高等数学-第三章-导数与微分课件.ppt

1、基础课教学部基础课教学部 数学教研室数学教研室高等数学导数与微分导数与微分本章目录本章目录第一节第一节 引出导数概念的例题引出导数概念的例题第二节第二节 导数概念导数概念第三节第三节 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则第四节第四节 高阶导数高阶导数第五节第五节 微分微分一、一、变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度如果物体作直线运动，在直线上选取坐标系，如果物体作直线运动，在直线上选取坐标系，该物体所处的位置该物体所处的位置坐标坐标 s 是时间是时间 t 的的函数，记为函数，记为 s=s(t)，则从时刻则从时刻 t0 到到 t0+t 的时间间隔内它的的时间间隔内它的平均速度

2、为平均速度为,)()(00ttsttsts 第一节第一节 引出导数概念的例题引出导数概念的例题在匀速运动中，在匀速运动中，这个比值是常量，这个比值是常量，但在变速运动但在变速运动中，它不仅与中，它不仅与 t0 有关，有关，而且与而且与 t 也有关，也有关，很小时，很小时，ts 显显然然与在与在 t0 时刻的速度相近似时刻的速度相近似.如果当如果当 t 趋于趋于 0 时，时，平均速度平均速度 的极限存在，的极限存在，ts 则将这个极限值记作则将这个极限值记作 v (t0)，叫做物体在叫做物体在 t0 时刻时刻的瞬时速度，简称速度，的瞬时速度，简称速度，即即.)()(lim)(0000ttstts

3、tvt 当当 t二、二、切线问题切线问题定义定义设点设点 P0 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点，点点 P 是是曲线曲线 L 上的动点上的动点，T P P0 0P Px0 0 x0 0+xyOx N 当点当点 P 沿沿曲线曲线 L 趋向于点趋向于点 P0 时时，如果割线如果割线 PP0 的极限位置的极限位置 P0 T 存在存在，则则称直线称直线 P0 T 为曲线为曲线 L 在点在点 P0 处的切线处的切线.设曲线方程为设曲线方程为 y=f(x).在点在点 P0(x0,y0)处的附近取处的附近取一点一点 P(x0+x,y0+y).那么割线那么割线 P0 P 的斜率为的斜率为.)()(t

4、an00 xxfxxfxy L x yy=f(x)如果当点如果当点 P 沿曲线趋向于点沿曲线趋向于点 P0 时，割线时，割线 P0P 的极限位置存在，的极限位置存在，即点即点 P0 处的切线存在，处的切线存在，此刻此刻 x 0，割线斜率割线斜率 tan 趋向趋向切线切线 P0 T 的斜率的斜率 tan ，即即.)()(limtan000 xxfxxfx T P P0 0P Px0 0 x0 0+xyOx N L x yy=f(x)返回本章目录返回本章目录定义定义设函数设函数 y=f(x)在点在点 x0 的某个邻域的某个邻域内有定义内有定义.在在 x0 处处给给 x 以改变量以改变量 x(x0)

5、，函数函数 f(x)相应地有改变量相应地有改变量 y=f(x0 +x)-f(x0)，一、导数的定义一、导数的定义第二节第二节 导数概念导数概念0000()()()lim.xf xxf xfxx 存在，存在，如果如果xyx 0lim 则称此极限值为则称此极限值为函数函数y=f(x)在点在点 x0 处的导数（或微商）处的导数（或微商）.记作记作0000,|,()x xx xx xyfxyf xxxdddd（）或即即此时也称此时也称函数函数 f(x)在点在点 x0 处可导处可导.如果上述极限如果上述极限不不存在存在，则称则称 f(x)在在 x0 处不可导处不可导.00()()f xxf xyxx x

6、从从x0改变到改变到x0+x时，函数时，函数f(x)的平均变化速度，的平均变化速度，称为函数的平均变化率；而导数称为函数的平均变化率；而导数反映的是自变量反映的是自变量00()limxyfxx 反映的是函数在点反映的是函数在点x0处的变化速度，称为函数在处的变化速度，称为函数在点点x0的变化率的变化率.例例 1 求函数求函数 f(x)=x2 在在 x0=1 处的导数，即处的导数，即 f (1).解解 第一步求第一步求 y：y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2-12=2 x+(x)2，22()2(0),yxxxxxx 第三步求极限：第三步求极限：00limlim(2)2,xxyxx 所以，所

