（高中青年数学教师教学技能 专业成长培训课件）新教师如何上好高中数学课课件.ppt

1、我讲三个方面我讲三个方面 一做一名好教师我觉得应具备两个条件 二怎样做一名受学生欢迎的老师 三怎样做好教学：“六认真”一。做一名好教师我觉得应具备两个条件：A A。把教师这个职业当成自己一生的事业，。把教师这个职业当成自己一生的事业，用心去呵护。用心去呵护。B B。具有丰富专业知识，良好的教学艺术。具有丰富专业知识，良好的教学艺术。二怎样做一名二怎样做一名受学生欢受学生欢迎的老师迎的老师 A A、平等、尊重、热爱学生。、平等、尊重、热爱学生。B B、在学习上带给学生安全感的教师、在学习上带给学生安全感的教师 （一）（一）认真备课，常备常新。认真备课，常备常新。（二）（二）善于反思，勤于积累。善

2、于反思，勤于积累。（三）（三）研究教材，超越教材。研究教材，超越教材。（四）（四）研究教法，超越教法研究教法，超越教法（五）（五）研究高考，超越高考研究高考，超越高考 C C、养成高效率、细致认真的工作作风。、养成高效率、细致认真的工作作风。D D、人人贵有自知之明，不断进取贵有自知之明，不断进取 E E、塑造教师个人人格魅力、塑造教师个人人格魅力三怎样做好教学：“六认真”A、怎样备课 （一）全面掌握教学内容 （二）深刻领会编者意图 （三）认真确定目的要求 （四）适当选择教学方法 B，怎样上好高中数学课：（一）上课的基本要求是：第一，充分体现素质教育的教学思想，面向全体学生，使学生全面主动地发

3、展。第二，要全面落实教学目标，做到突出重点，突破难点，抓住关键。第三，注意教学过程中进行学法指导。第四，要充分发挥教师主导作用，激发学生的学习兴趣，善于启发诱导学生，要认真体现学生的主体地位，让学生有更多的机会、有效地参与教学活动。第五，要灵活恰当地选择运用教法，有效地运用教具和演示实验，恰到好处地采用现代化教学手段。第三，注意教学过程中进行学法指导。第四，要充分发挥教师主导作用，激发学生的学习兴趣，善于启发诱导学生，要认真体现学生的主体地位，让学生有更多的机会、有效地参与教学活动。第五，要灵活恰当地选择运用教法，有效地运用教具和演示实验，恰到好处地采用现代化教学手段。第六，课堂教学结构合理、

4、紧凑。要注重知识的整体性和条理性；要使教学环节有机地联系起来。第七，板书设计内容合理，条理清楚；形式灵活，美观实用；书写规范，速度适宜。第八，要使用广泛的教学语言，要使用普通话和学科术语，严禁使用方言土语和非教学语言。讲授语言要准确、清晰、通俗、生动，具有条理性、启发性。第九，要保证教学时间，按时上下课，不迟到、不拖堂、不善离课堂，不做与教学无关的事。未经学校同意，不得随意增减课时，不得随意停课或串课。第十，要衣着整齐，仪表端庄，举止大方，教态亲切自然。第十一，要讲求效果。做到精讲多练，短时高效，提高课堂教学效率，减轻学生的课后作业负担。（二）注重引入（1）问题引入的基本形式 1复习提问式 案

5、例1.如幂函数的引入(1)请同学们思考，由算式8 可写成几种形式。238 82 23 33 3loglog2 28 82 2831(2)一般地，在等式N 中，如果固定a，N随b的变化而变化，则建立了指数函数y=；如果固定a，b随着N的变化而变化，则建立对数函数y=logaX；请同学们思考，如果固定b,N随a的变化而变化，那么建立了什么函数呢？abax 2练习式 案例2.如：直线的两点式方程 安排一组习题让学生练习，通过对练习题或解答结果的讨论引申、推广引入课题。3设疑式 提出问题，让学生思考，使之百思不得其解之后而产生迫切了解结果的强烈欲望，在此基础上引入。4类比、对比式 当新知识与已有知识具

