计算方法第一章课件.ppt

1、1 教教 材材：数值计算方法 曾金平 主编 湖南大学出版社，2006 参参考考教教材材：计算方法 邓建中，刘之行 编 西安交通大学出版社，2004 前前期期课课程程：数学分析、高等代数、常微分方程 2引引 言言第一章3 随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法，已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课，也是工科硕士研究生的学位必修课。4 计算数学：计算数学：常称为数值分析或（数值）计算方法。主要是

2、研究如何运用计算工具（如计算 器、计算机等）去获得数学问题的数值数值 解解的理论和方法。当代实践表明：计算方法正在日趋明显地成为数学 与计算机科学的交叉性科学。对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺少，同时又十分有效。5边缘科学：计算物理，计算力学，计算化学，计算生物学，计算经济学等。算法算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。运算量运算量(计算量计算量)：一个算法所需的乘除运算总次数计算量是衡量一个算法好坏的重要指标计算量

3、是衡量一个算法好坏的重要指标!计算数学的根本任务就是研究算法计算数学的根本任务就是研究算法6 研究数值算法的任务主要有：研究数值算法的任务主要有：(1)(1)构造计算机上可执行的算法构造计算机上可执行的算法(2)(2)构造计算复杂性好的算法构造计算复杂性好的算法(3)(3)构造可靠性好的数值方法构造可靠性好的数值方法计算机上可执行的运算：四则运算逻辑运算尽可能提高数值方法的计算速度和少占存贮空间。选择或研制能达到“数值问题”要求的计算精度的数值方法，为此须研究数值问题的性态及数值方法的稳定性。计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加、减、乘、除等基本运算 数值方法。7例例1.1.11

4、.1.1求二次方程02cbxax求根公式为：aacbbx2422,1aacbsqrtbx2)4(22,1的根。开方运算不能在计算机上直接进行运算，必须化为可在计算机上执行的等价运算。即应化为公式：8例例1.1.21.1.2 已知 a0,a1,a2,an,x,计算多项式：1110().nnnnp xa xaxa xa直接计算：运算量（乘法）1(1)2 1(1).2nnn n 秦九韶算法（1247年）：1210()()nnnp xx xx a xaaaa10,1,2,1,0()nnkkkbabbxa knnp xb运算量：.n9例例1.1.31.1.3 解线性方程组,Axb其中，1212(),(,

5、),(,).TTijn nnnAaxx xxbb bb 克兰姆(Cramer)法则：,1,2,.iiAxinA 运算量(乘除)：(1)!(1)(1)!(1)nnnnnn高斯消元法(Gauss)：运算量(乘除)3211.33nnn2 0n 取Gauss:3060次Cramer:121930.78(10/)19(20+1)!(20-1)5.1 10年次 秒理论上很理论上很“漂亮漂亮”的的CramerCramer法法则则 在计算机上并不适用！在计算机上并不适用！10一个计算过程主要包括如下几个环节：一个计算过程主要包括如下几个环节：(1)(1)数学建模数学建模：将工程问题数学化工程中的数学模型一般可

6、分为三类：(2)(2)算法设计算法设计：将数学问题数值化连续型（确定型）离散型（统计型）不确定型（随机型）本书重点讨论例1.1.4 求解线性方程组bAx 求解二次方程02cbxax是数值问题cbabA,与系数常数项向量输入的数据是系数矩阵21,xxx 和方程的解输出的数据是解向量11求解微分方程0)0(32yxy不是数值问题xxy3,2函数但输出的不是数据而是输入的虽是数据将其变成数值问题，即将其“离散化”xxy32即将求函数nnxxxxyxyxy2121),(,),(),(改变成求函数值“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要方法，这也是计算方法的任务之一12(3)(3)程序设计

