高等数学(上册)(慕课版)第四章-不定积分课件.pptx

1、导学高等数学（上册）（慕课版）第四章 不定积分2第四章 不定积分微分学和积分学是微积分学的主要组成部分他们具有对立的统一性，本章主要内容包括：从运算的角度看微分运算的逆运算就是不定积分.不定积分在定积分的计，不定积分的概念；不定积分的性质；基本积分表；基本积分法.算、微分方程求解中有广泛的应用.导学内容01不定积分的概念基本积分表0201 不定积分的概念4不定积分从本质上说就是被积函数的原函数族.()()f xIF x原原函函数数：设设函函数数在在区区间间 上上有有定定义义如如果果存存在在函函数数使使得得对对任任意意的的，()()d()()d()()xIF xf xF xf xxF xf xI

2、，都都有有或或则则称称为为在在区区间间 上上的的一一.个个原原函函数数()()()F xf xf xC ，不不定定积积分分：如如果果是是 的的一一个个原原函函数数则则的的带带有有任任意意常常数数的的原原()()()d.F xCf xf xx，函函数数称称为为函函数数的的不不定定积积分分记记作作01 不定积分的概念5不定积分的性质：d1.()d(),df x xf xx3.()d()dkf xxkf xx，2.()()df xg xx(,0).kk 是常数d()d()d,f xxf xx()d(),F xxF xCd()(),F xF xC()d()df xxg xx导学内容不定积分的概念基本积

3、分表010202 基本积分表7(1)d();k xkxCk是常数1(2)d(1);1xxxC d(3)ln;xxCx21(4)darctan;1xxCx21(5)darcsin;1xxCx(6)cos dsin;x xxC(7)sin dcos;x xxC02 基本积分表8(15)cot dln sin;x xxC(14)tan dln cos;x xxC(16)sec dln sectan;x xxxC22d(8)secdtan;cosxx xxCx22d(9)cscdcot;sinxx xxCx(10)sec tan dsec;xx xxC(11)csc cot dcsc;xx xxC(1

4、2)d;xxexeC(13)d,(0,1);lnxxaaxCaaa02 基本积分表922d1(19)arctan,(0);xxCaaxaa22d(20)arcsin,(0);xxCaaax22d1(18)ln,(0);2xxaCaxaaxa22221(21)dln(),(0);xxxaCaxa22222(22)darcsin,(0).22axxaxxaxCaa(17)csc dln csccot;x xxxC第一讲 不定积分的概念与性质高等数学（上册）（慕课版）第四章 不定积分本讲内容01原函数不定积分的概念02不定积分的几何意义03不定积分的性质04基本积分公式05一、原函数12定义4.1(

5、)()F xf xIxI 设是定义在区间 上的函数 若对任意的都有,3232()33(,)xxxx 例如 因为所以 是在内的一个原函数；,()()d()()d,或F xf xF xf xx,()()F xf xI则称是在区间 上的一个原函数.(sin)cossincos(,)xxxx 所以是在内的一个原函数.,一、原函数13()()f xIF x若函数在区间 上连续 则在该区间上一定存在可导函数,()()()F xf xIf xI设函数是在区间 上的一个原函数 那么在区间 上,上连续函数一定有原函数.()().xIF xf xI使得对任意 都有：即区间().F xCC的任意一个原函数可以表示为

6、其中是任意常数,定理4.1定理4.2原函数存在定理02本讲内容原函数不定积分的概念不定积分的几何意义03不定积分的性质04基本积分公式0501二、不定积分的概念15定义4.2()()()如果是在区间 上的一个原函数 则在区间 上带有任意F xf xIf xI,xC称为积分变量 任意常数称为积分常数.,()()F xCf xI常数的原函数称为在区间 上的不定积分 记作,()d f xx即 ,()d().f xxF xC()()df xf xx其中 称为积分号 称为被积函数称为被积表达式,03本讲内容原函数不定积分的概念不定积分的几何意义不定积分的性质04基本积分公式050102三、不定积分的几何

7、意义17()()()f xIF xf x 通常把函数在区间 上的原函数的图形称为函数 的积分.()C F xC曲线 即对于确定的常数表示坐标平面上一条确定的积分曲线；,平移而得到 它们在具有相同横坐标的点处,()CF xC当 取不同数值时在几何上就表示一簇积分曲线.,()d()()由可知的不定积分是一簇积分曲线f xxF xCf x,这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下yOxy=F(x)y=F(x+C)有互相平行的切线.04本讲内容原函数不定积分的概念不定积分的几何意义不定积分的性质基本积分公式05010203四、不定积分的性质19(1)()d()d()d()d.或f xxf xf xxf x