7、以，f (1)=2.第二步求第二步求 ：xy 如果一个函数在某点处有导数，则称此函数在该如果一个函数在某点处有导数，则称此函数在该点处可导，否则称函数在该点处不可导点处可导，否则称函数在该点处不可导.如果函数在如果函数在某区间内的每个点都存在导数，则称此函数在该区间某区间内的每个点都存在导数，则称此函数在该区间内可导内可导.设设f(x)在区间在区间(a,b)内可导，此时，对于区间内可导，此时，对于区间(a,b)内每一点内每一点x，都有一个导数值与之对应，这就定义了，都有一个导数值与之对应，这就定义了一个新的函数，称为函数一个新的函数，称为函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内对内对x的导的导

8、函数，简称为导数，记作函数，简称为导数，记作,()yfxyf xxxdddd（）或由导数定义可将求导数的方法概括为以下几个步骤：由导数定义可将求导数的方法概括为以下几个步骤：（1 1）求出对应于自变量的改变量）求出对应于自变量的改变量 x 的函数改变量的函数改变量 y=f(x +x)-f(x)（2 2）作出比值）作出比值()()yf xxf xxx （3 3）求）求 x0 时时 y/x 的极限，即的极限，即0()()()limxf xxf xyfxx 例例 2 求线性函数求线性函数 y=ax+b 的导数的导数.解解()(),ya xxbaxba x 例例 3 求函数求函数 y=的导数的导数.1

9、x解解11,()xyxxxx xx 00limlim.xxyyaax ,yax20011limlim.()xxyyxx xxx 1,()yxx xx 例例 4 求函数求函数 y=的导数的导数.x解解,yxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 1,xxx()yxxxxxxxxxx 例例 5 给定函数给定函数 求求0(),(0),(1),().fxfffx3()f xx解解33223()33()(),yxxxxxxxx 2200()3(0)0(1)3()3.fxxfffxx，22200()limlim33()3,xxyfxxx xxxx 2233(),yxx xxx 因此因此前面我们给

10、出的导数都用如下形式：前面我们给出的导数都用如下形式：000()()()lim,hf xhf hfxh0000()()()lim,xf xxf xfxx 但有时也可写成其他形式，例如将但有时也可写成其他形式，例如将 x记作记作 h，则，则0000()()()lim,xxf xf xfxxx如果令如果令 x=x-x0，则，则例例 6 用定义讨论函数用定义讨论函数1sin,0()0,0 xxf xxx在点在点 x=0 处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解解001lim()lim sin0(0)xxf xxfx所以所以 f(x)在点在点 x=0 处连续，处连续，0001sin()(0)1liml

11、imlimsin0 xxxxf xfxxxx极限不存在，所以极限不存在，所以 f(x)在点在点 x=0 处不可导处不可导.函数函数 y=f(x)在点在点 x0 处的导数的几何意义处的导数的几何意义就是曲线就是曲线 y=f(x)在点在点(x0，f(x0)处的处的切线的斜切线的斜率率,即即tan =f (x0 0).yOxy=f(x)x0 0P二、导数的几何意义二、导数的几何意义法线方程为法线方程为).0)()()(10000 xfxxxfyy其中其中 y0=f(x0).y -y0=f (x0)(x x0).由此可知曲线由此可知曲线 y=f(x)上点上点 P0 处的切线方程为处的切线方程为例例 7

12、求曲线求曲线 y=x2 在点在点(1,1)处的切线和处的切线和法线方程法线方程.解解由例由例 1 知知(x2)|x=1=2,即点即点(1,1)处的处的切线斜率为切线斜率为 2，所以所以,切线方程为切线方程为y 1=2(x-1).即即y=2 x-1.法线方程为法线方程为).1(211 xy即即.2321 xy则称此极限值为则称此极限值为 f(x)在点在点 x0 处的左导数，记作处的左导数，记作 f (x0)；则称此极限值为则称此极限值为 f(x)在点在点 x0 处的右导数，记作处的右导数，记作 f +(x0).定义定义 如果如果xxfxxfx )()(lim000000()()limxf xxf