6、有某种相似性或联系时，可通过类比或对比的方式引入课题。案例3.如在掌握等差数列有关知识的基础上可以很方便地引出等比数列的相应内容。5归纳式 归纳式，是通过列举一些实例让学生观察、思考，从中捕捉共性，从而形成概念，发现性质、定理、公式的一种引入课题的方法。6发现式 通过引导学生观察、操作、探究、发现数学知识和规律引入课题的方式。4类比、对比式 当新知识与已有知识具有某种相似性或联系时，可通过类比或对比的方式引入课题。案例3.如在掌握等差数列有关知识的基础上可以很方便地引出等比数列的相应内容。5归纳式 归纳式，是通过列举一些实例让学生观察、思考，从中捕捉共性，从而形成概念，发现性质、定理、公式的一

7、种引入课题的方法。6发现式 通过引导学生观察、操作、探究、发现数学知识和规律引入课题的方式。（2）问题引入的基本方法与途径 1列举生活实例，提供生活原型。中学数学知识来源于现实世界，对这些知识，要由学生所熟悉的日常生活或生产实际中常见的事例引入。案例4.：提供日常生活中各种对应关系，引入“映射”的概念；列举蝴蝶、人脸、花朵，镜面反射，提供对称图形的原型。这种方式有助于将各种现实材料和数学知识溶为一体，实现“概念性的数学化”。2在已有概念的基础上引入问题。案例5：在数列的基础上引入等差数列。这种当新概念是已知旧概念的一种概念时，常给出一组反映已知概念的事例，让学生观察、对比、辨析、发现这部分事例

8、所具有的与其他事例不同的共性，从而引入新概念。3.另一种引入方法是在概括程度较高的旧概念基础上，加入新的属性，通过逻辑推演，直接引入新概念。4.如果在相对具体的概念基础上形成较高层次的概念，那么常见的方式是提供一些具体的、特殊的、直观的观察材料，让学生分析其共性，抽象概括出新的概念。案例6，通过观察一些函数的图象特征，从而形成单调递增函数的概念。（二）新课引入需要问题情境的创设，让学生亲近数学 1创设问题情境应遵循的原则 1.1“问题”的有效性：（1）有效果；（2）有效率；（3）有效益。案例7：在比的意义这一课的导入中，有些教师应用足球比赛进行新课的导入，有些教师应用讲故事的行式进行新课的导入

9、，这样的导入当授课者真正提出这一节课来学习比，恐怕学生还沉入热烈的足球比赛中，有趣的故事中。如果授课者没有很好的教学功底很难将学生的注意力引到课堂教学中来。其实我们大可不必这么大费周折，而舍近求远。你们认识比吗，你能写出一组比吗？看到比你想到了什么？这难道不是一种既提出数学问题同时高效的导入方法吗？12针对性 问题情境应根据教学内容，抓住基本概念和基本原理，紧扣教材的中心及重点、难点设疑。案例8，“平面的基本性质”一节的教学，向学生提问：你能用数学的眼光来分析下列问题吗？（1）怎么检验教室的地面铺得平不平？（2）为什么用来作支撑的架子大多数是三角架？（3)为什么只要装一把锁门就能固定？通过这一

10、系列的问题的作答、体悟，把这节课的重点、难点逐步引入，从而调动了学生探究的主动性。13启发性 案例9，高中教材不等式证明的例题时，由于是阴雨天，教室内的光线较暗，于是笔者用以下问题作引入：大家知道，建筑学上规定：民用建筑的采光度等于窗户面积与房间地面的面积之比，但窗户面积必须小于地面面积，采光度越大说明采光条件越好。试问增加同样的窗户面积与地面面积后，采光条件是变好了还是变坏了？为什么 学生很快进入了探索状态，并找到了问题所隐含的数学模型：若窗户面积为a，地面面积为b，则ab，设共同增加的面积为m，问题即转化为比较 与 的大小问题。由于有了实际问题背景，同学们的探究热情异常高涨，比较法、分析法

11、、综合法、构造函数法、定比分点法，数形结合法等十几种方法竟相出现。在解题回顾中，师生还共同对问题进行了引申、推广及相应证明，从而增强了学生探究的信息和勇气，领略了成功的喜悦和创造的快乐。14挑战性。提出的问题难度要适中。问题太易，学生会产生厌倦和轻视心理；太难，学生会望而生畏。即教师提出的问题应接近学生的“最近发展区”，使学生能够“跳一跳，摘果子”。案例10，在教学“无穷等比数列各项和”时，把教材上等比数列的一道习题作改造，让学生解答：一个球从10米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下。到它停止时，共经过了多少米？当学生求得n次着地时，共经过 了 （米）。球着地多少次后，球才会

