到一条连续曲线。就得到一条连续曲线。xNN21()dxxf xx()d1fxxd()dNf xNx 这时的纵坐标这时的纵坐标 称为黑点沿称为黑点沿x方向分布的方向分布的概率密概率密度度，表示黑点沿，表示黑点沿x方向的相对密集程度。而方向的相对密集程度。而f(x)dx表示处于表示处于x到到x+dx范围内的概率。范围内的概率。在曲线中在曲线中xx+dx

14、微小线段下的面积微小线段下的面积则表示黑点处于则表示黑点处于xx+dx范围范围内的概率内的概率位置处于位置处于x1到到x2范围内的概率范围内的概率(归一条件归一条件)d()dNf xxN 类似地可求出类似地可求出 并并令令 可得到黑点处于可得到黑点处于yy+dy范围内的概率为范围内的概率为f(y)dy。yNNyf)(0y黑点处于黑点处于xx+dx，yy+dy范围内的概范围内的概率就是图中打上斜线的范围内的黑点率就是图中打上斜线的范围内的黑点数与总黑点数之比。数与总黑点数之比。根据概率相乘法则，粒子处于该面积上的概率为根据概率相乘法则，粒子处于该面积上的概率为d()d()d(,)d dNf xx

15、 f yyf x yx yN22221111(,)d d()d()dyxyxyxyxf x yx yf yyf xx 概率密度分布函数概率密度分布函数:若要求出处于若要求出处于x1x2、y1y2范围内的概率，只要对范围内的概率，只要对x、y积分积分 1.平均值：黑点的平均值：黑点的x方向坐标偏离靶心方向坐标偏离靶心（x=0）的平均值）的平均值()dxxf xxx的某一函数的平均值的某一函数的平均值 d(,)d dNf x yN x y(,)(,)(,)d dg x yg x y f x y x yd()d()d(,)d dNf xx f yyf x yx yN 说明说明2.极坐标表示极坐标表示

16、d(,)2 dNf x yNr rd()dNf rrN考虑对称性考虑对称性()2(,)f rrf x yd(,)2 dNf x yr rNd(,)d dNf x yN x ydrrr+dr小圆环内的小圆环内的dN2.3.1 分子射线束实验分子射线束实验 LvLv1.分子束中能穿过第一个凹槽的分子一般穿不过第二个凹槽，分子束中能穿过第一个凹槽的分子一般穿不过第二个凹槽，除非它的速率除非它的速率v 满足如下关系满足如下关系 u 测量原理测量原理通过改变角速度通过改变角速度的的大小，选择速率大小，选择速率v 2.3 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布/()N Nv3.以以 为纵坐标（其中为纵坐标（其中

17、N是单是单位时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的位时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的总分子数），以分子的速率总分子数），以分子的速率v为横坐为横坐标作一图形，如图所示。标作一图形，如图所示。2.通过细槽的宽度，选择不同的速率区间通过细槽的宽度，选择不同的速率区间vv2L4.当当v0时，即得图（时，即得图（b）所所示的一条光滑的曲线，称为示的一条光滑的曲线，称为分子分子束速率分布曲线束速率分布曲线。NdvdNvF)(5.在在v到到v+dv速率区间内的细长条的面积就表示分子速率介速率区间内的细长条的面积就表示分子速率介于于vv+dv区间范围内的概率区间范围内的概率 u意义：意义：分布在速率分布在速率v 附近

18、单位速率间隔内的分子数与总分子数比率附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率dvvFdvNdvdN)(dvvFNdN)(2.3.2 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 一一.气体分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布气体分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布 气体分子的速率分布与分子束速率分布不同气体分子的速率分布与分子束速率分布不同,但它们存在一定关系，故可利用实验测得的曲线求但它们存在一定关系，故可利用实验测得的曲线求得理想气体速率分布。得理想气体速率分布。dvNdvdNdvvf)(v)(vfovvvdSd二二.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律23/22/2()4()2mkTmf

19、ekTvvv(麦克斯韦速率分布概率密度麦克斯韦速率分布概率密度)m为分子质量，为分子质量，T 为气体热力学温度，为气体热力学温度，k 为玻耳兹曼常量为玻耳兹曼常量k=1.3810-23 J/K1.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律23/22/2d()d4()d2mkTNmfeNkTvvvvv这一规律称为这一规律称为麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律说明说明(1)从统计的概念来看讲速率从统计的概念来看讲速率恰好恰好等于某一值的分子数多少，等于某一值的分子数多少，是没有意义的。是没有意义的。(2)麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体