13、 xx，如如果果存存在在 同样，同样，三、左导数、右导数三、左导数、右导数存在，存在，显然，显然，f(x)在在 x0 处可导的充要条件是处可导的充要条件是 f (x0)及及 f (x0)存在且相等存在且相等.定义定义如果函数如果函数 f(x)在区间在区间 I 上每一点可导，上每一点可导，则称则称 f(x)在区间在区间 I 上可导上可导.如果如果 I 是闭区间是闭区间a,b，则端点处可导是指则端点处可导是指 f (a)、f (b)存在存在.定理定理 1 1如果函数如果函数 y=f(x)在点在点 x0 处可导处可导,则则 f(x)在点在点 x0 处连续，其逆不真处连续，其逆不真.证证,lim0存在

14、存在因为因为xyx 其中其中 y=f(x0+x)-f(x0)，所以所以 xxyyxx00limlim.0limlim00 xxyxx四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系即函数即函数 f(x)在点在点 x0 处连续处连续.但其逆不真，即函数但其逆不真，即函数 f(x)在点在点 x0 处连续，处连续，而函数而函数 f(x)在点在点 x0 处不一定可导处不一定可导.例例 8 讨论函数讨论函数 y=|x|在点在点 x0=0 处的连续处的连续性与可导性性与可导性.解解 y=f(0+x)-f(0).0|limlim00 xyxx=|0+x|-|0|=|x|，即即 f(x)=|x|在在 x0=0 处连续

15、，处连续，却却不不然然而而xyx 0lim存在，存在，,1limlim00 xxxyxx.1limlim00 xxxyxx在在 x0=0 处左、右导数不相等，所以在处左、右导数不相等，所以在 x=0 处函处函数数 y=|x|不可导不可导.因为因为 这个定理说明连续是可导的必要条件，但不是这个定理说明连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即可导一定连续，但连续不一定可导充分条件，即可导一定连续，但连续不一定可导.根据这个定理，如果已经判断出函数在某一点根据这个定理，如果已经判断出函数在某一点不连续，则立即可以得出不可导的结论；如果函数不连续，则立即可以得出不可导的结论；如果函数在某点连续，则不能

16、得出可导的结论在某点连续，则不能得出可导的结论.例例6 6和例和例8 8说说明连续不一定可导明连续不一定可导例例 9讨论函数讨论函数21,02,01()1,1214,22xxxxf xxxxx在在 x=0，x=1 及及 x=1处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解解 (1)在点在点 x=0 处处00lim()lim(1)1xxf xx 00lim()lim 20 xxf xx00lim()lim()xxf xf x故在点故在点 x=0 处处 f(x)不连续，不连续，从而在点从而在点 x=0处也不可导处也不可导 (2)在点在点 x=1 处处11lim()lim 22xxf xx211lim()

17、lim(1)2xxf xx且且 f(1)=2，于是有，于是有1lim()2(1)xf xf因此在点因此在点 x=1 处处 f(x)连续连续.11()(1)22(1)limlim211xxf xfxfxx121()(1)1 2(1)limlim211xxf xfxfxx 所以在点所以在点 x=1 处处 f(x)可导，且可导，且(1)2f (3)在点在点 x=2 处处222lim()lim(1)5xxf xx221lim()lim452xxf xx2lim()5(2)xf xf且且 f(2)=5，于是有，于是有因此在点因此在点 x=2 处处 f(x)连续连续.222()(2)1 5(2)limli

18、m422xxf xfxfxx 22145()(2)12(2)limlim222xxxf xffxx(2)(2),ff(2)f 不存在，不存在，所以在点所以在点 x=2 处处 f(x)不可导不可导.对对 f(x)的讨论得出如下结论：的讨论得出如下结论：在点在点 x=0 处不连续且不可导；处不连续且不可导；在点在点 x=1 处连续且可导；处连续且可导；在点在点 x=2 处连续但不可导处连续但不可导.返回本章目录返回本章目录第三节第三节 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则一、常数的导数一、常数的导数设设 y=c (c 为常数为常数)，因为恒有因为恒有 y=0，于是恒有于是恒有0yx因而

