1、11.2 正正 项项 级级 数数一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若若,0nu1nnu1)正项级数正项级数1nnu收敛收敛部分和序列部分和序列nS),2,1(n有界有界.若若1nnu收敛收敛,收敛则nS,0nu部分和数列部分和数列nSnS有界有界,故故nS1nnu从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数.单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证:“”“”定理定理 1.2)正项级数正项级数发散发散1nnunnSlimnnn13121111如如:调和级数调和级数发散发散则则)131211(limlimnSnnn且且),2,1(nvunn,若若 1nnv收敛收敛
2、,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散.证明证明nnuuuS21且 1)1(nnv设设,nnvu ,即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu定理定理2（比较判别法）（比较判别法）nvvv 21nnS则)()2(nSn设,nnvu 且且n,.1发散发散 nnv推论推论:若若 1nnu收敛收敛(发散发散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,则则 1nnv收敛收敛(发散发散).).定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.其中其中k为正数为正数.例例
3、1.讨论讨论 p 级数级数pppn131211(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性.解解:1)若若,1p因为对一切因为对一切,Zn而调和级数而调和级数11nn由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数11npnn1发散发散.发散发散,pn1,1p因为当因为当nxn1,11ppxn故故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛故强级数收敛,由比较审敛法知由比较审敛法知 p 级数收敛级数收敛.时时,1)1(11pn12)若若 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数
4、,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数定理定理3 3 (比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;,limlvunnn l0
5、0 l l 1nnv 1nnu证证:据极限定义据极限定义,0对,ZN存在lnnvu)(l,时当Nn nnnvluvl)()(,l取由由定理定理 2 可知可知1nnv同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散;)(Nn(1)当当0 l+时时,),()(Nnvlunn利用(2)当当l=0时时,由由定理定理2 知知1nnv收敛收敛,若若与1nnu也收敛则1nnu(3)当当l=+时时,1ZNM存在则任取,时当Nn,1nnvu即即nnvu 由由定理定理2可知可知,若若1nnv发散发散,也发散则1nnu例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解解)1(n
6、nnn3131lim nnn11sinlim,1 原级数发散原级数发散.)2(nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu定理定理4 4 (比值判别法比值判别法)比值判别法的优点比值判别法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.注意注意:,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1(例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11
7、收敛收敛故级数故级数 nn),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn,1 比值比值判别判别法失效法失效,改用比较改用比较判别判别法法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn limn例例5.讨论级数讨论级数)0(11xxnnn的敛散性的敛散性.解解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx根据定理根据定理4可知可知:,10时当 x级数收敛级数收敛;,1时当 x级数发散级数发散;.1发散级数nn,1时当 x设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果 nnnulim)(为为数数或或,则则1 时时级级数数收收敛敛;定理定理5 5 (根值判别法根值判别法)
