二元一次方程组课件(考点梳理高频考点创新题型).ppt

1、第七讲 二元一次方程组1.1.理解理解:二元一次方程、二元一次方程组的概念、二元一次方二元一次方程、二元一次方程组的概念、二元一次方程程(组组)解的含义解的含义.2.2.掌握掌握:代入消元法和加减消元法代入消元法和加减消元法.3.3.能能:(1):(1)解二元一次方程组；解二元一次方程组；(2)(2)列二元一次方程组解决实际问题列二元一次方程组解决实际问题.一、二元一次方程一、二元一次方程(组组)1.1.二元一次方程的定义二元一次方程的定义:含有含有_个未知数个未知数,并且含有未知数的并且含有未知数的项的次数都是项的次数都是_的整式方程的整式方程.2.2.二元一次方程的解二元一次方程的解:使二

2、元一次方程两边的值相等的两个未使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值称为二元一次方程的解知数的值称为二元一次方程的解.由这些解组成的集合由这些解组成的集合,叫做这叫做这个二元一次方程的解集个二元一次方程的解集.3.3.二元一次方程组的定义二元一次方程组的定义:一般地一般地,把具有相同未知数的两个把具有相同未知数的两个_合在一起所组成的一组方程合在一起所组成的一组方程.两两1 1二元一次方程二元一次方程4.4.二元一次方程组的解二元一次方程组的解使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个未使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值知数的值(即两个方程的公共解即两

3、个方程的公共解)叫做二元一次方程组的解叫做二元一次方程组的解.5.5.二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法(1)(1)解二元一次方程组的思想是解二元一次方程组的思想是_._.(2)(2)二元一次方程组的一般解法：二元一次方程组的一般解法：_消元法、消元法、_消元法消元法.消元消元代入代入加减加减【即时应用即时应用】1.1.已知已知 是方程是方程2x-3=ay2x-3=ay的一个解的一个解,则则a a的值为的值为_._.2.2.单项式单项式-5x-5xm+3m+3y y4 4与与7x7x5 5y y3n+13n+1是同类项，则是同类项，则m+n=_.m+n=_.3.3.解方程组解方程组 -得

4、得_._.4.4.方程组方程组 的解是的解是_x1,y1 1 13 32x3y7x3y9 ，x=-2x=-22xy5,xy4x3,y1.二、列二元一次方程组解应用题的步骤二、列二元一次方程组解应用题的步骤1.1.设设_；2.2.根据等量关系，列根据等量关系，列_;_;3.3.解解_;4._;4.写明写明_._.未知数未知数方程组方程组方程组方程组答案答案【即时应用即时应用】1.1.小悦买书需用小悦买书需用4848元钱，付款时恰好用了元钱，付款时恰好用了1 1元和元和5 5元的纸币共元的纸币共1212张那么所用的张那么所用的1 1元纸币是元纸币是_张张.2.2.为了奖励学习有进步的学生，老师请小

5、杰帮忙到文具店买了为了奖励学习有进步的学生，老师请小杰帮忙到文具店买了2020本练习簿和本练习簿和1010支水笔，共花了支水笔，共花了3636元已知每支水笔的价格比元已知每支水笔的价格比每本练习簿的价格贵每本练习簿的价格贵1.21.2元，如果设练习簿每本为元，如果设练习簿每本为x x元，水笔每元，水笔每支为支为y y元，那么列方程组为元，那么列方程组为_3 3yx1.220 x10y36.，3.3.孙武湖度假旅游区游船租赁处有两种游船孙武湖度假旅游区游船租赁处有两种游船.已知租已知租1 1艘大船与艘大船与4 4艘小船一次可以载乘客艘小船一次可以载乘客4646名，名，2 2艘大船与艘大船与3 3

6、艘小船一次可以载艘小船一次可以载乘客乘客5757人一个旅游团租了人一个旅游团租了3 3艘大船与艘大船与6 6艘小船，正好坐满，这艘小船，正好坐满，这个旅游团的人数是个旅游团的人数是_._.4.4.雅西高速公路于雅西高速公路于20122012年年4 4月月2929日正式通车，西昌到成都全长日正式通车，西昌到成都全长420420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过开出，经过2.52.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶7070千千米，设小汽车和客车的平均速度分别为米，设小汽车和客车的平均