19、因而0lim0 xyyx 所以所以0c 即常数的导数等于即常数的导数等于 0二、幂函数的导数二、幂函数的导数设设 y=xn (n 为正整数为正整数)，由二项式定理知，由二项式定理知()nnyxxx 于是于是10limnxyynxx 所以所以1()nnxnx 122(1)()()2nnnn nnxxxxx 122(1)()()2nnnnnn nxnxxxxxx 定理定理 2设函数设函数 u(x)、v(x)在在 x 处可导，处可导，()()0)()v xu xu x 在在 x 处也可导，处也可导，(u(x)v(x)=u(x)v (x);(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);.)(

20、)()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv 三、导数的运算法则三、导数的运算法则且且则它们的和、差、积与商则它们的和、差、积与商证证上述三个公式的证明思路都类似，我们上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个只证第二个因为因为u(x+x)-u(x)=u，即即u(x+x)=u(x)+u，同理有同理有v(x+x)=v(x)+v.y=u(x)v(x)，令令则则 y=u(x+x)v(x+x)u(x)v(x)=u(x)+u v(x)+v u(x)v(x)=u(x)v+v(x)u+u v.,lim)(0 xuxux 因因为为,lim)(0 xvxvx 所以所以 vxuxuxvxvxuxyxx

21、)()(limlim00vxuxuxvxvxuxxxx 0000limlimlim)(lim)().()()()(xvxuxvxu 推论推论 1(cu(x)=cu(x)(c 为常数为常数).推论推论 2.)()()(12xuxuxu 推论推论 3若若 y=u1u2un,则则1212()nnuuuuuu1 21 21 2311()nnnnnu uuu uuu u uuuuu解解根据推论根据推论 1 可得可得(3x4)=3(x4)，(1)=0，故故f (x)=(3x4 1)=(3x4)(1)=12x3.f (0)=(12x3)|x=0=12又又(x4)=4x3，例例 1设设 f(x)=3x4-1，

22、求，求 f (x)及及 f (0).例例 2设设 y=(1+2x)(3x3-2x2)，求求 y .解解根据乘法公式，有根据乘法公式，有3232(12)(32)(12)(32)yxxxxxx32321(2)(32)(12)(3)(2)xxxxxx323202()(32)(12)3()2()xxxxxx3222(32)(12)(94)xxxxx322434xxx解解根据除法公式，有根据除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 xxxxxxxy例例 3设设,112 xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1(xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 x

23、xxxxxx四、对数函数的导数四、对数函数的导数设设 y=logax (a 0,a 1)由由log()loglog1aaaxyxxxx 1log1ayxxxx1log1axxxxx0lim 1xxxxex 由对数函数连续性及由对数函数连续性及1log1xxaxxx得得可知可知0lim1logxxaxxex 01limlogaxyyexx 所以所以特别，当特别，当 a=e 时，得到时，得到1(ln)xx 即即1(log)logaaxex xxxxx sin)sin(lim0 xxxxx 2sin2cos2lim0 xxxxxxcos22sin2coslim0 即即(sin x)=cos x.(c

24、os x)=sin x.类似地类似地0(sin)limxyyxx 五、三角函数的导数五、三角函数的导数1 1.y=sinx，y=cosx 的导数的导数sin(tan)cosxyxx xxxxx2cossin)(cos)(sincos .seccos1cossincos22222xxxxx 即即同理可得同理可得(tan x)=sec2x.(cot x)=-csc2x.2 2.y=tanx，y=cotx 的导数的导数 xxycos1)(sec.sectancossin2xxxx 即即同理可得同理可得(sec x)=sec x tan x.(csc x)=-csc x cot x.xx2cos)(c

25、os 3 3.y=secx，y=cscx 的导数的导数例例 4设设2sincosln,yxxxx求求 y .解解(2sin)(cosln)yxxxx(2)sin2(sin)(cos)lncos(ln)xxxxxxxx12sin2cos21 sinlncosxxxxxxxx11lnsin2cosxxxxxx定理定理 3设函数设函数 y=f(u)，u=(x)均可导，均可导，则复合函数则复合函数 y=f(x)也可导也可导.且且，)()(xufyx .ddddddxuuyxy ，xuxuyy 或或或或六、复合函数的导数六、复合函数的导数0000limlimlimlimxxxxyyuyuxuxux ，x

