ANSYS有限元基础教程课件-第2章.ppt

1、有限元分析的有限元分析的3个步骤：个步骤：离散化离散化单元分析单元分析整体分析整体分析 实例：将一个受力的连续体离散化实例：将一个受力的连续体离散化 离散化离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。目的：建立有限元计算模型目的：建立有限元计算模型以三角形单元为例以三角形单元为例注意事项 对称性的利用对称性的利用 如果结构与载荷都有对称性可资利用，可取其中的一半如果结构与载荷都有对称性可资利用，可取其中的一半或或1/4等作为分析对象，能减少很多工作量。等作为分析对象，能减少很多工作量。图为平面薄板的离散化模型图为平面薄板的离散化模型2）节点的布置

2、：）节点的布置：集中载荷的作用点，集中载荷的作用点，分布载荷强度的分布载荷强度的突变点，突变点，分布载荷与自由边界的分界点，分布载荷与自由边界的分界点，支承点，支承点，厚度不同或材料不同的区域等都应取为节点。厚度不同或材料不同的区域等都应取为节点。3）对于重要的或应力变化急剧的部位，单元应划得小些，）对于重要的或应力变化急剧的部位，单元应划得小些，对于次要的和应力变化缓慢的部位，单元可划得大些，对于次要的和应力变化缓慢的部位，单元可划得大些，“中中间地带间地带”以大小逐渐变化的单元来过渡。以大小逐渐变化的单元来过渡。2.节点的选择和单元的划分节点的选择和单元的划分1）单元形状和尺寸可自由调整。

3、）单元形状和尺寸可自由调整。3.节点的编号节点的编号 在节点编号时，应注意尽量使同一单元的相邻节点的在节点编号时，应注意尽量使同一单元的相邻节点的号码差值尽可能地小些，以便缩小刚度矩阵的带宽，节约号码差值尽可能地小些，以便缩小刚度矩阵的带宽，节约计算机存储。计算机存储。（a）（b）如图，（如图，（a）与（）与（b）单元划分相同，（）单元划分相同，（b）的编号要比（）的编号要比（a）的编）的编号为好，即号为好，即节点应顺短边编号为好节点应顺短边编号为好。单元分析的主要任务是推导单元节点位移与单元节点单元分析的主要任务是推导单元节点位移与单元节点力之间的转换关系，实质上就是求出单元刚度矩阵。力之间

4、的转换关系，实质上就是求出单元刚度矩阵。eeekF 单元分析的步骤单元分析的步骤（实施过程）：（实施过程）：Tmmjjiiuuue TmmjjiiVUVUVUFe三角形单元三角形单元节点位移向量节点位移向量：三角形单元三角形单元节点力向量节点力向量：从离散化的结构中任取一个三角形单元从离散化的结构中任取一个三角形单元e单元单元首先对节点编码：首先对节点编码：称为称为局部码局部码mji、1.位移函数的概念位移函数的概念广泛使用多项式来构造位移函数。广泛使用多项式来构造位移函数。将单元中的位移分布假定是坐标的简单函数，称为将单元中的位移分布假定是坐标的简单函数，称为位移函数。位移函数。设单元内任意

5、一点的位移设单元内任意一点的位移 vufyxyxu654321含有含有6个待定参数个待定参数 ，称为广义坐标。，称为广义坐标。654321，（2-6）求形函数求形函数mmmjjjiiiyxuyxuyxu321321321mmmjjjiiiyxyxyx654654654mmjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxAyuyuyuAyxuyxuyxuA111211112121321mmjjiiyxyxyxA11121三角形单元的面积：三角形单元的面积：mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu）（）（）（21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA ）