8、x,(2)()d()d()().或F xxF xCF xF xC,即 在不计积分常数的意义下 求不定积分的运算与求微分的运算互为逆运算.,()d()d().为非零常数kf xxkf xx k即 计算不定积分时 被积函数中的非零常数因子可以移到积分号的外面.,1212()()d()d()d.f xfxxf xxfxx性质4.1性质4.2性质4.305本讲内容原函数不定积分的概念不定积分的几何意义不定积分的性质基本积分公式01020304五、基本积分公式1.d.();为常数k xkxCk6.sin dcos;x xxC 112.d(1);1 xxxC 13.dln|;xxCx4.d(0,1);ln

9、 xxaaxC aaa5.e de;xxxC 五、基本积分公式7.cos dsin;x xxC2113.darcsin;1 xxCx28.secdtan;x xxC29.cscdcot;x xxC 10.tan sec dsec;xx xxC11.cotcsc dcsc;xx xxC 2112.darctan;1 xxCx五、基本积分公式23 1例 解42d.1求不定积分xxx44222221 1(1)(1)1ddd111xxxxxxxxxx 222211(1dddd11)xxxxxxxx 31arctan.3xxxC五、基本积分公式24 2例22d.sincos求不定积分xxx222222d

10、(sincos)dsincossincosxxxxxxxx22ddcossinxxxxtancot.xxC 解法一第二讲 第二换元积分法25 解法二2222d4dsincos4sincosxxxxxx222d(2)2 csc 2 d(2)sin 2xxxx2(cot2)2cot2.xCxC 五、基本积分公式26 3例 解22cos2d.cossin求不定积分xxxx222222cos2cossinddcossincossinxxxxxxxxx2211dsincosxxxcottanxxC 第二讲 第一换元积分法高等数学（上册）（慕课版）第四章 不定积分第二讲 第一换元积分法28定理4.3注()

11、()()f uF uux设有原函数且是可导函数 则,()()()g xfxx一般地 如果被积函数可以写成可如下进行：,上述求不定积分的方法称为第一换元积分法 又称为凑微分法.,该公式称为第一换元公式.()()d()fxxxFxC()()()d()d)()d()()xuuxg xxfxxf uuF uCFxC(.第二讲 第一换元积分法29 1例 解221d(0).求 x aax2211111dd()d()()2xxxaxax axaaxax2211dln|.2类似可得 axxCxaaax11(ln|ln|)ln|.22axaxaxCCaaax111111(dd)d()d()22xxaxaxaax

12、axaaxax第二讲 第一换元积分法30 2例 解法一csc d.求x xcsc ddsindsinsin x xxx xxxcoslnln|csccot|sinxCxxCxdcoscosxx 利用例 结论，得cos(cos)lnlncoscosxxCCxx原式 第二讲 第一换元积分法31ddcscdsincostancos xxx xxxxx 解法二d tanln tantanxxCxln|csccot|.xxC1 coscsccotsinxxxx2sin2sin22tan2cos2sincos222xxxxxx第二讲 第一换元积分法32csccotcsccscddcsccot()xxxx

13、xxxxsecdln|sectan|.类似可得 x xxxC 解法三ln|csccot|.xxCcsccsc cotdcsccot xxxxxxd csccotcsccot()xxxx第二讲 第一换元积分法33 3例 解35cossind.求不定积分xx x3525cossindcossindsinxx xxxx6811sinsin.68xxC25(1 sin)sindsinxxx57sindsinsindsinxxxx第二讲 第一换元积分法341(1)()d()d(),(0);f aubuf aubaubaa几种常用的凑微分求解的形式：11(2)()d()d(),(0,0);nnnnf au

14、b uuf aubaubanna1(3)()d()d(),(0,1);ln uuuuf ab auf ababaaa1(4)()d2()d();fuufuuu21111(5)()d()d);(fufu uuu 第二讲 第一换元积分法351(6)(ln)d(ln)d(ln);fuufuuu(7)(sin)cos d(sin)d(sin);fuu ufuu(8)(cos)sin d(cos)d(cos);fuu ufuu 2(9)(tan)secd(tan)d(tan);fuu ufuu21(10)(arcsin)d(arcsin)d(arcsin);1 fuufuuu2211(11)(arcta

15、n)d(arctan)d(arctan),(0);uuufufaa axaaa()(12)dln().()f uuf uCf u第二讲 第一换元积分法36 4例 解解22(ln)(1)()()d;(2)d.求下列积分：fxxf xfxxxx2(1)ux 设则,221().4f xC222221()()d()()d2x f xfxxf xfxx11()()d()d()22f u f uuf uf u21()4f uC第二讲 第一换元积分法37接前(ln)(2)d.fxxx(2)lnvx 设 则,解解(ln).fxC(ln)d(ln)(ln)dfxxfxxxx(ln)dln()dfxxf vv()