7、速度分别为x x千米千米/小时和小时和y y千米千米/小小时，那么列方程组为时，那么列方程组为_96962.5x2.5y420,2.5x2.5y70.【核心点拨核心点拨】1.1.一般地一般地,二元一次方程的解是不确定的二元一次方程的解是不确定的,有无数组有无数组,除非有特除非有特定条件定条件(如正整数解、非负整数解如正整数解、非负整数解).).2.2.在用代入消元法解方程组时在用代入消元法解方程组时,要注意不能代入原方程要注意不能代入原方程,只能代只能代入另一个没有变形的方程中入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的以达到消元的目的.3.3.在用加减消元法解方程组时在用加减消元法解方程组时,

8、一定要将方程的两边都乘以同一一定要将方程的两边都乘以同一个数个数,切忌只乘以一边切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法，若未然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法知数系数互为相反数则用加法.二元一次方程二元一次方程(组组)的基本概念的基本概念中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛1.1.二元一次方程同时具备的三个特征二元一次方程同时具备的三个特征:(1)(1)含有两个未知数含有两个未知数;(2)(2)分母中不含未知数分母中不含未知数;(3)(3)整理后含未知数的项的次数是整理后含未知数的项的次数是1.1.2.2.二元一次方程的一般形式是二元一次方程的一般形式是ax+b

9、y+c=0(a0,b0).ax+by+c=0(a0,b0).3.3.判断一组数是不是二元一次方程组的一组解判断一组数是不是二元一次方程组的一组解,就是看这就是看这组数是否适合每个方程组数是否适合每个方程,若适合若适合,就是方程组的解就是方程组的解,否则否则,就不是方程组的解就不是方程组的解.特特别别提提醒醒1.1.二元一次方程有无数组解二元一次方程有无数组解,但有时它的整数解的组数是但有时它的整数解的组数是有限的有限的.2.2.二元一次方程组的解有三种情况：有一组解二元一次方程组的解有三种情况：有一组解,无数组解无数组解,无解无解.【例例1 1】(2011(2011肇庆中考肇庆中考)方程组方程

10、组 的解是的解是()()【思路点拨思路点拨】根据根据“方程组的解方程组的解”检验或用加减消元法、代入检验或用加减消元法、代入消元法求解消元法求解.xy22xy4，x1x3(A)(B)y2y1x0 x2(C)(D)y2y0【自主解答自主解答】选选D.D.直接将直接将x,yx,y的值代入原方程组检验的值代入原方程组检验,只有选项只有选项D D正确正确.观察知方程组中观察知方程组中y y的系数互为相反数，可用加减消元法消的系数互为相反数，可用加减消元法消去去y y，得，得3x3x6 6，解得，解得x x2 2，再代入第，再代入第1 1个方程，得个方程，得y y0 0，选，选D.D.或或者还可以将第一

11、个方程变形为者还可以将第一个方程变形为x xy y2 2，再代入第二个方程化为，再代入第二个方程化为一元一次方程求解一元一次方程求解.【对点训练对点训练】1 1(2011(2011凉山州中考凉山州中考)下列方程组中是二元一次方程组的下列方程组中是二元一次方程组的是是()()5x2y3xy1(A)(B)1xy2y3x2xz0 x5(C)(D)1xy3xy7523【解析解析】选选D.D.分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义:只有两个未知数；未知数的项的最高次数都应是一次；都只有两个未知数；未知数的项的最高次数都应是一次；都是整式方程是整式方程A.A.

12、有两个未知数，第一个方程的次数是有两个未知数，第一个方程的次数是2 2次，故不是二元一次方次，故不是二元一次方程组；程组；B.B.有两个未知数，但第二个方程是分式方程，故不是二元一次方有两个未知数，但第二个方程是分式方程，故不是二元一次方程组；程组；C.C.有三个未知数，故不是二元一次方程组；有三个未知数，故不是二元一次方程组；D.D.有两个未知数，方程的次数是有两个未知数，方程的次数是1 1次，所以是二元一次方程组次，所以是二元一次方程组.2.(20112.(2011益阳中考益阳中考)二元一次方程二元一次方程x-2y=1x-2y=1有无数多个解，下列有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的

13、是四组值中不是该方程的解的是()()【解析解析】选选B.B.将选项逐一代入，其中不能满足方程将选项逐一代入，其中不能满足方程x-2y=1x-2y=1的是的是x0 x1(A)(B)1y1y2x1x1(C)(D)y0y1 x1,y1.3.(20113.(2011河北中考河北中考)已知已知 是关于是关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程 的解的解,求求(a+1)(a-1)+7(a+1)(a-1)+7的值的值.【解析解析】将将 代入代入 中，得中，得 ,解得解得 .当当 时时,(a+1)(a-1)+7=a,(a+1)(a-1)+7=a2 2-1+7=a-1+7=a2 2+6=3+6=9.+6=3