12、停止呢？学生的探究受到了挫折，但大家又能猜出小球停止时，共经过了30米。通过多媒体的动画设计，学生能更生动真切地感悟到有限与无限、精确与误差、运动与静止的极限过程，从而对无穷等比数列各项和有了深刻的领悟。15明确性 设计的问题要小而具体，避免空洞抽象。可把有一定难度的问题分解成几个有内在联系的小问题，步步深人，使学生加深对知识的理解。案例11，在教学“直线与方程”这节课时，分别向学生提出以下问题：（1)集合 表示什么？（从数形两个方面去理解）(2）集合 是否表示一、三象限角平分线上点的集合？集合 呢？（感悟直线方程定义中的纯粹性与完备性两者缺一不可）（3）集合A、B分别表示什么意义？随着这几个

13、具体问题的思考、讨论、比较和总结，学生的思维逐步逼近直线与方程概念的本质特征。1.6趣味性 新颖、奇特而有趣的问题容易吸引学生的注意，调动学生的情绪，学生学起来兴趣盎然。怎样创设有趣的问题情境：a、联系生活实际 联系学生的生活实际，创设问题情境，学生可以利用自己的生活经验，进行自主探索。案例案例12.“球面距离球面距离”概念教学概念教学 就球面距离定义的合理性来说，其存在性和唯就球面距离定义的合理性来说，其存在性和唯一性是显而易见的，但关键是最小性的讨论，一性是显而易见的，但关键是最小性的讨论，即球面上任意两点，经过它们怎样的一段弧最即球面上任意两点，经过它们怎样的一段弧最短呢？为什么是一段大

14、圆弧呢？笔者在教学中短呢？为什么是一段大圆弧呢？笔者在教学中发现不少学生有疑问的。为此在教学中引用生发现不少学生有疑问的。为此在教学中引用生活中的实例导入球面距离这一概念，挂出一幅活中的实例导入球面距离这一概念，挂出一幅世界地图，并介绍这样一个事例：世界地图，并介绍这样一个事例：1993年年4月，月，上海东方航空的一架班机在从上海飞往洛杉矶上海东方航空的一架班机在从上海飞往洛杉矶的途中遇强气流，使飞机上下颠簸造成部分乘的途中遇强气流，使飞机上下颠簸造成部分乘客受伤，飞机被迫在阿拉斯加紧急降落。请一客受伤，飞机被迫在阿拉斯加紧急降落。请一位同学到黑板前将飞机的飞行路线以及阿拉斯位同学到黑板前将飞

15、机的飞行路线以及阿拉斯加的位置在黑板上画出来加的位置在黑板上画出来,并请同学们观察一并请同学们观察一下飞行的路线。下飞行的路线。案例13、打折问题 在“均值不等式”一节的教学中，有如下一个“问题情境”：有甲、乙两个超市同时进行降价活动，分别采用两种降价方案：甲超市第一次打m折销售，第二次打n折销售；乙超市两次都打(m+n)/2折销售。请问：哪个超市的价格更优惠？。b、生动的故事：学生喜欢听故事，生动有趣的故事，能激发学生的学习兴趣 案例14.在讲黄金分割时先向学生介绍实际知识，科学家发现当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人的感觉得舒适；意大利著名画家达.芬奇创作了许多稀世珍宝，他称他的

16、作品在涉及比例关系时，经常用到0.618（如人体身高与肚脐以下的长度比），正是他把0.618誉为“黄金分割”。德国天文学家数学家凯普勒把黄金分割视为几何学中的宝藏之一，那么到底什么是黄金分割呢？这就激发了学生的学习兴趣。案例15.“等比数列前n项和”公式教学 可设计这样一个趣味问题 从前有这么一个故事：有人卖了一匹马得300元钱，但是买主买了以后又翻悔了，退还给卖主说：“这价钱买你这匹马不合算。这马根本不值这么多钱。”于是卖主提出新的条件：“如果你嫌这马价钱贵，那你就只买它的马蹄铁上的钉子好了，马可以白送。每一个马蹄铁上有6个钉子。第一个钉子只要给我1分钱，第二个钉子2分钱，第三个钉子4分钱，