16、f vC第三讲 第二换元积分法高等数学（上册）（慕课版）第四章 不定积分第三讲 第二换元积分法39定理4.4()()0 xtt设是单调的可导函数 且,()d()()一般地 求积分时 如果设且满足定理f xxxtxt,该公式称为第二换元公式.()()()fttt又设的一个原函数为则,1()d(),f xxxC 11()()()d()()d()().xttxf xxfttttCxC 4.4的条件 根据第二换元公式求积分的过程如下：,第三讲 第二换元积分法401.换元积分法在进行换元后 都需要还原为原变量的函数.,注接积分法和第一换元法计算的题目.2.第二换元积分法经常用于被积函数中出现根式 且无法

17、用直,第三讲 第二换元积分法41 1例 解22d(0).求axx asin()dcos d22xattxat t 令则于是有,22sin2()(sin cos).242ttaaCtttC为了将上式结果还原为原来的变量 引入一辅助直角三角形如图所示：,22sinsincosarcsinxaxxxattttaaa 因为所以,22222darcsin.22所以 axxaxxaxCa222221 cos2dcoscos dcosdd2taxxat at tat tataa2-x2tx第三讲 第二换元积分法42 2例224d(0).axx xxsin()dcos d22xaxa 令则于是有,解法一332

18、22222231().33axaxCCaxa x 22224442cos1dcosdcotcscdsinaxaxaxaa 232211cotd cotcot3Caa aa2-x2x第三讲 第二换元积分法43.本题除了可以用三角代换求解之外 还可以用倒代换,21(0)dd1设则于是有xtxttt,32 22 22 2222111d1123()()a ta ta tCaa 322223().3axCa x 解法二22222 242411dd1d1()aaxtxtt a ttxtt 第三讲 第二换元积分法44.求不定积分时 要分析被积函数的具体情况选取尽可能简单的代换,cot dln sin18.;

19、x xxC0:a 另外 在基本积分公式中 再添加几个常用的积分公式（其中常数）,22114.darcsin;xxCaax221115.darctan;xxCaxaa221116.dln;2axxCaxaax17.tan dln|cos|;x xxC 第三讲 第二换元积分法4519.sec d;seclntanx xxxC22222arcsin22.d.22axxaxxaxCa20.csc dln csccot;x xxxC2222121.dln;xxxaCxa第三讲 第二换元积分法46 3例 解2arctand.1求xxx2arctand1xxx21(arctan).2xCarctand(ar

20、ctan)xx第三讲 第二换元积分法47 4例 证32d.求xxx65,d6d,令则于是有xuxuu366366ln 1.xxxC5223432d6(1)1d6d6d11xuuuuuuuuuuxx2161d366ln 11uuuuuCu 第四讲 分部积分法高等数学（上册）（慕课版）第四章 不定积分第四讲 分部积分法49定理4.5注(),()uu x vv xI设在区间 上都有连续的导数 则有,dd如果求有困难 而求比较容易时 分部积分公式就可以起uv xu v x,上述公式被称为分部积分公式.()()d()()()()du x v x xu x v xu x v xx简记为dduv xuvu

21、v x或ddu vuvv u到化难为易的转化作用.第四讲 分部积分法50(1)()d;由要容易求得 v xxv分部积分法应用的基本步骤为：dddduv xu vuvv uuvu v x.d.d分部积分法的关键在于适当地选择和选取和一般要考虑下面两点：uvuv (2)dd.要比容易积分v uu v第四讲 分部积分法51 1例 解arctand.求不定积分 xx x2arctan2xux v 选 则,如果被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积可用,211arctanarctan.22xxxxC2221arctan darctan d)arctand arctan)222(xxxx xxxxx

22、22222111arctandarctan1d22 1221()xxxxxxxxx.uv分部积分法 并选反三角函数或对数函数为幂函数选作,注第四讲 分部积分法52 2例 解解e cosd.xx x求求不不定定积积分分e cosd令则有xIx x,出现变量再现1e(cossin).2即 xIxxCcosdee cose dcosxxxIxxxe cose sinde cossindexxxxxx xxxe cose sine dsin原式xxxxxxe cose sine cos dxxxxxx xe cose sinxxxxI12e cose sin,所以 xxIxxCcos,e选 xux v

23、sin,e选 xux v第四讲 分部积分法53 3例 解解sin cosd.求不定积分 xxx x1sin cosdsin2 d2xxx xxx x1,cos22ux vx 选 11sin2cos2.84xxxC11sin2 d(2)d(cos2)44xxxxx 1cos2cos2 d4xxx x 11cos2cos2 d(2)42xxxx 11cos2sin242xxxC sec,tanux vx选 第四讲 分部积分法54 4例 解3secd.求不定积分x x32secdsecsecdIx xxx xsec tanln sectanxxIxxsecdtansec tantandsecxxxx