26、uxuuyxuuy 00limlim.xuxuyy 即即证证设变量设变量 x 有增量有增量 x，.0lim0 ux所所以以由 于由 于 u 可 导，可 导，相应地变量相应地变量 u 有有增量增量 u，从而从而 y 有增量有增量 y.推论推论设设 y=f(u)，u=(v)，v=(x)均均可导可导，则复合函数则复合函数 y=f (x)也可导也可导，.xvuxvuyy 且且例例 5设设 y=(2x+1 1)5，求，求 y .解解把把 2x+1 看成中间变量看成中间变量 u，y=u5，u=2x+1复合而成，复合而成，,5)(45uuyu .2)12(xux所以所以.)12(102544 xuuyyxu

27、x 将将 y=(2x+1)5看成是看成是由于由于例例 6设设 y=sin2 x，求，求 y .解解这个函数可以看成是这个函数可以看成是 y=sin x sin x,可利可利用乘法的导数公式，用乘法的导数公式，将将 y=sin2 x 看成是由看成是由 y=u2，u=sin x 复合而成复合而成.而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 这里，这里，我们用复合函数求导法我们用复合函数求导法.复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出写出.求求 y .,12xy 设设解解将中间变量将中间变量 u=1

28、-x2 记在脑中记在脑中.)1(2121)(21221也也在在心心中中运运算算 xuuyu这样可以直接写出下式这样可以直接写出下式xxxxy )1()1(212212.12xx 例例 7例例 8,sinlnxy 设设求求 y .解解这个复合函数有三个复合步骤这个复合函数有三个复合步骤.,sin,lnxvvuuy 把这些中间变量都记在脑中把这些中间变量都记在脑中xxxxxy )(sinsin1)(xxxx )(cossin1.cot21xx 例例 92tan,yxx设设求求 y .解解12221(tan)(tan)2xxyxxxx 12221(tan)()(tan)2xxxxxx 1222221

29、(tan)1 sec()2xxxxx122221(tan)(12sec).2xxxx解解先用除法的导数公式，遇到复合时，再先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则用复合函数求导法则.2222)1()1(1)(xxxxxy 222112211xxxxx .)1(1)1(1)1(2322222xxxxx 例例 10,求求 y .21xxy 设设例例 11)1ln(2 xx求求解解先用复合函数求导公式，先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数然后又会遇到复合函数 的求导的求导.21x )1ln(2 xx )1(1122xxxx)1(1 1122 xx

30、x 221111xxxx.112x 七、反函数的导数七、反函数的导数 定理定理 4 设函数设函数y=f(x)在点在点x处有不等于处有不等于0 0的导的导数数 f (x)，且其反函数且其反函数x=f-1(y)在相应点处连续在相应点处连续，则则 f-1(y)存在，且存在，且11()()fyfx 或或11()()fxfy 证证 当当 y=f(x)的反函数的反函数 x=f-1(y)的自变量的自变量 y 取得取得改变量改变量 y 时，因变量时，因变量 x 取得相应的改变量取得相应的改变量 x.当当 y0 时，必有时，必有 x0，因此，因此1xyyx因因 x=f-1(y)在相应点处连续，在相应点处连续，故

31、当故当 y 0 时，时，于是由假设于是由假设 f (x)0，得到得到 x 0，10001()limlim11 ()limyxxxfyyyxyfxx 反三角函数的导数公式：反三角函数的导数公式：设设 y=arcsin x，则，则 x=sin y，两边对，两边对 x 求导，得求导，得.cos1yy 时时，因因为为22 ycos y 取正号，取正号，.1sin1cos22xyy 所所以以21(arcsin)(11).1xxx 1cos y y 即即21(arccos)(11)1xxx 21(arccot)1xx 21(arctan)1xx 同理可证同理可证例例 122 arcsin(3).yx求求函

32、函数数的的导导数数解解222416(3)1(3)1 9xyxxx例例 131 arctan.yx求求函函数数的的导导数数解解2222211111111xyxxxxx 例例 14 设方程设方程 x2+y2=R2(R 为常数为常数)确定函确定函数数 y=y(x)，求，求 y.解解 方程两边对方程两边对 x 求导，求导，由此，当由此，当 y 0 时解得时解得xyy ，即即.yxyx 22 0 xy y 九、隐函数的导数九、隐函数的导数例例 15 设方程设方程 y+x xlny=0 确定了函数确定了函数 y=y(x)，.xy 求求解解 方程两边对方程两边对 x 求导，得求导，得解得解得(ln1).xy