6、（）（）（21mjimjijmmjixxcyybyxyxa令令式中式中）（ycxbaANiiii21），（mji顺序轮换顺序轮换mmjjiimmjjiiNNNuNuNuNu简写为：简写为：emjimjiNNNNNNNf000000e矩阵形式矩阵形式：Ni，Nj，Nm为形函数，是关于坐标为形函数，是关于坐标x、y的线性函数的线性函数），（mjiN为形函数矩阵为形函数矩阵 常数常数2.位移函数收敛准则位移函数收敛准则 在有限元法中，把能够满足条件（在有限元法中，把能够满足条件（1）、（）、（2）的单元，称）的单元，称为为完备单元完备单元；满足条件（；满足条件（3）的单元，称为）的单元，称为协调单元

7、协调单元。（3）位移函数应尽可能反映位移的连续性。）位移函数应尽可能反映位移的连续性。要求所选择的位移函数既能使单元内部的位移保持连续，要求所选择的位移函数既能使单元内部的位移保持连续，又能使相邻单元之间的位移保持连续，后者是指单元之间又能使相邻单元之间的位移保持连续，后者是指单元之间不出现互相脱离和互相嵌入的现象。不出现互相脱离和互相嵌入的现象。（2）位移函数必须能反映单元的常量应变。在位移函数）位移函数必须能反映单元的常量应变。在位移函数中的一次项就是提供单元中的常量应变的。中的一次项就是提供单元中的常量应变的。（1）位移函数必须能反映单元的刚体位移。常数项就是）位移函数必须能反映单元的刚

8、体位移。常数项就是用于提供刚体位移的。用于提供刚体位移的。图图2-4 相邻三角形单元的位移协调性分析相邻三角形单元的位移协调性分析1）要考虑到解的收敛性，即要考虑到完备性和协调性的要求。）要考虑到解的收敛性，即要考虑到完备性和协调性的要求。巴斯卡三角形巴斯卡三角形 3.选择单元位移函数的一般原则选择单元位移函数的一般原则3）多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的）多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数。通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等。自由度数。通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等。2）模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各）模式应该与局

9、部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。向同性。2.2.2 单元应变单元应变 mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu）（）（）（21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA ）（）（）（21（2-10）（2-11）xyyxxyyxvuvu几何方程：几何方程：)bucbucbuc(Axvyu)ccc(Ayv)ububub(Axummmmjjjjiiiixymmjjiiymmjjiix212121)bucbucbuc(Axvyu)ccc(Ayv)ububub(Axummmmjjjjiiiixymmjjiiymmjjiix212121mmjiimmjj

10、iimjimjixyyxvuvuvubcbcbccccbbbAj00000021 mmjjiimjimjibcbcbccccbbbAB00000021 eBB称作几何矩阵，是常数矩阵。称作几何矩阵，是常数矩阵。因此，三角形单元是常应变单元因此，三角形单元是常应变单元。miiBBB2.2.3 单元应力单元应力 物理方程物理方程：D 2112-1001称对ED eB eBDD单元应力单元应力：令：令：BDS S称为单元应力矩阵称为单元应力矩阵 由于三角形单元中的由于三角形单元中的D，B矩阵都是常数矩阵，所矩阵都是常数矩阵，所以以S矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形单元内的矩阵也是常数矩阵。也就是说

11、，三角形单元内的应力分量也是常量。应力分量也是常量。eS2.2.4 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 虚功方程：虚功方程：eB TTeTB)(eBDD tdxdyFTeTe)(tdxdyBDBFeTTeTe)()(三角形单元：三角形单元：eTTeeTetdxdyBDBF)()()(eTetdxdyBDBF)(eB eTetdxdyBDBF)(令：令：tdxdyBDBkTe eeekF单元平衡方程（刚度方程）单元平衡方程（刚度方程）单元刚度矩阵单元刚度矩阵 tdxdyBDBkTe tABDBT tASBTmmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkk每个分块矩阵每个分块矩阵均为均为22阶方阵。阶