14、+6=9.x2,y33xyax2y3，3xya323aa3a3 二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛1.1.代入消元法代入消元法:首先选择合适的方程首先选择合适的方程,用含有一个未知数的用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数代数式表示另一个未知数,这是代入消元法的关键这是代入消元法的关键.2.2.加减消元法：根据等式的性质，将方程组中某个未知数加减消元法：根据等式的性质，将方程组中某个未知数的系数化为绝对值相等的数是加减消元法的关键的系数化为绝对值相等的数是加减消元法的关键.特特别别提提醒醒1.1.当方程组中某一个方程的系数为当方程组中某一个方程的系数

15、为1,-11,-1或某个方程的常数或某个方程的常数项为项为0 0时，选择代入消元法解方程组较为合适时，选择代入消元法解方程组较为合适.2.2.当方程组中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关当方程组中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时系时,选择加减消元法解方程组较为简单选择加减消元法解方程组较为简单.【例例2 2】(2011(2011怀化中考怀化中考)解方程组：解方程组：【思路点拨思路点拨】根据代入消元法或加减消元法的步骤，可以用代根据代入消元法或加减消元法的步骤，可以用代入消元法，也可以用加减消元法入消元法，也可以用加减消元法.【自主解答自主解答】方法一：代入消元法方法一：代入消元法

16、由得由得x x8-3y8-3y，把代入得把代入得5(8-3y)-3y5(8-3y)-3y4 4，解得解得y y2.2.把把y y2 2代入得代入得x x2 2，所以方程组的解为所以方程组的解为x3y8,5x3y4.x3y85x3y4 x2,y2.方法二方法二：加减消元法：加减消元法得，得，6x6x1212，解得，解得x x2 2，将将x x2 2代入，得代入，得y y2 2，所以方程组的解为，所以方程组的解为x3y85x3y4 x2,y2.【对点训练对点训练】4.(20124.(2012临沂中考临沂中考)关于关于x,yx,y的方程组的方程组 的解是的解是 则则|m-n|m-n|的值是的值是()

17、()(A)5 (B)3 (C)2 (D)1(A)5 (B)3 (C)2 (D)1【解析解析】选选D.D.把把 代入方程组代入方程组 得得解得解得 所以所以|m-n|=|2-3|=1,|m-n|=|2-3|=1,故选故选D.D.3xymxmyn，x1y1,x1y1，3xymxmyn3 1m1mn,，m2.n35 5(2011(2011珠海中考珠海中考)方程组方程组 的解是的解是_.【解析解析】两方程中相同未知数两方程中相同未知数y y的系数互为相反数，可用加减消的系数互为相反数，可用加减消元法求解元法求解.，得，得x x2x2x9 9，解得：，解得：x=3x=3将将x=3x=3代入，得代入，得3

18、 3y=6y=6，解得解得y=3y=3所以方程组的解是所以方程组的解是答案：答案：xy62xy3，xy6,2xy3,x3,y3.x3y36.(20126.(2012南京中考南京中考)解方程组解方程组【解析解析】方法一：由，得方法一：由，得x=-3y-1,x=-3y-1,将代入，得将代入，得3(-3y-1)-2y=8.3(-3y-1)-2y=8.解这个方程，得解这个方程，得y=-1.y=-1.将将y=-1y=-1代入，得代入，得x=2.x=2.所以原方程组的解是所以原方程组的解是方法二：方法二：3 3，得，得3x+9y=-3,3x+9y=-3,-，得，得11y=-11,11y=-11,解得解得y

19、=-1,y=-1,将将y=-1y=-1代入，得代入，得x=2,x=2,所以原方程组的解是所以原方程组的解是x3y1.3x2y8 x2,y1.x2,y1.二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛列二元一次方程组解应用题的六个步骤列二元一次方程组解应用题的六个步骤(1)(1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如如x,y)x,y)表示表示题目中的两个未知数；题目中的两个未知数；(2)(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系；找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系；(3)(3)根据两个相等关系列出两个方程并组成方程组；根据

20、两个相等关系列出两个方程并组成方程组；(4)(4)解这个二元一次方程组，求出未知数的值；解这个二元一次方程组，求出未知数的值；(5)(5)检验所得结果的正确性及合理性；检验所得结果的正确性及合理性；(6)(6)写出答案写出答案.特特别别提提醒醒1.1.要准确地找出能够表示题目全部含义的等量关系要准确地找出能够表示题目全部含义的等量关系;2.2.列方程时必须使方程两边表示的是同类量列方程时必须使方程两边表示的是同类量,并且同类量并且同类量的单位要统一的单位要统一.【例例3 3】(2011(2011衡阳中考衡阳中考)李大叔去年承包了李大叔去年承包了1010亩地种植甲、乙亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获