33、yyxy 11ln0,yyxyy例例 16 求曲线求曲线 x2+y4=17 在在 x=4 处对应于曲处对应于曲线上的点的切线方程线上的点的切线方程.解解 方程两边对方程两边对 x 求导，得求导，得即即3 (0).2xyyy 即对应于即对应于 x=4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4,1)和和 P2(4,-1).将将 x=4 代入方程，得代入方程，得 y=1.324 0,xy y 在在 P1 处的切线斜率处的切线斜率 y|(4,1)=-2，y 1=-2(x-4)，即即 y+2x 9=0在点在点 P2 处的切线方程为处的切线方程为y+1=2(x-4

34、)，即，即 y-2x+9=0 在在 P2 处切线的处切线的斜率斜率 y|(4,-1)=2.所以，在点所以，在点 P1 处的切线方程为处的切线方程为十、指数函数的导数十、指数函数的导数设设 y=ax (a 0,a 1)，两边取对数，得两边取对数，得lny=xlna，两边对两边对 x 求导，得求导，得1ln,ln,yayyay即即因此因此()lnxxaaa 特别，当特别，当 a=e 时，有时，有(e)exx 例例 17 求函数求函数 的导数的导数.2eaxbx cy解解22e()axbx cyaxbxc2(2)eaxbx caxb例例 18 方程方程 确定确定 y 是是 x 的导数，求的导数，求y

35、 .eyxy解解方程两边对方程两边对 x 求导，得求导，得eyyyxy解出解出 y ，得，得eyyyx 例例 19设设 y=(tan x)x，求，求 y .解解lny=xln(tan x)=x(lnsin x-lncos x)1(lnsinlncos)lnsinlncosyxxxxxy cossinlnsinlncos sincosxxxxxxxx，所以所以sincottanlncosxyy xxxxx ).tanlntancot()(tanxxxxxxx 十一、取对数求导法十一、取对数求导法解解两边取对数，得两边取对数，得，)2ln()1ln()1ln(231ln xxxy两边对两边对x求导

36、，得求导，得111112,3112yyxxx 例例 20 设设2(1),.(1)(2)xyyxx 求求3所以所以12113112 yyxxx.211112)2)(1()1(3132 xxxxxx利用对数求导数，容易证明利用对数求导数，容易证明1()()xx 为为任任意意实实数数十二、由参数方程所确定的函数的导数十二、由参数方程所确定的函数的导数定义定义 若参数方程若参数方程()()xtyt确定确定 x 是是 y 的函数，的函数，则称此函数关系为由参数方程所确定的函数则称此函数关系为由参数方程所确定的函数.y 与与 x 构成复合函数构成复合函数1()().ytx 利用反函数与复合函数的求导法则，

37、有利用反函数与复合函数的求导法则，有dddd()d.dddd()dyyytttxxtxtt例例 21cosd,.sindxatyyatx已已知知求求coscotsinattat ddddddyytxxt解解 (sin)(cos)atat例例 222arctand,.ln(1)dxtyytx已已知知求求解解 ddddddyytxxt2221211tttt十三、综合杂例十三、综合杂例例例 232lncos(103),.yxy求求解解221cos(103)cos(103)yxx222sin(103)(103)cos(103)xxx26 tan(103)xx 例例 24 确定确定 y 是是 x 的导数

38、，的导数，求求y .22lnarctanyxyx解解221lnarctan2yxyx222211(22)2()1y xyxyyxyxyx 2222xyyxyyxyxyxyyxy 于是得于是得例例 2521,02,01(),().1,1214,22xxxxf xfxxxxx求求解解当当 x 0 时，时，()1fx当当 0 x 1 时，时，()2fx当当 1 x 2 时，时，()1/2fx在在 x=0，x=1，x=2，处，根据第三节例，处，根据第三节例9，有，有(0)(1)2(2)fff，不不存存在在，不不存存在在，故故可可得得21,02,01()1,1214,22xxxxf xxxxx可以看出：