17、这样类推下去。”买主被这廉价打动了，心想白得一匹马，就接受了卖主的条件，心里估计着钉子总共花不了10 元钱。案例16.“函数”概念教学 从一个有趣的“绕圈子”问题谈起（投影显示）：在世界著名水都威尼斯，有一个马尔克广场，广场的一端有一座宽 82米的雄伟教堂，教堂的前面是一方开阔地，这片开阔地经常吸引着四方游人到这里来做一种奇特的游戏，先把眼睛蒙上，然后从广场的一端走向另一端去看谁能到教堂的正前面，你猜怎么着？尽管这段距离只有175米，竟没有一名游客能幸运地做到这一点，他们都走了弧线或左右偏斜到了另一边。案例17.在教学独立事件同时发生的概率时，三个臭皮匠顶一个诸葛亮（独立事件同时发生的概率）俗

18、话说：三个臭皮匠顶一个诸葛亮，能顶上吗?三个臭皮匠能答对题目的概率分别为50%，45%，40%，诸葛亮能答对题目的概率为80%，如果将三个臭皮匠组成一组与诸葛亮比赛，各位选手独立解题，不得商量，团队中只要有一人解出即为获胜，答对题目快者为胜，问哪方胜。c、有趣的游戏 学生喜欢做游戏，简短有趣的游戏也能激发学生的学习兴趣 案例18：汉诺塔问题 起源传说：相传在盘古开天辟地创造世界之初，便在印度贝纳雷斯的一座寺庙的一块红木板上插了三根钻石棒，并在其中的一根棒上安放了枚纯金圆盘。有一个婆罗门门徒不休不眠地赶到庙里来，然后又费尽了千心万苦把这个金灿灿的圆盘移到另一根钻石棒上。等到七七四十九天后，婆罗门

19、门徒终于完成了这项工作，刚要松口气，但只听“轰咙”一声巨响，寺庙、门徒以及世界全都崩溃了！（说得够玄的吧！其实，解开此游戏后，你有的是成功的喜悦和无限的得意）规则：一次只能移一个盘子；盘子只能在三个柱子上存放；任何时候大盘不能放在小盘上面。（移动圆片的次数)不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片，移动次数是f(n).显然f=1,f=3,f=7，且f(k+1）=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2n-1。n=64时，f（64）=264-1=1844674407370955

20、1615 假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有 31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855年这表明移完这些金片需要5845亿年以上 d、动手实际操作 创设让学生动手操作的情景，引导学生探索新知识案例 19.在上“锥体体积”的习题课时，向学生提出了这样一个问题：在米仓量米处，有一个V形漏斗，你可以采用两种方案来量米，一种是一次性把漏斗装满，另一种是把米装到漏斗高度的一半，但可以量七次。你准备采用哪种方案？学生对此感到新奇有趣，急欲找到答案，

21、思维一时活跃起来，从开始的猜想和争论，到动手计算和探究（锥体平行于底面的截面的性质），学生既运用了知识，又发展了解决问题的能力。e根据学生认识规律，创设阶梯型问题情境 案例20：探究性问题 观察下表：1 2，3，4，3，4，5，6，7，4，5，6，7，8，9，10 求第n行各个数之和。2创设问题情境的常用形式 21创设类比情境 案例21.以“复数的有关概念”为例，设计了以下问题与实数作类比，供同学们探究：问题一：问题一：对于任意一个实数，它是由一个量来表示的，两个实数相等，即表示两实数的量相等。对于任意一个向量，它是由大小和方向两个量来表示的，两个向量相等，即表示向量的这两个量都相同。那么，对

22、于两个复数，你认为满足什么条件，可以说它们相等？问题二：问题二：对于实数，我们找到了一个几何模型-数轴(一条规定了正方向、原点和单位长度的直线)-用数轴上的点来表示实数，并且使它们一一对应。你能否找到一个几何模型，用它来表示复数？问题三：问题三：实数绝对值的几何意义是指实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。能否把绝对值概念推广到复数范围呢？问题四：问题四：两个实数如果不等，则它们一定有大小之分，如果两个复数不等，它们可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。22创设直观情境。创设直观性问题情境，加深概念理解深度 案例20.以“函数周期性”的教学为例，我们列

23、出了以下背景材料供学生探究时思考：什么叫周而复始？地球自转的周期是多少？地球公转的周期是多少？物理中是怎样定义周期的？正弦函数的图象是怎样形成的？案例23.“充要条件”概念教学 充要条件是高中数学中的一个重要概念，并且也是教与学的一个难点。新教材又将此概念由原来的高二解析几何中的内容移至高一集合与简易逻辑之中，对于高一学生来说，要正确而又深刻地理解这一概念还是有很大的困难。在教学此概念的过程中，笔者采用了如下四个电路图(如图3)，视“开关A的闭合”为条件A，“灯泡B亮”为结论B，给充分不必要条件、C。充分必要条件、D。必要不充分条件、既不充分也不必要条件以十分贴切、直观的诠释，学生兴趣盎然，从