12、方阵。三角形单元的刚度矩阵三角形单元的刚度矩阵为为66阶方阵。阶方阵。单元刚度矩阵单元刚度矩阵 有如下性质：有如下性质：每一个元素物理意义：是单位节点位移分量所引起的每一个元素物理意义：是单位节点位移分量所引起的 节点力分量。节点力分量。是对称矩阵。是对称矩阵。每一行（或列）元素之和为零。是奇异矩阵，每一行（或列）元素之和为零。是奇异矩阵，的元素决定于单元的形状、大小、方位和弹性的元素决定于单元的形状、大小、方位和弹性 常数，而与单元的位置无关，即不随单元（或坐标轴）常数，而与单元的位置无关，即不随单元（或坐标轴）的平行移动或作的平行移动或作 （n为整数）角度的转动而改变。为整数）角度的转动而

13、改变。mmmjmijmjjjiimijiiTkkkkkkkkktABDBek0k ek ek 单元刚度矩阵按节点写成分块形式：单元刚度矩阵按节点写成分块形式：n 例例2-1 如图如图2-6所示平面应力情形的直角三角形单元所示平面应力情形的直角三角形单元 ，直角边长均为直角边长均为 ，厚度为，厚度为t，弹性模量为，弹性模量为E，泊松比为，泊松比为 ，求单元刚度矩阵。求单元刚度矩阵。mji，a30.图图2-6 直角三角形单元直角三角形单元解：解：tASBtABDBkTTe（1）求）求 B mmjjiimjimjibcbcbccccbbbAB00000021axxcayybaxxcyybxxcayy

14、bijmjimmijimjjmimji00221aA1101101010000100011a（2）求）求 D 35000013003019102100010112.EED（3）求）求 S 350350035035001301003030130001910.aEBDS（4）求）求 ek tASBkTe35165013503503065035130350350113010030350350035035003503500350350030130001821.Et 结构的结构的整体分析整体分析就是将离散后的所有单元通过节点连接就是将离散后的所有单元通过节点连接成原结构物进行分析。成原结构物进行分析。F

15、K总体刚度矩阵。总体刚度矩阵。整个结构上节点位移列阵整个结构上节点位移列阵整个结构上节点力列阵整个结构上节点力列阵 K整体平衡方程（整体刚度方程）整体平衡方程（整体刚度方程）F分析过程：分析过程：是将所有单元平衡方程组集在一起，形成总体平是将所有单元平衡方程组集在一起，形成总体平衡方程，引进边界条件后，求解整体节点位移向量。衡方程，引进边界条件后，求解整体节点位移向量。平面问题的整体刚度矩阵是由相关单元的单元刚度矩平面问题的整体刚度矩阵是由相关单元的单元刚度矩阵中的分块矩阵集合而成，按节点编号对号入座，即阵中的分块矩阵集合而成，按节点编号对号入座，即刚度刚度集成法集成法。它的集成规律有下列几点

16、：。它的集成规律有下列几点：1）先对每个单元求出其单元刚度矩阵）先对每个单元求出其单元刚度矩阵 ，以分块形式按节，以分块形式按节点编号顺序排列。点编号顺序排列。2）将单元刚度矩阵扩大阶数为）将单元刚度矩阵扩大阶数为2n2n，并将单元刚度矩阵，并将单元刚度矩阵中的分块矩阵按局部码与总码的对应关系，搬到扩大后的矩中的分块矩阵按局部码与总码的对应关系，搬到扩大后的矩阵中，形成单元贡献矩阵阵中，形成单元贡献矩阵 。3）将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成）将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵，各行各列都按以上步骤即形总体刚度矩阵中的一个子矩阵，各行各列

17、都按以上步骤即形成总体刚度矩阵成总体刚度矩阵 。总体刚度矩阵总体刚度矩阵 为为2n2n阶，亦即阶，亦即nn阶分块矩阵，阶分块矩阵，n为节点总数。为节点总数。ek eK K K例例2-2 用刚度集成法求图用刚度集成法求图2-7所示结构的整体刚度矩阵所示结构的整体刚度矩阵ijmiiijjjmmm1）找出各单元局部码与总码的对应关系）找出各单元局部码与总码的对应关系解：解：2）分别写出各个单元的分块矩阵）分别写出各个单元的分块矩阵 3332312322211312111kkkkkkkkkk 3335325355522325222kkkkkkkkkk 3336356366655356553kkkkkk