7、程序设计：将数值问题机器化软件开发方法：结构化方法：面向过程，“自顶而下，逐步细化”其关键方面：划分模块设计或选择模块的算法充实细节组装式开发方法：面向对象，“自下向上”13例例1.1.51.1.5求二次方程02cbxax的根。此问题本身可看成功能单一的模块数值方法：直接方法，即用求根公式迭代方法（后面将介绍）须考虑的细节：24dbac当大于零或小于零时，需选用不同的公式0ddb当且时，会出现两个近似数相减而影响有效数字的位数a当|较|b|和|c|相对小很多时，有可能出现舍入误差增大14(4)(4)上机运行上机运行：数值模拟物理过程(5)(5)计算结果再表示计算结果再表示：如图像的可视化等(6

8、)(6)可靠性分析可靠性分析：分析计算结果的可靠性，必要时 重复上述过程。其中算法设计是本书的核心内容。本书针对来源于科学与工程中的数学模型问题，介绍计算机上常用的数值方法的算法设计思想并进行算法分析。15 本书研究内容：本书研究内容：对如下五类问题探索数值求解方法 及其与算法有关的理论分析(1)(1)非线性方程求根(2)(2)求解线性代数方程组的数值方法(3)(3)数值逼近：插值逼近和最佳逼近(4)(4)数值微分和数值积分(5)(5)常微分方程数值解法16 将问题可算化的手段：将问题可算化的手段：将问题可算化是设计一个算 法的第一步(1)(1)用有限维空间代替无限维空间(2)(2)用有限过程

9、代替无限过程(3)(3)用简单问题代替复杂问题(4)(4)扰动分析：估计误差或精度17余项(即截断误差)为246221(1)cos1R().24!6!(2)!nnnxxxxxxn cosxx计算的值，其中已知角 的弧度在0和 之间。例例1.1.61.1.6解解246221(1)cos()1.24!6!(2)!nnnxxxxxpxn 2121()cos().nnRxxpx根据微分学的Taylor公式，有将问题可算化，即用有限过程代替无限过程仅包含有限次的四则运算18 构造算法的途径：构造算法的途径：(多用于确定型连续的数学模型)(1)(1)迭代技术（迭代法）(2)(2)离散化技术(3)(3)离散

10、问题解析化技术(4)(4)优化技术19000()()()(),f xf xfxxx()0 ,f xa b求非线性方程在上的实根。例例1.1.71.1.7解解000()()()().f xf xfxxx111000()().xxxxfxf x从此式解出，记为，即若已知根的粗略近似值，根据Taylor公式，有取等式右边前二项近似替代f(x)，就会得到容易求解的线性方程10201kxxxxxx用 代替上面的，进行类似计算，即可得。如此继续下去，可得一系列根的近似值,称为迭代序列11().)()kkkkxxfxf x其中Newton迭代法对于迭代法，通常需考虑迭代对于迭代法，通常需考虑迭代序列的收敛性

11、与收敛效率！序列的收敛性与收敛效率！20计算公式中的运算必须是在计算机上可执行的运算参与运算的数必须是有限小数或整数因此，数值方法中的取数和运算往往会出现误差，算得的结果（称为计算值）一般也为近似值。在任何科学计算中，其解的精确性在任何科学计算中，其解的精确性总是相对的，而误差则是绝对的。总是相对的，而误差则是绝对的。数值方法中的计算公式及参与运算的数，都和数学中的一般情况有所不同，即21一、误差的种类及来源一个物理量的真实值和我们算出的值（即计算值）往往存在差异，它们之差称为误差误差。模型误差在建立数学模型过程中，要将复杂的现象抽象归结为数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响，而对问题作一些

12、简化，因此数学模型和实际问题之间有一定的误差。观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的，受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素限制，不可能获得精确值，由此而来产生的误差。22截断误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算，因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化，对无穷过程进行截断，这就带来误差。!3!2132xxxex!7!5!3sin753xxxxx!4!3!2)1ln(432xxxxx例:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式，由于以后各项都舍弃了，自然产生了误差Taylor展开23舍入误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数，因计算机受到机器字