24、xx2sec tantansecdxxxx x2sec tan(sec1)secdxxxx x3sec tansecdsecdxxx xx x第二讲 第二换元积分法55接前即11sec tanln sectan.22IxxxxC12sec tanln sectanIxxxxC所以第五讲 有理函数的积分高等数学（上册）（慕课版）第四章 不定积分本讲内容01有理函数的积分三角有理函数的积分02一、有理函数的积分581.有理函数的相关概念(),()P xQ x两个多项式函数的商称为也称为有有理函数理分式.00.b 有理分式的一般表达式为 10111011(),()nnnnmmmma xa xaxaP

25、 xQ xb xb xbxbLL 01010,;,0nnm na aab bba其中为自然数及都是实数 并且LL,一、有理函数的积分59在有理分式中,nm当 时 称之为真分式 例如 ,2356()xxxnm真分式；nm当 时 称之为假分式 例如,3222(33,5.66)5xxxxxmxn假分式一、有理函数的积分60根据多项式的除法 任意一个假分式都可以化为一个多项式和一,.的积分比较简单 所以只需要讨论真分式的积分,个真分式的和.例如 3222232111xxxxxx 因此 有理函数的积分可以转化为多项式或真分式的积分多项式,一、有理函数的积分612.真分式的积分()()P xQ x真分式可

26、以被分解为如下最简分式的和：待定常数，利用待定系数法可以将所有的系数确定.121211()()AAABBP xQ xxaxaxaxbxbLLL11221222BM xNM xNM xNxbxpxqxpxqxpxqLL 11221222R xSR xSR xSxrxsxrxsxrxsLL 111111,AABBMMNNRRSSLLLLLLL其中等为一、有理函数的积分62 1例 解23d.56求不定积分xxxx2356xxx被积函数是真分式 可分解为最简分式之和,125,6AA 解得,1223356(2)(3)23AAxxxxxxxx12,.A A其中为待定系数在分解时两端消去分母得 121212

27、3(3)(2)()(32)xA xA xAA xAA 12121,323AAxAA比较 的各次幂的系数得 121212,3(3)(2)25,36.A AxA xAxxAxA 求还可以用特殊值法：设将代入得 将代入得,一、有理函数的积分63接前从而 5ln26ln3.xxC 23565623xxxxx所以 2356ddd5623 xxxxxxxx一、有理函数的积分64 2例 解2d.(2)(3)求不定积分xxxx先将被积函数分解为最简分式之和13222,33,02.xAxAxA 特殊值法：,1212312306519620AAAAAxAAA比较 的各次幂的系数得 31222(2)(3)23(3)

28、AAAxxxxxx通分得2123(3)(2)(3)(2)xA xA xxA x 212123123()(65)(962)xAA xAAA xAAA即 一、有理函数的积分65接前123223AAA 解得 从而 ,32ln22ln3.3xxCx 22223(2)(3)23(3)xxxxxx所以 22223dddd(2)(3)23(3)xxxxxxxxxx02本讲内容有理函数的积分三角有理函数的积分01二、三角有理函数的积分67(sin,cos).Rxx算构成的函数记作,万能公式：sincosxx 所谓三角有理函数 是指由与常数经过有限次的四则运,2222221tan1tan22coscossin.

29、22sec1tan22xxxxxxx222tan2tan22sin2sincos,22sec1tan22xxxxxxx二、三角有理函数的积分68.利用万能公式可以将三角有理函数转化为有理函数2222212(sin,cos)d,d111uuRxxxRuuuu22tan,2arctan,dd,21令则于是xuxuxuu二、三角有理函数的积分69 3例 解41d.sin求不定积分xx22tan,2arctan,dd,21令则于是xuxuxuu331133833uuCuu4422112ddsin121xuxuuu24641 33d8uuuuu331331tantan.822428tan24 tan22

30、xxCxx 本章小结高等数学（上册）（慕课版）第四章 不定积分70本章小结01知识点归纳教学要求和学习建议02 1 知识点归纳72不定积分不定积分概念不定积分的定义直接积分法换元积分法分部积分法积分法定义原函数存在定理原函数不定积分的性质不定积分与求导、微分运算的互逆性线性性质原函数族基本积分公式第一类换元积分法(凑微分法)第一类换元积分法三角代换法根式代换法倒代换法 小结01知识点归纳教学要求和学习建议02 2 教学要求和学习建议74（1）理解原函数与不定积分的概念 掌握不定积分的性质,熟记基本积分表.（2）掌握换元积分法与分部积分法.（3）把真分式分解成部分分式.会计算有理函数、三角有理式及简单无理函数的积分.（4）2 教学要求和学习建议75深刻理解掌握深刻理解并掌握原函数和不定积分概念的本质会用不定积分的性质分析并解决求导、微分运算的逆运算问题熟练掌握熟练掌握不定积分的计算方法不定积分不定积分概念积分法不定积分的定义直接积分法换元积分法分部积分法原函数不定积分的性质学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）