20、的各各 组分组分分别适用。分别适用。2.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线f(v)vOv(速率分布曲线速率分布曲线)(1)由图可见，气体中由图可见，气体中速率很小、速率很速率很小、速率很大的分子数都很少。大的分子数都很少。NNdvv d)(f(2)在在dv 间隔内间隔内,曲线下曲线下的面积表示速率分布的面积表示速率分布在在vv+dv 中的中的分子分子数与总分子数的比率数与总分子数的比率vdv(3)在在v1v2 区间内区间内,曲线下的面积表示速率分布在曲线下的面积表示速率分布在v1v2 之间之间的的分子数与总分子数的比率分子数与总分子数的比率NNf21d)(vvvvv1v2TvOT(速率分

21、布曲线速率分布曲线)(4)曲线下面的总面积，等曲线下面的总面积，等于分布在整个速率范围于分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中内所有各个速率间隔中的分子数与总分子数的的分子数与总分子数的比率的总和比率的总和 01d)(vvf最概然速率最概然速率v p f(v)出现极大值时出现极大值时,所对应的速率称为最概然速率所对应的速率称为最概然速率 (5)pv(归一化条件归一化条件)f(v)0d(dpvvvv)f221.41pmmkTRTRTmMMv m 一定一定,T 越大越大,这时曲线向右移动这时曲线向右移动 T 一定一定,m 越大越大,这时曲线向左移动这时曲线向左移动v p 越大越大,v p 越小越小

22、,T1f(v)vOT2(T1)1pv2pvm1f(v)vOm2(m1)1pv2pv由于曲线下的面积不变由于曲线下的面积不变,由此可见由此可见2pkTmv 不同气体不同气体,不同温度下的不同温度下的速率分布曲线的关系速率分布曲线的关系(6)三三.分子速率的三种统计平均值分子速率的三种统计平均值 1.平均速率平均速率dvkTmvvkTmfNN)2exp()2(4d)(d232/300vvvvv式中式中Mm 为气体的摩尔质量，为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量为摩尔气体常量 21d)(vvvvvf是否表示在是否表示在v1 v2 区间内的平均速率区间内的平均速率？思考：思考：202321)exp(d

23、xxxkTm2令mmMRTMRTmkTmkTkTm59.188)2(21)2(422/3v2.方均根速率方均根速率2203()dkTfmvvvv2221213()33232tkTpnnmnmnkTmv理想气体理想气体状态方程状态方程mmMRTMRTmkT73.1332rms vv3.最概然速率最概然速率 0d(dpvvvv)f221.41pmmkTRTRTmMMv 气体在一定温度下分布在最概然速气体在一定温度下分布在最概然速率率 附近单位速率间隔内的相对分子附近单位速率间隔内的相对分子数最多。数最多。pv物理意义物理意义T一般三种速率用途各不相同一般三种速率用途各不相同 （2）在计算分子）在计

24、算分子平均自由平均自由程程、气体分子碰壁数及气体、气体分子碰壁数及气体分子之间分子之间碰撞频率碰撞频率时则用到时则用到平均速率平均速率说明说明v（3）讨论分子的）讨论分子的平均平动动平均平动动能能用用方均根方均根速率速率2v（1）在讨论）在讨论速率分布速率分布，比较两种不同温度或不同分子质量的，比较两种不同温度或不同分子质量的气体的分布曲线时常用到气体的分布曲线时常用到最概然速率最概然速率pvpv v2vf(v)vO同一种气体分子的三种速率同一种气体分子的三种速率的大小关系的大小关系:224.1:128.1:1:2p2pvvvvvv2 2、三种速率的比较、三种速率的比较 mkT.mkT4112

25、pvmkTmkT59.18vmkT.mkT73132v N N2 2 分子在不同温度下的速率分布分子在不同温度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo 同一温度下不同气体的速率分布同一温度下不同气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo例2.3.1 试求氮分子及氢分子在标准状况下的平均速率。解（1）氮分子平均速率 （2）氢分子平均速率 以上计算表明，除很轻的元素如氢、氦之外，其它气体的平均速率一般为数百米的数量级 1188 8.31 273m s454m s3.140.028mRTMv311.7 01 0 msv(1)(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致