21、利两种蔬菜，共获利18 00018 000元，其中甲种蔬菜每亩获利元，其中甲种蔬菜每亩获利2 0002 000元，元，乙种蔬菜每亩获利乙种蔬菜每亩获利1 5001 500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？了多少亩？【思路点拨思路点拨】本题的等量关系为本题的等量关系为:(1)(1)甲、乙两种蔬菜共种植了甲、乙两种蔬菜共种植了1010亩亩;(2)(2)甲、乙两种蔬菜共获利甲、乙两种蔬菜共获利18 00018 000元元.【自主解答自主解答】设李大叔去年甲种蔬菜种植了设李大叔去年甲种蔬菜种植了x x亩，乙种蔬菜种植亩，乙种蔬菜种植了了y y亩，根据题意亩，

22、根据题意,得得解这个方程组得解这个方程组得答答:李大叔李大叔去年甲种蔬菜种植了去年甲种蔬菜种植了6 6亩，乙种蔬菜种植了亩，乙种蔬菜种植了4 4亩亩.xy10,2 000 x1 500y18 000,x6y4.，【对点训练对点训练】7.(20127.(2012温州中考温州中考)楠溪江某景点门票价格：成人票每张楠溪江某景点门票价格：成人票每张7070元，元，儿童票每张儿童票每张3535元元.小明买小明买2020张门票共花了张门票共花了1 2251 225元元,设其中有设其中有x x张张成人票成人票,y,y张儿童票张儿童票,根据题意根据题意,下列方程组正确的是下列方程组正确的是()()【解析解析】

23、选选B.B.根据等量关系：成人票的数量根据等量关系：成人票的数量+儿童票的数量儿童票的数量=20=20，购买成人票的费用购买成人票的费用+购买儿童票的费用购买儿童票的费用=1 225=1 225，即可得方程组，即可得方程组.xy20 xy20(A)(B)35x70y1 22570 x35y1 225xy1 225xy1 225(C)(D)70 x35y2035x70y208.(20118.(2011浙江中考浙江中考)如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒从图中信息可知，买了鲜花和礼盒从图中信息可知，买5 5束鲜花和束鲜花和5 5个礼盒的总价个礼盒的

24、总价为为_元元【解析解析】方法一：根据图中信息，设鲜花每束方法一：根据图中信息，设鲜花每束x x元，礼盒每个元，礼盒每个y y元，根据题意列方程组得元，根据题意列方程组得 解得解得 则则5x+5y5x+5y440.440.方法二：在列出方程组方法二：在列出方程组 后，把两个方程直接相后，把两个方程直接相加，得加，得3(x+y)3(x+y)264264，则，则x+yx+y8888，所以所以5(x+y)5(x+y)440440答案：答案：440440 x2y143,2xy121,x33,y55,x2y1432xy121，9.(20129.(2012宁波中考宁波中考)为了鼓励市民节约用水，某市居民生

25、活用为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费水按阶梯式水价计费.下表是该市居民下表是该市居民“一户一表一户一表”生活用水阶生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：梯式计费价格表的部分信息：(说明：每户产生的污水量等于该户自来水用水量；说明：每户产生的污水量等于该户自来水用水量；水费水费=自来水费用自来水费用+污水处理费污水处理费)自来水销售价格自来水销售价格污水处理价格污水处理价格每户每月用水量每户每月用水量单价：元单价：元/吨吨单价：元单价：元/吨吨1717吨及以下吨及以下a a0.800.80超过超过1717吨但不超过吨但不超过3030吨的部分吨的部分b b0.800.80超过超

26、过3030吨的部分吨的部分6.006.000.800.80已知小王家已知小王家20122012年年4 4月份用水月份用水2020吨，交水费吨，交水费6666元；元；5 5月份用水月份用水2525吨，交水费吨，交水费9191元元.(1)(1)求求a a，b b的值；的值；(2)(2)随着夏天的到来，用水量将增加随着夏天的到来，用水量将增加.为了节省开支，小王计划为了节省开支，小王计划把把6 6月份的水费控制在不超过家庭收入的月份的水费控制在不超过家庭收入的2%.2%.若小王的月收入为若小王的月收入为9 9 200200元，则小王家元，则小王家6 6月份最多能用水多少吨？月份最多能用水多少吨？【解