13、长的限制，它所能表示的数据其位数只能是有限的，如按四舍五入规则取有限位数，由此引起的误差14159265.3414213562.12 166666666.061!311415927.34142136.12 16666667.0!31另外还有过失误差，这类误差是由于模型错误或方法错误所引起的，一般可以避免。24结论：误差是不可避免的误差是不可避免的经过大量的运算之后，积累的总误差有时会大得惊人，因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象。在种误差中，前种是客观存在的，后种是计算方法引起的。数学模型一旦建立，进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差。因此本课程只涉及这种误差。在实际问题

14、中求精确解是没有意义的，求近似解是正常的。问题是如何尽量减少误差，提高精度。25二、误差和误差限定义定义1.2.11.2.1 *xxx设 为准确值，为 的一个近似值。称*()xxx*.x为近似值 的绝对误差，简称误差x因为准确值往往是未知甚至是无法知道的，*()xxx因此往往也无法求出。*()xxx而只能知道绝对值的某个上界，即*|()|().xxxx*()xx数值称为近似值 的一个绝对误差限或误差限,简记为26显然*xxx有时也表示为*xx0且152x 例：对于51000 y15*x1000*y2)(*x5)(*y哪个更精确呢?吗？15*xx准确值的范围*()xxxxyxy对于同一个准确值

15、而言，或 越小，近似值也就越精确。但是对不同的数 和 而言，误差 和误差限 的大小就不完全能反映出近似值和谁的近似程度好。27定义定义1.2.21.2.2 *0 xxx设为准确值，为 的一个近似值。称*()()xxxxxx*x为近似值 的相对误差。*()()rrxxxxx*xr则称为近似值 的一个相对误差限。绝对误差和绝对误差限仅考虑了误差值本身的大小，没有考虑准确值的大小。为了能较好地反映近似值的精确程度，还应考虑准确值的大小。r若存在正数满足28|xr绝对误差限相对误差限*()()xxxxxx|*xr代替相对误差代替相对误差限15*x1000*y2)(*x5)(*y因此%33.13152)

16、(*xr%5.010005)(*yr*x绝对误差用来衡量 的精度高低比较直观，但无法衡量精度的好坏；而相对误差用来衡量精度的好坏更合理。往往未知29例例1.2.11.2.1*2.718 281822.718 28.reee已知，其近似值为，求 的绝对误差限 和相对误差限解解*ee 绝对误差82001000.0|0.000 00182 002000.061026102|*er28718.2102628718.2102661071.0是唯一的并不和*r30例例1.2.21.2.2.,7,5,3求绝对误差限位数的近似值经四舍五入取小数点后若解解65592141.359141.3*142.3*7592

17、141.3*|407000.065002000.004000000.03105.05105.07105.0可见，经四舍五入取近似值，其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位。31三、浮点数与有效数字定点数：小数点的位置固定在个位数后。机器数：计算机中可表示的数。为了提高精度，机器数通常是用浮点数表示的。x在计算机中，一般实数 均按舍入原则表示成：12()0.,mtfl xa aa 称为 进制浮点数称为基数称为尾数或数码称为阶码3212,011ta aa而只能是，中的数字。10()afl x 时称为规格化浮点数。其中基数是正整数，一般取为，但为照顾习惯和书写方便，通常化为十进制数输入或输出。阶码

18、是整数。一定型号的计算机，尾数的位数t是固定的，称为计算机的位数；阶码m也有一定的取值范围：12mmm()0 xxxfl x因此，计算机存储或运算的数 其绝对值|不能过大，否则计算机因“溢出”而停止计算；|也不能过小，否则计算机自动令，得出难以预料的结果。33有4位有效数字有6位有效数字定义定义1.2.31.2.3 *|xxxxxxxxnn1设 为准确值，如果近似值 的误差限是10，即21|()|=|10，2则称，并称的第一个非零数字位到小数点后n位的全部数字准确到小数点后n位的为有效数字。65592141.359141.3*142.3*7592141.3*有8位有效数字1415.3*只有4