26、情况，试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，氦气的速率分布曲线如图所示氦气的速率分布曲线如图所示.解解例例2.3.22.3.2求求(2)(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率m/s10001023RT3H10)(2RTpvm/s1041.13MRT3)(2H2vm/s1073.13MRT2pv1000He2H)(vf)m/s(vOO例例2.3.3 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率vpvp+v 区间内的分子数与温度区间内的分子数与温度 成反比成反比(设设v 很小很小)Tf(v)vO

27、pv例例2.3.4 在温度为在温度为300K时，空气中速率在时，空气中速率在 (1)vp附近；附近；(2)10(2)10vp附近，速率区间附近，速率区间v1m/s 内的分子数占分子总数的内的分子数占分子总数的比率是多少？比率是多少？例例2.3.5 金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容 器中的气体分子很类似。设金属中共有器中的气体分子很类似。设金属中共有 N 个电子，其个电子，其 中电子的最大速率为中电子的最大速率为 v m,设电子速率分布函数为设电子速率分布函数为2vA)(vfmvv 0mvv 0式中式中A 为常数。求该电子气的平均速率。

28、为常数。求该电子气的平均速率。0v例例2.3.6 有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为00000202)(0vvvvvvvvvvafa(1)作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a(2)速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数求求)(vfa02vvO例例2.3.7 气体分子按平动动能的分布规律气体分子按平动动能的分布规律思考思考最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能动动能?2.4 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布 2.4.1速度空间速度空间一、速度矢量、速度空间中的代表点一、速度矢量、速度空

29、间中的代表点 要描述气体分子的速度大小和方要描述气体分子的速度大小和方向，需引入速度矢量这一概念，速度向，需引入速度矢量这一概念，速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分子矢量的方向和大小恰与此瞬时该分子速度的大小、方向一致。速度的大小、方向一致。一个分子仅有一个一个分子仅有一个速度矢量速度矢量。(1)速度空间中的代表点速度空间中的代表点 把分子的速度矢量沿把分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影方向的投影vx、vy、vz作直角坐作直角坐标图，且把所有分子速度矢量的标图，且把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原点起始点都平移到公共原点O上上。平移后，仅以矢量的箭头端点的点来表示这一矢量，而把平移后，

30、仅以矢量的箭头端点的点来表示这一矢量，而把矢量符号抹去。矢量符号抹去。这样的点称为这样的点称为代表点代表点。如图的。如图的P点所示。点所示。(2)以直角坐标表示的速度空间以直角坐标表示的速度空间 以速度分量以速度分量vx、vy、vz为坐标为坐标轴轴,以从原点向代表点所引矢量以从原点向代表点所引矢量来表示分子速度方向和大小的坐来表示分子速度方向和大小的坐标称为速度空间。标称为速度空间。二、速度空间中代表点的分布二、速度空间中代表点的分布 若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形。速度空间中，

31、就构成代表点在速度空间中的一种分布图形。速度空间中的代表点分布与前面介绍过的靶板上的靶点分速度空间中的代表点分布与前面介绍过的靶板上的靶点分布图十分类似：靶点位于布图十分类似：靶点位于xx+dx，yy+dy范围内的概率是范围内的概率是以以f（x，y）dxdy来表示的，其中来表示的，其中dxdy为这一区域大小，为这一区域大小，f（x，y）是是黑点的概率密度黑点的概率密度。d(,)(,)dddxyzxyzxyzNfNvvvvvvvvv微分元中的代表点的数目微分元中的代表点的数目dN（vx、vy、vz）坐标为坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速度分布概率密度处的麦克斯韦速度分布概率密度d(,)ddd

32、xyzxyzNfNvvvvvv速度在速度在vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz区间分子的概率区间分子的概率:介于 之间的分子数 iiidvvviidvvNfdN)(有限速度区间的分子数 ivvidvvfNN)(21)()()(),(zyxzyxvfvfvfvvvf实际上实际上独立事件概率相乘独立事件概率相乘zzyyxxzyxzyxdvvfdvvfdvvfdvdvdvvvvfNdN)()()(),(),(;exp)2()(22/12zyxidvkTmvfikTmvii其中其中i 可分别代表可分别代表x、y、z。2.4.2 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布（Maxwell velo