18、kkkk 5554524544422524224kkkkkkkkkk3）形成各单元贡献阵）形成各单元贡献阵 000000000000000000000000000255253252235233232225223222kkkkkkkkkK24）将扩大后的）将扩大后的4个单元贡献阵相叠加，就得到总体刚度矩阵个单元贡献阵相叠加，就得到总体刚度矩阵 366365363356455355255454353253452252445444442336335235333233133232132131425225424223123422222122121113112111000000000000kkkkkkkk

19、kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkK整体刚度矩阵有以下一些性质：整体刚度矩阵有以下一些性质：1）整体刚度矩阵是对称矩阵。）整体刚度矩阵是对称矩阵。2）整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。）整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。3）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。4）整体刚度矩阵是一个奇异阵。）整体刚度矩阵是一个奇异阵。31 例例2-3 已知如图已知如图a）所示的悬臂深梁，在右端面作用着均布拉力，其合）所示的悬臂深梁，在右端面作用着均布拉力，其合力为力为P。采用如图。采用如图 b）所示简单网格，设）所示简单网格，设 ，厚度为，厚度为t。试求节点位

20、移。试求节点位移。a）b）解：解：）求出各单元刚度矩阵）求出各单元刚度矩阵120122020424201221341224472302121020230332Et3333231232221131211kkkkkkkkkk 1341212247232412100223032012202120242004323444341343331141311Etkkkkkkkkkk）形成各单元贡献矩阵）形成各单元贡献矩阵 0000000333231232221131211kkkkkkkkkK 4443413433311413110000000Kkkkkkkkkk）形成总体刚度矩阵）形成总体刚度矩阵 44343

21、33323221413131211110Kkkkkkkkkkkkk对称 4434333323221413131211110Kkkkkkkkkkkkk对称134120012247230024121301220423072440001221341200244723122041213024402307323Et）形成整体载荷列阵）形成整体载荷列阵 T44110202VUPPVUF）形成整体节点位移列阵）形成整体节点位移列阵 Tvuvu00003322）形成整体平衡方程）形成整体平衡方程 442011332200000013412001224723002412130122042307244000122

22、1341200244723122041213024402307323VUVUvuvuEtPP FK）引入边界条件，求节点位移）引入边界条件，求节点位移“化化1置置0法法”处理处理：若已知节点：若已知节点 在在 方向位移方向位移 为零，则令为零，则令 中的中的元素元素 为为1，而第，而第 行和行和 列的其余元素都为零，列的其余元素都为零，中的中的第第 个元素变为零。若已知节点个元素变为零。若已知节点 在在 方向位移方向位移 为零，则令为零，则令 中的元素中的元素 为为1，而第，而第 行和行和 列的其余元素都为零，列的其余元素都为零，中的中的第第 个元素变为零。个元素变为零。00000000001

23、0000000010000000013012200000724000012213400002447000000001000000001323023322PPuuEt013122)724(0122134)2447(3222322323332223322323vvuuvuvuvuvuvuPEtPEtEtPuu080.1333.098.13322 ixiu12,12iiK12 i12 i F K12 iiyiv KiiK2,2i 2i 2 Fi 2 有限元法的具体解题过程为：有限元法的具体解题过程为：1）将结构进行离散化，包括单元划分、节点编号、单）将结构进行离散化，包括单元划分、节点编号、单元编号

24、、节点坐标计算、位移约束条件的确定。元编号、节点坐标计算、位移约束条件的确定。2）等效节点力的计算。）等效节点力的计算。3）刚度矩阵的计算。）刚度矩阵的计算。4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解节点位移。）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解节点位移。5）应力计算。）应力计算。例例2-4 如图如图2-20a所示两端固支的矩形深梁，跨度为所示两端固支的矩形深梁，跨度为2a，梁，梁高为高为a，厚度为，厚度为 t，已知，已知E，承受均布压力，承受均布压力q，试用有，试用有限元法求解此平面应力问题。限元法求解此平面应力问题。0 a）b）图图2-20 矩形深梁矩形深梁ijmijm解：利用对称性，可取

