[理学]特征值问题课件(PPT 37页).pptx

1、第第5 5章章 矩阵特征值问题计算矩阵特征值问题计算 物理、力学和工程技术的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题.例如，振动问题（大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁振荡等），物理学中某些临界值的确定，这些问题都归结为下述数学问题)2()(det)det()(12211212222111211的项次数naaaaaaaaaaaaAInnnnnnnnnn 定义定义1.1.（1）已知 ，则称nnijaA)(为 的特征多项式特征多项式.A1第1页，共37页。.210131012A 解解 矩阵 的特征方程为 A,08147)det()(23AI求得 特征值为：A.4,2,1321对应于各特征值

2、的特征向量分别为：.121,101,111321xxx例例1 求 的特征值及特征向量，其中 2第2页，共37页。通过求特征多项式的根的缺点 多项式系数的很小改变可以任意大的改多项式的根。如通过计算机计算在录入系数时有舍入误差的出现，这就改变了系数的值，必然导致根的偏差。3第3页，共37页。幂迭代 在讨论幂迭代之前先举一个例子来简单说明一下 例 矩阵 该矩阵A的特征值为4和1，它们对应的特征向量分别为 和1322A(1,1)T(3,2)T4第4页，共37页。现将矩阵A乘以任意的一个向量。以为例32131070222060 xAx0(5,5)Tx 10135102250 xAx2113101022

3、020 xAx43251370250260 2622602601xAx5第5页，共37页。观察发现以上的初始向量随着迭 代次数的增加而接近于向量 这个是否是个巧合呢？下面通过把 表示为特征向量的线性组合来说明：0 x(1,1)T0131213x 6第6页，共37页。则计算过程如下：10221332343134212134212134212134212xAxxAxxAxxAx 7第7页，共37页。该方法的优点与缺点 优点：与在绝对值上最大的特征值对应的特征向量在若干步之后将主导这个计算。本例中，特征值4最大，所以计算朝着方向为 的特征向量移动。缺点：若迭代次数无限大，则得到的向量的分量将趋紧于无

4、穷。那么怎么克服这个缺点呢？(1,1)T8第8页，共37页。采用“归一化”的方式进行处理 所谓“归一化”就是将例子中的向量 除以其长度无穷范数 ，得到新的向量 ，从而使得 。按照这种方式对上例重新进行计算得到：ix|ix/|iiiyxx|1iy0001/|1yxx1013122210 xAy 9第9页，共37页。111211/|013112202yxxxAy 2223212/|17113222213yxxxAy333431/|672511376222677yxxxAy10第10页，共37页。通过excle实验不难发现1lim|iix 那么这个事实是否是个巧合呢?基于此点和迭代向量朝主特征值方向

5、运动这个两个特点，我们就一般的n阶矩阵来按照这个方法来进行讨论11第11页，共37页。幂法幂法 设实矩阵 有一个完全的特征向量组，其特征值为 ，相应的特征向量为 .已知 的主特征值是实根，且满足条件 nnijaA)(n,2112,nuuuA,321n现讨论求 及 的方法.11x显然，任何非零向量 都可以由 的线性组合表示nxR12,nu uu12第12页，共37页。根据前例中的方法知，先给定一个随机的非零向量(1)(0)11221 1 1222nnnnnxAxc Auc Auc Aucucucu(0)x(0)1 122nnxcuc uc u下面采用幂迭代得到由此得到()(1)1 11222mm

6、mmmnnnxAxcucucu13第13页，共37页。11()21 1221111limlim()limmmmmnnnmmmmxcucucucu根据例子可知当 时；计算得到的向量的值容易溢出；同时当 时；计算得到的向量将趋向于零向量。从而得不到主特征向量。1|11|114第14页，共37页。针对这个问题按照例子的思路需要对其采用“归一化”处理通常取初始向量(0)(1,0,0)(1,1,1)xor这样做的目的在于使得求 的值可以不“归一化”(0)y(1)(0)(1)(1)(1),/|xAyyxx那么具体的步骤如下：15第15页，共37页。那么据此可以求出主特征值的近似值，那么主特征向量的近似值怎

7、么得来呢？下面令(2)(1)(2)(2)(2),/|xAyyxx()(1)()(1)(1),/|mmmmmxAyyxx()|mmx()(1)mmxAy()(1)1mmmxAx对上式取极限得到1m16第16页，共37页。例子：用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的主特征向量 要求特征值具有4为有效数值时迭代终止12732343341,463213331AA 17第17页，共37页。原点平移 通过幂法计算可以知道计算矩阵的最大特征值时，收敛速度取决于 。21 所谓原点平移就是将矩阵的特征值都加一个数或者是减去一个数；使得收敛的速度加快。.1212pp18第18页，共37页。选择有利的 值，虽然能够使