33、city distribution）3/2222()(,)dddexpddd22xyzxyzxyzxyzmmfkTkTvvvv v vvvvvvv1/22()dexpd22iiiimmfkTkTvvvv 因为因为(,)ddd()d()d()dxyzxyzxxyyzzffffv v vvvvvvvvvv麦克斯韦速度分布有麦克斯韦速度分布有 若系统总分子数为若系统总分子数为N，欲求分子速度的，欲求分子速度的x分量在分量在vxvx+dvx内内而而vy、vz任意的分子数任意的分子数dN(vx),可对可对vy、vz积分后求出：积分后求出：d()()d()d()dxxxyyzzNNfffvvvvvvv1/

34、21/2()exp()d()2 22 xxmmmNkTkTkTvv22expd()expd222yzyzmmmkTkTkTvvvv21/2d()()d()expd22xxxxxNmmfNkTkTvvvvv利用定积分公式可知上式中的两个积分都是利用定积分公式可知上式中的两个积分都是1，故，故概率分布曲线如图所示：概率分布曲线如图所示：21/2d()()d()expd22xxxxxNmmfNkTkTvvvvv它对称于纵轴它对称于纵轴，图中打，图中打上斜线的狭条的面积即上斜线的狭条的面积即*由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速度分布律过程中由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速度分布律过程中没有考虑没有考虑到气体分子

35、间的相互作用到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律一般适用于，故这一速度分布律一般适用于平衡态平衡态的理想气体。的理想气体。*2.4.3 相对于相对于vp 的（麦克斯韦）速度分量分布与速率分布的（麦克斯韦）速度分量分布与速率分布 误差函数误差函数 2d()1exp()dxxxN uuuN21/2d()()d()expd22xxxxxNmmfNkTkTvvvvv一一、相对于、相对于vp的速度分量（麦克斯韦）分布的速度分量（麦克斯韦）分布 xxpu vv令令 ddxpxuv=v相对于最概然速率的相对于最概然速率的速度分量分布速度分量分布 若要求出分子速度若要求出分子速度x方向分量小于某一方向分量

36、小于某一 vx数值的分子数所占的数值的分子数所占的比率，则可对上式积分比率，则可对上式积分200(0)d()1()exp()dxxuxxxxNNuuNNvvv202erf()()exp()dxxxx在概率论和数理统计中定义下式为在概率论和数理统计中定义下式为误差函数误差函数，以，以erf（x）表示表示误差函数误差函数有表可查，有表可查，如表如表xxpu vv)(22202xerfNdxeNNxx例例2.4.1 试求在标准状态下氮气分子速度的试求在标准状态下氮气分子速度的x分量小于分量小于800ms-1的分子数占全部分子数的百分比。的分子数占全部分子数的百分比。解解 首先求出首先求出273 K时

37、氮气分子（摩尔质量时氮气分子（摩尔质量Mm=0.028 kg）的最）的最概然速率概然速率12402m spmRTMv8002402xxpu vv220(0)1erf(2)()exp()d2xxxNuuNv查得查得erf（2）=0.995，故这种分子所占百分比为，故这种分子所占百分比为=49.8%这么小这么小?二、相对于二、相对于 vp 的麦克斯韦速率分布的麦克斯韦速率分布22d4()exp()duNuuuN22(0 )erf()()exp()NNuuu vpu vv若令若令 ，可将麦克斯韦速率分布表示为，可将麦克斯韦速率分布表示为 再利用误差函数可求得在再利用误差函数可求得在0v范围内的分子数

38、范围内的分子数 202erf()()exp()dxxxxd(,)2 dNf x yNr rd()dNf rrN考虑对称性考虑对称性()2(,)f rrf x yd(,)2 dNf x yr rNd(,)d dNf x yN x ydrrr+dr小圆环内的小圆环内的dN2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布从麦克斯韦速度分布导出速率分布 一、以极坐标表示的射击点分布一、以极坐标表示的射击点分布 二、气体分子的速率分布二、气体分子的速率分布2d()4dNDvvv 对于麦克斯韦速度分布，则在对于麦克斯韦速度分布，则在速度空间中，所有分子速率介于速度空间中，所有分子速率介于vv+dv 范围内的分子