25、梁的一半分析，例如右半。解：利用对称性，可取梁的一半分析，例如右半。1.划分单元并准备原始数据划分单元并准备原始数据2.计算单元刚度矩阵计算单元刚度矩阵 132232112121021230212111010210212102100212102121001000121Etk2 3 1 423232112121021230212111010210212102100212102121001000122Etk3 2 43.集成整体刚度矩阵集成整体刚度矩阵 00000001331321311231221211131121111kkkkkkkkkK 244243242234233232224223222

26、20000000kkkkkkkkkK 依照各单元局部编号与整体编号的对应关系，两个依照各单元局部编号与整体编号的对应关系，两个单元的贡献矩阵分别为单元的贡献矩阵分别为再集成整体刚度矩阵再集成整体刚度矩阵 2442432422342331332321321312242231232221221211131121112100kkkkkkkkkkkkkkkkkkKKK2321210121002123211021002121230021100102321021211002123021212121210023010012121023210002121121232Et4.处理载荷，形成整体平衡方程处理载荷，

27、形成整体平衡方程整体节点载荷列阵为整体节点载荷列阵为 T44322120yxxyxxFFqaFFFFF组成结构整体平衡方程组成结构整体平衡方程 4432214433221120232121012100212321102100212123002110010232102121100212302121212121002301001212102321000212112123yxxyxxFFqaFFFFuuuu FK5.引入位移边界条件，求解节点位移引入位移边界条件，求解节点位移0443221uuuu由于由于002000000000000000000001000000002300010000100000

28、00010000000010000100023000000001231qaEt20231123231qaEtEtqaEtqa56,5431 6.应力计算应力计算在整体分析中求得节点位移之后，为了计算结构上任意一在整体分析中求得节点位移之后，为了计算结构上任意一点的应变或应力，应该又返回到单元分析中去。点的应变或应力，应该又返回到单元分析中去。计算单元计算单元的应力矩阵的应力矩阵 11011020200002000221101101010000100011210001000111aEaaEBDS 12SS由整体节点位移向量获取单元节点位移向量由整体节点位移向量获取单元节点位移向量 EtqaEtq

29、a540560001 00005602Etqa计算应力计算应力 11052540560001101102020000200022111tqEtqaEtqaaES 1005300005601101102020000200022222tqEtqaaES一、单元自重一、单元自重 T10101031tAFe三角形单元三角形单元 的厚度为的厚度为t，重，重度为度为 ，面积为，面积为 ，自重沿，自重沿y轴轴负方向。负方向。ijm受自重载荷情形的等效节点力为单受自重载荷情形的等效节点力为单元重量的元重量的1/3。A图图2-14 三角形单元三角形单元 介绍几种常用载荷作用下的等效节点力介绍几种常用载荷作用下的

30、等效节点力二、均布面力二、均布面力 三角形单元三角形单元 的厚度为的厚度为t，ij边边的长度为的长度为 ，集度为，集度为ijm图图2-15 受均布面力三角形单元受均布面力三角形单元 lsysxsqqq T002sysxsysxeqqqqtlF相当于把作用于相当于把作用于ij边上的表面力边上的表面力按静力等效平均分配到该边两端按静力等效平均分配到该边两端的节点上。的节点上。三、线性分布面力三、线性分布面力 三角形单元三角形单元 的厚度为的厚度为t，ij边边的长度为的长度为 ，表面力在，表面力在 点集度点集度为为ijm图图2-16 受线性分布面力三角形单元受线性分布面力三角形单元 lsysxsqq