19、4位有效数字！由于计算机只能表示有限个数，故通常利用某种舍入规则舍入规则(如四舍五入，截断误差等)，将数进行浮点化。因而势必产生舍入误差。34*12121.(0)mnxa aa bbba 若*1|0.51050.10nn+mmxxxxa（)|()|=10|*1210.000(0)mmnmxbbbb 若10.51050.10nnmmmxb（)|()|10*1210.10(0)knxa aaa 若规格化形式10.5 100.50.10knnkxa|()|10n+m位有效数字n-m位有效数字n位有效数字*xn对于一般情形，设准确到小数点后 位。如何确定有效数字、绝对误差限、相对误差限？说明有效数字位

20、数与小数点的位置无关。只有写成规格化形式后，小数点后的位数才能反映出其有效位数的多少。35因此，根据上述分析，对有效数字有如下结果：定理定理1.2.11.2.1 的近似值满足作为若xx*|xx 0.5 10.kn*1210.100,kmxa aaa，*xn至少有 位有效数字；例例1.2.31.2.3求下列四舍五入近似值的有效数字位数.218.0*1x18002.0*2x180.2*3x0.218*4x2*51018.2x*660.218 0010 x3位3位4位4位3位5位,mn而时,时则nm*xm恰好有 位有效数字。补充36例例1.2.41.2.4个近似值有设395.3x0.4*1x9.3*

21、2x4*3x|*1xx|95.30.4|05.021105.0|*2xx|95.39.3|05.021105.0|*3xx|95.34|05.021105.0*121.2.1xx根据定理，知，都至少有两位有效数字*12,xx即都具有两位有效数字*3?x 也至少具有两位有效数字吗实际上只有1 1位！试求它们的有效数字位数。解解k=1,n=2,m=237例例1.2.51.2.5:1000效数字位数的下面两个近似值的有判断 x9.999*1x1.1000*2x3109999.041010001.0*111|0.1xx33105.0*222|0.1xx44105.0位有效数字有所以3*1x位有效数字却

22、有而5*2x从以上分析可见，四舍五入的近似值的数字都是有效数字而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字。k=3,m=4n=3k=4,m=5n=4*3 411|0.1 0.5 10 xx38定理定理1.2.21.2.2 的近似值的表达式为作为若xx*1210.10,0kmxa aaa*(1)xn若 具有 位有效数字，则其相对误差 满足*xn则 至少有 位有效数字。1|0.5 10n*(2)x反之，若 的相对误差 满足|0.5 10n，证明证明kmaaax10.021*有位有效数字时有当,)1(*nx*|xx nk105.0kkx10|101.0*下面的结果论述了相对误差与有效数字的关系补

23、充39 xx*xx*0.5 10|0.1 10knkxxx1105.0n1|0.5 10n 即*(2)x若 的相对误差 满足|0.5 10n*|xxxk10n105.0k10n105.0nk105.0则有由定理1.2.1可知，*xn至少有 位有效数字。40例例1.2.61.2.6986.11x设014.12x98.1*1x01.1*2x.*2*1误差限的有效数字位数与相对与分别求xx31105.0解解*111*1|xxx0.0061.982105.0*111|0.006xx*12x根据定理1.2.2(2)，至少有 位有效数字。*12x因此，根据定义，只有 位有效数字，不会有3位有效数字。413

24、1105.0*222*2|xxx0.0041.012105.0*222|0.004xx位有效数字必然有经四舍五入得到事实上3,*2x*22x根据定理1.2.2，至少有 位有效数字。*2x因此，有3位有效数字。42定理定理1.2.31.2.3 的近似值的表达式为作为若xx*1210.100kmxa aaa，*(1)xn若 有 位有效数字，则其相对误差满足*xn则 至少有 位有效数字。*111|102na*(2)x反之，若 的相对误差满足*111|102(1)na该结论可以参照定理1.2.2的证明，请同学们自证补充定理说明定理说明:有效数字位数越多相对有效数字位数越多相对 误差限就越小，反之亦然。

25、误差限就越小，反之亦然。43例例1.2.71.2.7少取几位有效数字？，应至的相对误差不超过要使%1.020解解.4201a的首位数是.*20位有效数字有的近似值设nx*11|*|1|10|*|2nxxxa则根据定理1.2.3，相对误差满足001.0104211n%1.0097.3n即应取4位有效数字，近似值的误差不超过0.1%.44四、误差的传播1 1、数据误差的传播、数据误差的传播121212(,),*,*,*nnnyf x xxx xxxxx设，的近似值为，12*(*,*,*)nyf xxx121()*(,)()innixiyyyfxxxx12112(,)()()()(,)innxiii