24、而对“充要条件”的概念理解得入木三分。23创设猜测情境 案例24，在讲反正弦与反余弦函数之间的关系时，我并没有直接给出教材上例题的结论，而是让学生大胆猜想。24创设故错情境 案例25.在讲例题“现有5件不同的奖品分给4名先进工作者，每人至少一件，问共有多少种不同的分配方案？”时 一位学生的分析具有代表性：由于每人至少一样，故先从5件奖品中选出4件分别分给4人，剩下1件奖品分给4人中任何1人，故共有(种）。这种思路类似于“排列问题”中的位置分析法，因而得到几乎所有同学的认可，说明错误具有隐蔽性和普遍性。没有直接指出错误与否，而是引导学生从简单问题着手，即把奖品数改为3件、人改为2人，学生利用列举

25、法得出共有6种分法，但按上述解法应有（种）。学生感觉到解法有问题，经过一番探究反思，终于发现原来5件奖品中任意选4件分给4人，如4件奖品为 且剩下1件奖品为e和4件奖品为 且剩下1件奖品a，会产生a与 分别分给4人的重复现象。如何修正答案？大家悟出利用元素的相互对应关系，只要在原有基础上除以2即可，这也为“概率”的学习埋下了伏笔。当然本题也可先从5件奖品中任取2件“捆绑”成一个大元素与剩下3件奖品分别给4人，故共有（种）。这里创设故错情境不但诱发了学生积极探究，而且提高了解题的“免疫力”。25创设动态情境 案例26，在解决问题“就m的变化，讨论方程 所表示的曲线的形状变化”时，引导学生通过数轴

26、来发现“变质点”，结合计算机屏幕上显示的曲线形状与颜色的变化 描述曲线的动态美：当m0时，随m的增大，焦点在Y轴上的双曲线开口渐渐张大，则突变为两条行线于x轴的直线，把两直线慢慢弯成扁椭圆（0m1），再把椭圆似皮球般充气，逐渐鼓起为圆（m1)，进行裂变为两平行于Y轴的直线（1m2)，最终变成焦点在x轴上的双曲线（m2）。学生陶醉于这一优美的动态情境之中，流连忘返，从而在学生的记忆深处打下深深的烙印。从屏幕的变化过程中，一位学生举手要求发言，原来他凭直觉大胆作出猜测：该曲线族绕着四个定点在变动。通过探讨，即把方程化为，即求得四个定点的坐标为。这一意外的发现再次把教学引向了高潮，而灵感的涌动与计算

27、机创设的动态情境密切相关。3.创设情境的注意点 3.1、贴近学生的认知水平。3.2情节材料要自然、真实。3.3、要让学生自己动手操作、实践、开展思维、产生问题 3.4利用学生好奇心理，创设悬念型问题情境。案例27：椭圆“第二定义”的教学片段（三）、重动手操作，让学生体验数学。（四）、重自主探索，让学生“再创造”数学 （五）、重生活应用，让学生实践数学。C，如何批改数学作业 1、重点抽查：2、集体订对：3、学生自改、互改、组长检查：4、信息小组及时做好信息交流。D，认真对待学生提出的问题E，搞好期末复习（一）紧扣教材，抓住数学基础知识，基本技能和基本方法的复习。（二）、加强数学知识的辨析比较和灵

28、活运用，做到理解 （三）、讲究数学复习的一般方法，引导学生课前预习、课后复习、多做练习。F，搞好数学课外活动 案例29，分油问题，有一个装满油的8公升容器，另有一个5公升及3公升的空容器各一个，且三个容器都没有刻度，试将此8公升油分成4公升。.案例30.杯子翻转问题 原题目是：a只杯子杯口向上（称顺杯），每次翻动其中b只（ab），能否通过若干次操作，使全部杯口向下（称倒杯）。研究的是最少几次操作？（abqr，abr0）首先a奇，b偶，r奇时无解，不再阐述，只有b为奇时或a、b同为偶时有解。1.当r0时，aqb，显然最少q次操作完成。2.当r0，b与r同偶且q=1时：abr（abr）最少3次操作