39、的代表点应该范围内的分子的代表点应该都落在以都落在以O原点为球心，原点为球心，v 半径，厚半径，厚度为度为dv的一的一 薄层球壳中薄层球壳中根据分子混沌性假设，代表点的数密度是球对称的。根据分子混沌性假设，代表点的数密度是球对称的。在球壳内的代表点数在球壳内的代表点数dN设代表点的设代表点的数密度为数密度为:()D v麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布23/2d()()exp()ddd22xyzNmmDNkTkTvvvvv2d()4dNDvvv23/22d4()exp()d22mmNNkTkTvvv23/22d()d4()exp()d22NmmfNkTkTvvvvv代入代入这就是麦克斯韦速率分布

40、这就是麦克斯韦速率分布.d(,)dddxyzxyzNfNv v vvvv0(3)()dpfvvv(2)()dNf vv(1)()df vv2(4)()dNf1vvvv物理意义物理意义?例例2.4.22.5 气体分子碰壁数及其应用气体分子碰壁数及其应用 前面已用最简单的方法导出了单位时间内碰撞在单位面前面已用最简单的方法导出了单位时间内碰撞在单位面积器壁上的平均分子数的近似公式积器壁上的平均分子数的近似公式6n v2.5.1 由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数及由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数及气体压强公式气体压强公式一一.的证明的证明4n v 若容器内装有若容器内装有分子数密度为分子数密

41、度为n的理想气体。内壁上有一的理想气体。内壁上有一dA的面积元。的面积元。现以现以dA的中心的中心O为原点，为原点，画出一直角坐标，其画出一直角坐标，其x轴垂直轴垂直于于dA面元。面元。为了表示容器内气体分子的为了表示容器内气体分子的速度方向，还引入一个速度坐标。速度方向，还引入一个速度坐标。速度坐标的方向正好与以速度坐标的方向正好与以O为原为原点的位置坐标方向相反。点的位置坐标方向相反。在容器中处于位置坐标为在容器中处于位置坐标为x=vxdt，y=vydt，z=vzdt的的B点附点附近的小体积内的气体，只要其速度在近的小体积内的气体，只要其速度在vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+

42、dvz范围内的分子，在范围内的分子，在dt时间内均可运动到时间内均可运动到dA面元之面元之相碰。相碰。只有在以只有在以dA为底、为底、vxdt为高，为高，其母线与其母线与BO直线平行的斜柱体中直线平行的斜柱体中的所有速度的所有速度 的分子，在的分子，在dt时间内均会与时间内均会与dA碰撞碰撞.这些碰撞分子的总数等于单位体积内速度在这些碰撞分子的总数等于单位体积内速度在 范范围内的分子数与斜柱体体积的乘积围内的分子数与斜柱体体积的乘积.d(,)()()()dddd dxyzxyxxyzxNnffft Av v vvvvvvvvvdvvvdvvd()()d()d()dd dxxxxyyzzNnff

43、fA tvv vvvvvv()dd dxxxnfA tvvvd()xNv dt时间内，速度分量在时间内，速度分量在vxvx+dvx，-vy，-vz范围内的，碰撞在范围内的，碰撞在dA面元上的分子数面元上的分子数 若要求出若要求出dt 时间内碰撞在时间内碰撞在dA面元上所有各种速度分子的面元上所有各种速度分子的总数总数N则还应对则还应对vx积分积分:vx00()dd dxxxNnfA tv vv其中其中 为麦克斯韦分布的平均速率。为麦克斯韦分布的平均速率。0()dd dxxxNnfA tv vv21/20()exp()dd d22xxxmmnA tkTkTvvv1d dd d24kTnA tnA

44、 tmv8kTmv842nkTpmmkT1d d4NnA t v单位时间内碰在单位面积上总分子数为单位时间内碰在单位面积上总分子数为vn41 二二.气体压强公式气体压强公式 ()d()2xxxINmvvv 气体压强气体压强是在是在单位时间单位时间内内大多数大多数气体分子碰撞器壁而施气体分子碰撞器壁而施于单位面积器壁的平均冲量于单位面积器壁的平均冲量。一个速度分量为一个速度分量为vx、vy、vz的的分子，对图中面元分子，对图中面元dA作完全弹性作完全弹性碰撞时将施予器壁碰撞时将施予器壁2mvx的冲量，的冲量，而与而与 vy、vz 的大小无关的大小无关.若在若在dt时间内，所有速度分量在时间内，所