31、q相当于将总载荷的相当于将总载荷的2/3分配给点，分配给点，1/3分配给分配给 点。点。i T00313132322sysxsysxeqqqqtlFij 常用的且比较方便的做法是以某种方法引入已知的常用的且比较方便的做法是以某种方法引入已知的节点位移（包括零位移约束），而保持方程原有的数目节点位移（包括零位移约束），而保持方程原有的数目不变，只是修不变，只是修 和和 中某些元素，以避免计算机存储中某些元素，以避免计算机存储作大的变动。作大的变动。K F 1 1、“化化1 1置置0 0法法”积。这行的相应列元素的乘中原来去节点位移的已知值与中的其他各行元素都减的已知值代入，个元素则用位移中的第列

32、的其余元素都为零；行和而第为中的元素则令方向位移为在若已知节点KFuiFii，kK，uxiiiii121212112,12 积。这行的相应列元素的乘中来去节位移的已知值与原中的其他各行元素都减的已知值代入，个元素则用位移中的第列的其余元素都为零；行和而第，为中的元素则令方向位移为在若已知节点KFiFiikKyiiiii2221,2,2-为节点总码编号为节点总码编号i4321221144434241343332312423222114131211RRRRuuKKKKKKKKKKKKKKKK设已知节点位移为设已知节点位移为 ，当引进上述已知节点位，当引进上述已知节点位移后，方程变成移后，方程变成

33、3211uu，3431414332312121221144422422000100000001KKRKKRuuKKKK例如：为说明这一过程，现考察一个只有四个方程的简单例子例如：为说明这一过程，现考察一个只有四个方程的简单例子 元素的乘积。与同一个大数及主对角节点位移中的对应元素换上已知，同时将充分大的数，例如计算机可接受的的主对角元素乘上一个中与已知节点位移有关将FK1510415333215111221144434241341533323124232221141312151110101010RkRkvuvukkkkkkkkkkkkkkkk2 2、“乘大数法乘大数法”设已知节点位移为设已知节

34、点位移为 ，当引进上述已知节点位移，当引进上述已知节点位移后，方程变成后，方程变成 3211uu，绕节点平均法：绕节点平均法：ABCDEF把环绕该节点的各单元应力加以平均，视为该节点的应力。把环绕该节点的各单元应力加以平均，视为该节点的应力。FEDCBAxxxxxxx611两单元平均法：两单元平均法：把相邻两单元应力的平均值作为公共边中点的应力。把相邻两单元应力的平均值作为公共边中点的应力。ABCDEFGHI78910GxFxxDxBxx212187采用上述两种应力平均法时应注意几点：采用上述两种应力平均法时应注意几点：（1）只有当相连单元具有相同厚度和材料时平均法才有）只有当相连单元具有相同

35、厚度和材料时平均法才有意义。意义。（3）位于结构边界点的应力不应该用平均法求得，若用）位于结构边界点的应力不应该用平均法求得，若用绕节点平均法则因其相连单元太少而不能得到较佳的近绕节点平均法则因其相连单元太少而不能得到较佳的近似值。这种情况往往改用内部应力点外推的办法，去求似值。这种情况往往改用内部应力点外推的办法，去求它的近似值。它的近似值。（2）为了使绕节点平均法得来的应力能够较好地表示节）为了使绕节点平均法得来的应力能够较好地表示节点处的实际应力，环绕该节点的各个单元的面积不应相点处的实际应力，环绕该节点的各个单元的面积不应相差太大。差太大。设有矩形单元设有矩形单元 ，其边长分别为，其边

36、长分别为 和和 ，矩形的，矩形的两边分别与两边分别与 轴平行。取矩形的四个角点作为节点。轴平行。取矩形的四个角点作为节点。a2b2ijmpyx、yx、单元节点位移向量为：单元节点位移向量为：Tppmmjjiiuuuueyx、在单元分析中为了计算上的方在单元分析中为了计算上的方便和简化，我们引用一个无量便和简化，我们引用一个无量纲的局部坐标系纲的局部坐标系 ，局部坐，局部坐标系的原点取在矩形的形心上，标系的原点取在矩形的形心上，轴分别与整体坐标轴平行，它轴分别与整体坐标轴平行，它们之间的坐标变换为们之间的坐标变换为、byax ，在局部坐标系中，四个节点坐标分别是在局部坐标系中，四个节点坐标分别是