29、完成。方法如下：3.当r0时，b与r同是奇数，且q=1时：（这种情况最复杂）：由a=br知：a是偶数，如能全部翻成倒杯，则每只杯必须是翻奇数次，设每只各翻动了：k1，k2，k3，ka次，共操作了n次，则有：k1k2k3ka=nb 由于a是偶数，b是奇数，故n是偶数。设n=2k，则有：k1+k2+k3ka=2kb 由此知道，共操作了2k次。又每只必翻奇数次，且次数不超过操作次数2k，设k1，k2，k3ka中最大值是2km（m是自然数），则有a（2km）k1k2ka=2kb 即a（2km）2kb 4.当r0，br为偶数，q2时，最少操作q1次才能完成。方法：先翻q1次，使（q1）b只杯翻动一次，余

30、br只。5.当b为奇，r为偶时（b偶，r奇，则a奇无解）最少q2次操作完成。方法如下：a=qbr讨论完毕，现就第三类举一实例说明操作方法：当a100，b=89时 奇数，使其和为890（用假设法求），其中一个答案是：5个7、95个9，因75959890。故得对应操作方法是：将杯子从1100编号。先较均匀地连翻动8次。这时翻了8次的杯子有898-100712（只），翻了7次的杯有100-1288只。假设112号杯各翻了8次，其余都是7次。留下96号100号5只只翻了7次的不动，将795号翻动一次。将1-6号和13-95号翻动一次。这样只有96-100号翻了7次，其余各杯均翻了9次。由于篇幅有限，不

31、再举例。总之，照上面方法，对于确定的n的取值，先用假设法求出一组符合条件的奇数，根据这组奇数的取值，很容易找到一个对应的操作方法。注意，奇数取法不同，具体操作方法也不同，同一个题，奇数的取法有多种，每种取法都对应着一种不同的操作方法。案例32，球垛问题，1、百层球垛问题 这个球垛第一层有一个球,第二层有三个,第三层有6个,第4层有10个,求第N层有多少个 a1=1 a2=3=1+2 a3=6=3+3 a4=10=6+4 a5=15=10+5 an=a(n-1)+n a1=1 a2=a1+2 a3=a2+3 a4=a3+4 a5=a4+5.an=a(n-1)+n 等式左右相加 a1+a2+a3+

32、a4+.+an=a1+a2+.+a(n-1)+1+2+3+.+n an=(1+n)n/2 2、正四面体球垛问题正四面体球垛问题弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有（）A、0颗 B、4颗 C、5颗 D、11颗 自上而下各层的小球数依次为：1131+261+2+3101+2+3+4.n(n+1)/21+2+3+.+n垛中共有：S=(k=1,n)n2/2+n/2=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4令n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)4 60 (n+1)(n+2)(2n+3)/12+(n+1)(n+2)4

33、解得 n，再求余数。直接排，简单哩：1+3+6+10+15+21=56 601+3+6+10+15+21+28=84 60所以，垒6层，余4颗 案例33，2160的所有正约数和，小于根号2160的约数有1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,27,30,36,40,45，所以共有20*2=40（个）或者把2160分解质因数，有2160=24*33*51,根据分步计数原理（乘法原理），2160的约数的个数是（4+1）*（3+1）*(1+1)=40.和为：（20+21+22+23+24）*（30+31+32+33）*（50+51）=案例35，n条直线最多将平面分成

34、几部分。1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分一般地，n条直线最多将平面分成2+2+3.+N=1/2（N2+N+2)数学教学中，总结如下经验 复杂之中抓简化，平凡之中抓奇异。复杂之中抓简化，平凡之中抓奇异。简单之中抓深刻，零散之中抓联系。简单之中抓深刻，零散之中抓联系。特殊之中抓一般，抽象之中抓实例。特殊之中抓一般，抽象之中抓实例。结论之中抓过程，枯燥之中抓情趣。结论之中抓过程，枯燥之中抓情趣。演绎之中抓归纳，猜测之中抓根据。演绎之中抓归纳，猜测之中抓根据。活跃之中抓落实，成功之中抓反思。活跃之中抓落实，成功之中抓反思。选择之中抓秀美，粗略之中抓精细。选择之中抓秀美，粗略之中抓精细。推理之中抓动因，导入之中抓问题。推理之中抓动因，导入之中抓问题。