39、导函数的定义域不超出函数定义域，即可以看出：导函数的定义域不超出函数定义域，即()()D fD f 例例 26 ()(ln)()(2).nnf ufxfxafxa，已已知知可可导导，求求及及解解(ln)fx表示对表示对 lnx 求导，求导，(ln)fx 表示对表示对 x 求导求导.()()()nnnfxafxaxa1()()nnn xafxa1(ln)(ln)(ln)(ln)fxfxxfxx故故1(2)(2)(2)nnfxan fxafxa1(2)(2)(2)nn fxafxaxa12 (2)(2)nn fxafxa例例 272()()efxyy x已已知知，若若1()()().2()fay

40、ay af a，求求证证证证22()2()()e()e2()()fxfxy xfxf x fx222()()()()e2()()1 e2()e2()fafafay af a faf af a由题设有由题设有2()()efay a 所以所以()().y ay a返回本章目录返回本章目录如果可以对函数如果可以对函数 f(x)的导函数的导函数 f (x)再求导，再求导，所得到的一个新函数，所得到的一个新函数，称为函数称为函数 y=f(x)的二阶导数，的二阶导数，.dd22xy记作记作 f (x)或或 y 或或如对二阶导数再求导，则如对二阶导数再求导，则称三阶导数，称三阶导数，.dd33xy记作记作

41、f (x)或或 四阶或四阶以上导四阶或四阶以上导数记为数记为 y(4)，y(5)，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ，而把而把 f (x)称为称为 f(x)的一阶导数的一阶导数.第六节第六节 高阶导数高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 例例 1设设 y=ex，求，求 y(n).y =ex，y =ex，y(n)=ex.解解例例 2设设 y=ln(1+x).求求 y(0)，y(0)，y(0)，y(n)(0).，xy 11解解，21)1)(1()1(xxy；1)0(y；1)0(y，3)1)(2)(1(xy；!2)2()1()0(y,)1)(3)(2)

42、(1(4)4(xy；!3)1()3)(2)(1()0(3)4(y,)1)(1()3)(2)(1()(nnxny )1()2)(1()0()(nyn)!.1()1(1 nn例例 3设设 y=sin x，.ddnnxy求求解解，2sincosdd xxxy，22sin2cosdd22 xxxy，23sin22cosdd33 xxxy()(sin)sin.2nnxx 返回本章目录返回本章目录同理同理()(cos)cos.2nnxx 先来看一个例子，边长为先来看一个例子，边长为 x 的正方形，的正方形，其面积增加多少？其面积增加多少？面积的增加部分记作面积的增加部分记作 S，则则 S=(x+x)2-x

43、2=2x x+(x)2，设正方形的面积为设正方形的面积为 S，当边长增当边长增加加 x 时，时，一、微分的概念一、微分的概念第五节第五节 微分微分x 0 x S 包括两部分：包括两部分：(1)2x x：是：是 x 的线性函数的线性函数(2)(x)2：当当 x0 时，是时，是 比比 x 较高阶无穷小量较高阶无穷小量当当 x 很小时，可用很小时，可用 2x x 近似表示近似表示 S，将将(x)2 忽略忽略其差其差 S-2x x 是一个比是一个比 x 高阶的无穷小量，高阶的无穷小量，我们把我们把 2x x 叫作正方形面积叫作正方形面积 S 的微分，记作的微分，记作dS=2x x定义定义设函数设函数

44、y=f(x)在点在点 x 的一个邻域的一个邻域内有定义，内有定义，y=A x+o(x)，(x0)其中其中 A 与与 x 无关，无关，o(x)是是 x 的高阶无穷小量的高阶无穷小量，则称则称 A x 为函数为函数 y=f(x)在在 x 处的微分，记作处的微分，记作 dy，即，即dy=A x.这时也称函数这时也称函数 y=f(x)在点在点 x 处处可微可微.如果函数如果函数 f(x)在点在点 x 处的改变量处的改变量 y=f(x+x)-f(x)可以表示为可以表示为 则 函 数则 函 数 y=f(x)在点在点 x 处可导，处可导，反 之，如反 之，如果函数果函数 y=f(x)在点在点 x 处可导，处