37、即为（即为（-1，-1），（），（1，-1），（），（1，1），（），（-1，1）。）。11、位移模式)(87654321avu43214432134321243211uuuu87654876538765287651vvvvpmjiiipmjiiivNvNvNvNvNvuNuNuNuNuNu,44332211,44332211)()()()()()()()(1141114111411141pmjiNNNN形函数形函数 双线性模式双线性模式从中求出从中求出81合并写成合并写成:），（pmjiNiii)1()1(41（2-74）pmjiiipmjiiivNvNvNvNvNvuNuNuNuNuNu,

38、44332211,44332211)()()()()()()()(1141114111411141pmjiNNNN形函数形函数 eNuf pmjipmjiNNNNNNNNN00000000写成矩阵形式写成矩阵形式形函数矩阵形函数矩阵（2-74）合并写成合并写成:），（pmjiNiii)1()1(412、单元应变xyuyxuxyyxvbuavaubabvaubvbua11111 eB写成矩阵形式写成矩阵形式 pmjiBBBBB)()()()(iiiiiiiibaabab11100141iB），（pmji四节点矩形单元不再是常应变单元。四节点矩形单元不再是常应变单元。几何方程几何方程将位移函数带入

39、上式将位移函数带入上式 eeSBDD），（pmjibaabababEiiiiiiiiiiii)()()()()()()(1211211111142iS pmjiSSSSS 3、单元应力 四节点矩形单元不再是常应力单元。四节点矩形单元不再是常应力单元。根据物理方程：根据物理方程：4、单元刚度矩阵 yxtBDkAddTBe写成分块形式：写成分块形式：pppmpjpimpmmmjmijpjmjjjiipimijiiekkkkkkkkkkkkkkkkkyxtjAiijddDBBkT)()()()()(jijijijijijijijijijijijibaabbaabEt31121311212131121

40、311142ijk5、单元等效节点力 T410410410410 WFe（1）对于单元的自重）对于单元的自重W，载荷列阵为，载荷列阵为 即移置于每一节点的载荷都是四分之一的自重。即移置于每一节点的载荷都是四分之一的自重。（2）如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力，）如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力，在该边界上一个节点处为零，而在另一个节点处为最大，在该边界上一个节点处为零，而在另一个节点处为最大，则将总表面力的三分之一移置到前一个节点，三分之二移则将总表面力的三分之一移置到前一个节点，三分之二移置到后一个节点。置到后一个节点。6、整体平衡方程 将各单元的将各单元的 、和和 都扩

41、大到整个弹性体自都扩大到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，便可得到整个弹性体的平由度的维数，再进行叠加，便可得到整个弹性体的平衡方程，它仍具有如下的形式衡方程，它仍具有如下的形式 引入位移约束条件，解上述线性方程组可得节点引入位移约束条件，解上述线性方程组可得节点位移，进而可求各单元应力。位移，进而可求各单元应力。FK ek e eF7、矩形单元与三角形单元的比较：3 3、但矩形单元也存在明显的缺点：从单元的几何形状看，、但矩形单元也存在明显的缺点：从单元的几何形状看，矩形单元比三角形单元的适应性要差。矩形单元比三角形单元的适应性要差。2 2、在弹性体中、在弹性体中,若用相同数目的节点时，矩形单元比三若用相同数目的节点时，矩形单元比三角形单元能更好地反映应力急剧变化的情况，所以计算精角形单元能更好地反映应力急剧变化的情况，所以计算精度高。度高。1 1、矩形单元为双线性位移模式，所以单元的应力、应变、矩形单元为双线性位移模式，所以单元的应力、应变分量都不是常量。分量都不是常量。