26、nfx xxyyxxyf x xx由多元函数的Taylor展开公式可得，的绝对误差绝对误差为：相对误差相对误差为：称为 f 的条件数，其绝对值的大小可反映函数值对数据的敏感程度45利用上面的误差估计公式，可以得到两个数的和、差、积、商的误差估计和、差、积、商的误差估计121212211221212212121212121212121212()()(/)/()()(/)xxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxx 462 2、舍入误差的传播、舍入误差的传播()()txfl xfl x在字长为 的十进制计算机中，设 经四舍五入得到机器数，即浮点数，且的浮点表示形式为1()0.5 105,|0

27、.tfl x-xxxat|()|=10()fl x为的一个相对误差限。121()0.10(0),mtfl xa aaa 12()()ta aafl xtfl x则为的 位有效数字，且的相对误差满足因舍入导致的相对误差限仅与计算机的字长有关，通常称相对误差限 为计算机的相对精度计算机的相对精度。5t10即5t1047()(1),|5 10.tfl xx在计算机中，数需首先转化为机器数，比如浮点数，在运算器中参与运算后仍需将运算结果转化成浮点数的形式进行存储。()()fl xxxx令，则有12xx设，为浮点数，则12121121221212312124()()(1),()()(1),()()(1)

28、,(/)(/)(1),fl xxxxfl xxxxfl x xx xfl xxxx|5 101,2,3,4.tii其中48由上面的讨论可以看出，为了求得满意的计算解，在选用计算公式和设计算法时，都应注意如下普遍原则：(1)防止大数吃小数主要由计算机的位数引起选用算法应遵循的原则选用算法应遵循的原则计算机中数的计算特点：计算机中数的计算特点：加法先对阶，后运算，再舍入。乘法先运算，再舍入。不在计算机数系中的数做四舍五入处理。49计算机在进行运算时，首先要把参加运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数。例例1.2.81.2.8在四位浮点十进制数的计算机上计算1+104 解解1+104

29、=0.1000 101+0.1000 105=0.00001 105+0.1000 105(对阶计算)=0.10001 105 =0.1000 105=10450作一个有效数字为4位的连加运算4697.0,4896.0,4987.01234.0104吃了将小数大数而如果将小数放在前面计算4012.04697.04896.04987.01234.01041234.01041234.0104012.04697.04896.04987.041236.0104在作连加时，为防止大数吃小数，应从小到大进行相加从小到大进行相加，如此，精度将得到适当改善。当然也可采取别的方法。例例1.2.91.2.951(

30、2)作减法时应避免两个相近数相减两个相近的数相减，会使有效数字的位数严重损失！例例1.2.101.2.10用四位浮点数计算 76017591解解522102.0101316.0101318.076017591只有一位有效数字,有效数字大量损失，造成相对误差扩大。56101734.0105768.01760759176017591结果仍然有四位有效数字。这说明了算法设计的重要性。在算法设计中，若可能出现两个相近数相减，则改变计算公式，如使用三角变换、有理化等等。52例例1.2.111.2.11解方程010)110(992xx解解方程的精确解为9110 x12xaacbsqrtbx2)4(22,1

31、而如果在字长为8，基底为10的计算机上利用求根公式1109b10101.0100.000000000110机器吃了因此在计算机上10101.0b101000000000.010101.091053aacbsqrtbx2)4(21)4(2acbsqrt92101014)101.0(910 aacbsqrtbx2)4(22可得利用根的关系acxx21999102101002101099,1x若已算出121xacx110111099上式是解二次方程的数值公式2x的值与精确解差别很大！54(3)避免小数作除数和大数作乘数()y2112xx21xxy对于21xxy 对于()y2221121xxx|21x