45、可导，证证因为因为 f(x)在点在点 x 处可微，处可微，.0lim0 xx 其中其中.)(limlimlim000AxAxxAxyxxx 即即 f(x)在点在点 x 处可导，且处可导，且 A=f (x).y=A x+.且且 A=f (x).所以有所以有定理定理 4设函数设函数 y=f(x)在点在点 x 可微，可微，则则 f(x)在点在点 x 可微可微.从而有从而有，)(xfxy0lim 0 x其其中中(这是根据极限与无穷小的关系得出的这是根据极限与无穷小的关系得出的).).得得 y=f (x)x+x.,0limlim00 xxxx因因为为所以，函数所以，函数 f(x)可微可微.且且dy=f

46、(x)x.反之，因反之，因 f(x)在在 x 处可导，处可导，即即，)(lim0 xfxyx 上述定理可叙述为：上述定理可叙述为：函数函数 f(x)在在 x 处可微的充处可微的充要条件是函数要条件是函数 f(x)在在 x 处可导处可导.上式也可以写为上式也可以写为).(ddxfxy 为了方便起见，把自变量的增量为了方便起见，把自变量的增量 x 写成写成 dx，即即 x=dx.从而函数的微分可写成从而函数的微分可写成dy=f (x)dx 解解因为因为，12xy 所以所以，d2dxxy .d2d2|d11xxxyxx 例例 1求函数求函数 y=2ln x在在x 处的微分，并求当处的微分，并求当 x

47、=1 时的微分时的微分(记作记作dy|x=1).NTMP二、微分的几何意义二、微分的几何意义如图所示，如图所示，就是曲线就是曲线 y=f(x)在点在点 P 处切线的纵坐标在相处切线的纵坐标在相应处应处 x 的增量，的增量，而而 y 就就是曲线是曲线 y=f(x)的纵坐的纵坐标在点标在点 x 处的增量处的增量.xx+xy=f(x)yx OPN=dx，NM=y，所以所以 dy=NT，NT=PNtan=f (x)dx，即函数即函数 y=f(x)的微分的微分 dyMNPNTNdy 定理定理 5设函数设函数 u、v 可微，可微，则则d(u v)=du dv.d(uv)=udv+vdu.)0(ddd2 u

48、uuvvuuv三、微分的基本公式及其运算法则三、微分的基本公式及其运算法则基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式dc=0.dx =x-1dx.dex=exdx.dax=axlnadx.xdln.d1xx xadlog.dln1xaxdsin x=cos xdx.dcos x=-sin xdx.dtan x=sec2 xdx.dcot x=-csc2 xdx.dsec x=sec xtan xdx.dcsc x=-csc xcot xdx.xdarccos xdarctan xdarccot xdarcsin.d112xx.d112xx .d112xx.d112xx 例例 2设设 y=3e

49、x tanx，求求 dy.解解dy =d(3ex)dtan x=3dex sec2 xdx=3exdx sec2 xdx=(3ex sec2x)dx.例例 3 设设 y=excos x，求，求 dy.解解dy =d(excos x)=ex dcos x+cos xdex=ex(cos x-sin x)dx.例例 4,11 22xxy 设设求求 dy.解解2211ddxxy 222222)1()1)d(1()1d()1(xxxxx .d)1(422xxx 四、四、微分形式的不变性微分形式的不变性如果函数如果函数 y=f(u)对对 u 可导，则可导，则(1)当当 u 是自变量时，函数的微分为是自变

50、量时，函数的微分为dy=f (u)dx(2)当当 u 不是自变量，而是不是自变量，而是 x 的可导函数的可导函数u=(x)时时 由复合函数求导公式，由复合函数求导公式，y 对对 x 的导数为的导数为d()()dyfuxxdy=f (u)(x)dx 于是于是由于由于du=(x)dx，所以上式可写为所以上式可写为dy=f (u)du.从上式的形式看，从上式的形式看，它与它与 y=f(x)的微分的微分 dy=f (x)dx 形式一样，这叫一阶微分形式不变性形式一样，这叫一阶微分形式不变性.其意义是：不管其意义是：不管 u 是自变量还是中间变量，函是自变量还是中间变量，函数数 y=f(u)的微分形式总