8、幂法得到加速，但问题在于如何选择适当的参数 .pp 设 的特征值满足 A,121nn则不管 如何，的主特征值为 或 .当希望计算 及 时，首先应选择 使 ppIABp1pn11xp,1ppn19第19页，共37页。例子例子 计算矩阵0.225.05.025.00.10.15.00.10.1A的主特征值.作变换 取 ，则,pIAB75.0p.25.125.05.025.025.00.15.00.125.0B20第20页，共37页。对 应用幂法，计算结果如表8-2.B7865914.1)16497.07482.0(107866587.1)16497.07483.0(97869152.1)16499

9、.07484.0(87873300.1)16501.07488.0(77888443.1)16511.07491.0(67914011.1)16522.07516.0(5)1 1 1(0)max(28kTkvuk（规范化向量）表由此得 的主特征值为 的主特征值 为 BA,7865914.11121第21页，共37页。,5365914.275.011与例3结果比较，上述结果比例3迭代15次还好.若迭代15次，（相应的 ).7865258.115365258.21 原点位移的加速方法，是一个矩阵变换方法.这种变换容易计算，又不破坏矩阵 的稀疏性，但 的选择依赖于对 的特征值分布的大致了解.ApA2

10、2第22页，共37页。逆幂法由 可以得到 ，从而有A的逆矩阵 iiiAuu11iiiA uu的特征值为 ，于是得到 1i11111nn那么A的逆矩阵按模最大特征值及相应的特征向量分别为 1nn和u23第23页，共37页。于是按照幂法的计算公式得到(1)1()()()(),/|mmmmmxA yyxx 但是计算 难免有误差，而且计算量大。于是采用以下的方法进行改进1A(1)()()()(),/|mmmmmAxyyxx 对矩阵A进行LU分解得到(1)()()()(),/|mmmmmLUxyyxx24第24页，共37页。下面举例说明逆幂法25第25页，共37页。实对称矩阵特征值数值算法对分法 由于对

11、分法只能计算实三对角对称矩阵的各个特征值。因此有必要介绍一个方法使得实对称矩阵转化为实三对角对称矩阵。下面介绍镜面反射矩阵（初等反射阵）及其性质26第26页，共37页。镜面反射矩阵的定义 设向量 且 ，称nuR1Tu u 2THIuu为镜面反射矩阵（初等反射矩阵）。显然222,0|TvvHIvv也为镜面反射矩阵27第27页，共37页。镜面反射矩阵的基本性质（1）对称性：（2）正交性：（3）对合性：（4）设A为对称矩阵，那么 也是对称矩阵THH1HHHHI1AHAH28第28页，共37页。定理1 对于任意 ，有,0Txvwcuw w uHxvw 29第29页，共37页。定理2设 ，则存在H，使得

12、22,|nb vRbvHbv30第30页，共37页。定理3 设 为n-r阶镜面反射矩阵，则n rG00rn rIHG也是镜面反射矩阵31第31页，共37页。定理4（约化定理）设 ，则存在镜面反射矩阵H使得 ，其中12,(,)0Tnxx xx1Hxe 1121221sgn()|1|()2THIuuxxuxeux 32第32页，共37页。例1、利用householder变换使得向量 与向量 共线(3,4)Tx 1(1,0)Te 221212211sgn()|345(8,4)1|()4021081840144034106432155013216434055TTxxuxeuxHIuu 33第33页，共

13、37页。例2利用镜面反射矩阵使如下的对称矩阵约化为三对角对称矩阵1343124211001503473140,555252543142300552525HHAH 34第34页，共37页。求实对称矩阵特征值的对分法1、实对称三对角矩阵的Sturm序列111222332111nnnnncbbcbbcbCbcbbc35第35页，共37页。其中 ，用 表示 的i阶主子行列式，并规定 ，则 的特征多项式可由下式算出：0(1,2,1)ibin()ipCI00()1,0pb()det()npCI0112221102112()1()()()()()()()()(),(2,3,)iiiiippcpcpb ppcpbpin36第36页，共37页。2、Sturm序列的性质 性质1、仅有实根()0(1,2,)ipin 性质2、相邻的两个多项式 和 无公共零点()ip1()ip 性质3、设 ，则()0ip1010()()0iipp 性质4、37第37页，共37页。