45、有速度分量在vxvx+dvx，-vy，-vz范围内的、碰撞在面元范围内的、碰撞在面元dA上的分子数为上的分子数为dN（vx），），则所有这些分子由于碰撞而给予面元则所有这些分子由于碰撞而给予面元dA的冲量为的冲量为则气体分子给予器壁的压强为则气体分子给予器壁的压强为22223xyxvvvv222012()d2()dd d2xxxxxxxIpnmfnmfnmA tvvvvvvv考虑到处于平衡态的理想气体其分子的混沌性，故有考虑到处于平衡态的理想气体其分子的混沌性，故有代入代入在在dt时间内，所有各种速度的分子碰撞在时间内，所有各种速度的分子碰撞在dA上的总冲量为上的总冲量为2231vnmvnmP

46、xdAdtdvvvnfmvvdNmvIxxxxxx00)(2)(2三、泻流及其应用三、泻流及其应用若器壁开个小孔，小孔的器壁又较薄，则分子射出小若器壁开个小孔，小孔的器壁又较薄，则分子射出小孔的数目是与碰撞到器壁小孔处的气体分子数相等的，气孔的数目是与碰撞到器壁小孔处的气体分子数相等的，气体分子如此射出小孔的过程称为体分子如此射出小孔的过程称为泻流泻流。处于平衡态的气体，在处于平衡态的气体，在dt时间内，从时间内，从A 面积小孔逸出的面积小孔逸出的分子数分子数小孔ABT1,n1T2，n2例例2.5.1热分子压差热分子压差4/dtAvnNtAvntAvnd41d41221112212211TnT

47、nTpTp或若A、B中气体是同种的842nkTpmmkTvn41例例2.5.2 小孔泻流小孔泻流:容器体积容器体积V,真空真空,小孔面积小孔面积A,大气压强大气压强P0,温度温度T0,打开小孔打开小孔求：求：容器中气体压强增至容器中气体压强增至P0/2时所需时间时所需时间?2.6 外力场中自由粒子的分布外力场中自由粒子的分布玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 2.6.1 等温大气压强公式等温大气压强公式 一一.等温大气压强公式等温大气压强公式（isothermal barometric formula)现假设大气是等温的且处于平衡态，则大气温度随高度现假设大气是等温的且处于平衡态，则大气温度随高度变化是

48、怎样的变化是怎样的？考虑在大气中垂直高度为？考虑在大气中垂直高度为z到到z+dz，面积面积为为A的一薄层气体（见图的一薄层气体（见图).该系统达到平衡的条件为该系统达到平衡的条件为 dpppdg zzdzz(d)()dp AppAz gA zd()dpz g z d()dpz g z()(0)exp()(0)exp()mM gzmgzp zppkTRT()(0)exp()(0)exp()mMgzmgzn znnkTRTmpMpmRTkT其中其中p(0)及及p(z)分别为高度分别为高度0及及z处大气压强。处大气压强。改写为气体分子数密度随高度分布公式，则改写为气体分子数密度随高度分布公式，则气体

49、分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。pmgz注意注意()(0)exp()pn znkT等温气压公式等温气压公式积分，则有积分，则有dzkTmgpdpzpp00二二.等温大气标高等温大气标高mgkTgMRTmgkTHmexp()mgzkT 因指数上量纲为因指数上量纲为1，故，故 中的中的 具有高度的具有高度的 量纲。定义大气标高量纲。定义大气标高H 大气标高大气标高是粒子按高度分布的特征量，是粒子按高度分布的特征量，它反映了气体它反映了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。上式表明，大气分子的标高上式表明

50、，大气分子的标高H与温度成正比，与分子量与温度成正比，与分子量成反比，即温度愈高，分子愈轻，它们相对而言就愈多地分成反比，即温度愈高，分子愈轻，它们相对而言就愈多地分布在高层大气。在登山运动和航空驾驶中，往往根据上式，布在高层大气。在登山运动和航空驾驶中，往往根据上式，从测出的压强变化估算上升的高度。从测出的压强变化估算上升的高度。()(0)exp()(0)exp()mM gzmgzp zppkTRT大气标高的物理意义大气标高的物理意义（1）在高度）在高度z=H处的大气压强为处的大气压强为z=0处大气压强的处大气压强的1/e（2）设把整个大气分子都压缩为环绕地球表面的、其密度与设把整个大气分子