27、析解析】(1)(1)由题意，得由题意，得-，得，得5(b+0.8)=255(b+0.8)=25，b=4.2b=4.2，把把b=4.2b=4.2代入，得代入，得17(a+0.8)+317(a+0.8)+35=665=66，解得解得a=2.2a=2.2，a=2.2a=2.2，b=4.2b=4.2(2)(2)当用水量为当用水量为3030吨时，水费为：吨时，水费为：17173+133+135=1165=116元，元，920092002%=1842%=184元，元，116116184184，小王家六月份的用水量超过小王家六月份的用水量超过3030吨吨17(a0.8)3(b0.8)66,17(a0.8)8

28、(b0.8)91,设小王家六月份用水量为设小王家六月份用水量为x x吨，吨，由题意，得由题意，得17173+133+135+6.8(x-30)1845+6.8(x-30)184，6.8(x-30)686.8(x-30)68，解得，解得x40 x40小王家六月份最多能用水小王家六月份最多能用水4040吨吨.【创新命题创新命题】整体思想在方程组中的应用整体思想在方程组中的应用【例例】(2012(2012德州中考德州中考)已知已知 则则a+ba+b等于等于()()【解题导引解题导引】由方程组的特点看出：两个方程相加，由方程组的特点看出：两个方程相加，a a，b b的系的系数都为数都为4.4.【规范解

29、答规范解答】选选A.A.+，得，得4a+4b=12,4a+4b=12,即即4(a+b)=124(a+b)=12，得，得a+b=3.a+b=3.a2b43a2b8，8(A)3(B)(C)2(D)13a2b4,3a2b8.【名师点评名师点评】通过对整体思想在方程组中的应用的分析与总结，通过对整体思想在方程组中的应用的分析与总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示.创创新新点点拨拨对有些数学问题，若从整体上考虑，则容易接触到问对有些数学问题，若从整体上考虑，则容易接触到问题的实质，得到出乎意料的简便解法题的实质，得到出乎意料的简便解法.因此因

30、此,我们应将注意我们应将注意力和着眼点多放在问题的整体上力和着眼点多放在问题的整体上.在用代入法解方程组时，在用代入法解方程组时，就是把含有就是把含有x(x(或或y)y)的代数式作为一个整体代入另一个方程的代数式作为一个整体代入另一个方程中，这里就运用到整体代入思想中，这里就运用到整体代入思想.解解题题启启示示1.1.如果题目中所求的代数式是已知代数式的一部分如果题目中所求的代数式是已知代数式的一部分(或全或全部部)，各同类项的系数对应成比例，就可以把这一部分看，各同类项的系数对应成比例，就可以把这一部分看作一个整体作一个整体.2.2.在利用整体思想解方程组时在利用整体思想解方程组时,变形时要

31、注意看作整体的变形时要注意看作整体的代数式的符号代数式的符号.1.(20091.(2009内江中考内江中考)若关于若关于x,yx,y的方程组的方程组 的解是的解是 则则m-nm-n为为()()(A)1 (B)3 (C)5 (D)2(A)1 (B)3 (C)5 (D)2【解析解析】选选D.D.把把 代入代入x+my=nx+my=n得得2+m=n,2+m=n,则则m-n=-2,m-n=-2,因此因此|m-n|=2.|m-n|=2.2xym,xmynx2,y1,x2,y12.(20122.(2012达州中考达州中考)若关于若关于x,yx,y的二元一次方程组的二元一次方程组的解满足的解满足x+yx+y

32、1 1，则，则k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】观察两个方程中未知数的系数可以发现，如果两个方观察两个方程中未知数的系数可以发现，如果两个方程相加可以得到程相加可以得到3(x+y)=3k-33(x+y)=3k-3，则，则x+y=k-1x+y=k-1，因为，因为x+y1x+y1，所以，所以k-11,k-11,解得解得k k2.2.答案：答案：k2k22xy3k1,x2y2 3.3.解方程组解方程组【解析解析】+整理得整理得x+y+z=5x+y+z=5,-,得得z=4,z=4,-，得，得x=-1,x=-1,-得得y=2.y=2.方程组的解为方程组的解为xy1,yz6,zx3.x1,y2,z4.【一题多解一题多解】用代入法解用代入法解3 3题中的方程组题中的方程组.【解析解析】由由,得得x=1-y x=1-y ,由由,得得z=6-y z=6-y ,把同时代入把同时代入,得得6-y+1-y=3,6-y+1-y=3,解得解得y=2.y=2.把把y=2y=2代入代入,得得x=-1;x=-1;把把y=2y=2代入代入,得得z=4.z=4.方程组的解为方程组的解为x1,y2,z4.