32、x或()y|2x()y小数作除数或大数作乘数会产生溢出错误，因而产生大的误差。在算法设计时，要避免这类情况在计算公式中出现。此时可以根据一些具体情况,把某些算式改写成另一种等价的形式，如分母有理化等。根据误差传播的估计式55算法的稳定性算法的稳定性如前所述，由于各种误差的存在，计算机往往只能近似地求解实际问题，因而计算时会冒风险。例例1.3.11.3.1分析Wilkinson多项式的根对系数的敏感程度。见书P15例1.3.2可以看出：Wilkinson（威尔金森）多项式系数的微小变化，引起多项式根的剧烈波动。因此，Wilkinson多项式的根对系数相当敏感。一、问题的性态56123123123

33、111123611113234121114734560 xxxxxxxxx1231231230.500.331.80.500.330.251.10.330.250.200.78xxxxxxxxx如把方程组的系数舍入成两位有效数字它的精确解为x1=-6.222.x2=38.25 x3=-33.65.例例1.3.21.3.2求解线性方程组其精确解为 x1=x2=x3=1.57若对方程组的系数和中间结果均取3位10进制有效数字，然后用Gauss消元法求解，得到计算解为：1231.090.4880.491.xxx，123123132314254226xxxxxxxx显然，该计算解的精度较差。同样用Ga

34、uss消元法求解方程组：也取3位10进制有效数字，得到计算解为：1239.001.006.00.xxx ，容易验证，它是方程组的精确解。58上述例子表明，数值问题计算解的精度，与数值问题本身的性态有关。定义定义1.3.11.3.1 在数值问题中，如果输出数据对输入数据的扰动（如误差）很敏感，即若输入数据（如原始数据）有较小的变化，会引起输出数据（如计算解）的较大变化，称这类数值问题为病态问题或坏条件问题。非病态问题又称为良态问题。当计算机用近似计算求解病态问题时，是相当冒险的，得到的结果可能根本不可靠。因此，处理病态问题必须非常小心，一般应采用高精度算法。对于良态问题，由于舍入误差的影响，不恰

35、当的算法同样可引起计算结果的不可信。59二、算法的稳定性与设计原则例例1.3.31.3.3101dxexeIxnn计算定积分7,2,1,0n解解nI101xndexe101xnexe101dxexenxn11nnI0,I(1)先计算721,III然后再计算一个程序往往要进行大量的四则运算才能得出结果，每一步的运算均可能会产生舍入误差。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。60,*00II 的近似值为假设计算出*0().I 误差为*111()III 的近似值 的误差为*222()2III 的近似值 的误差为*333()3!III的近似值 的误差为*777()7!III的近似值 的

36、误差为5040误差放大 5千倍!并假设计算过程中不产生新的舍入误差。11nnInI 误差会放大由公式可推出：61显然算法不稳定。理论上成立的算法，在计算机上计算时，由于初值的误差在计算过程中的传播，而导致结果的失真，这是我们数值计算方法所要研究的。nIInn11(2)利用递推公式,7I先计算!570千分之一误差的的误差只有 II误差不会放大数值稳定，在运算过程中，舍入误差不增大。62111nnenne若步的误差与 步的误差满足，则称为绝对稳定的，否则称为不是绝对稳定的。定义定义1.3.21.3.2 如果对于良态问题，在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,否则就称之

37、为不稳定的算法。前面的例子说明，不稳定的算法可能导致计算结果不可靠甚至严重失真。因此，在计算时，应该采用稳定的数值计算方法。63算法优劣的标准算法优劣的标准从截断误差观点看，算法必须是截断误差小，收敛速 速要快。即运算量小，机器用时少。从舍入误差观点看，舍入误差在计算过程中要能控 制，即算法的数值要稳定。从实现算法的观点看，算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现.64设计算法时应遵循的原则设计算法时应遵循的原则要具有数值稳定性，即能控制误差的传播。避免大数吃小数，即两数相加时，防止较小的数加 不到较大的数上。避免两相近的数相减，以免有效数字的大量丢失。避免分母很小或乘法因子很大，以免产生溢出。65