历届1991-2015初联全国初中数学联赛试卷及答案.pdf

1、1 / 143 1991 年全国初中数学联合竞赛决赛试题1991 年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题一、选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A） 、 （B） （C） 、 （D）四个答案结论，其中只有一个是 正确的请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是 两两不同的实数，则 22 22 3 yxyx yxyx 的值是 （A）3 ； （B） 3 1 ；  （C）2；  （D） 3 5 答（  ） 如图，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是

2、（A） 10；   （B）12； （C） 16；   （D）18 答（ ） 方程01 2 xx的解是 （A） 2 51 ；        （B） 2 51 ； （C） 2 51 或 2 51 ；   （D） 2 51 答（  ） 已知：)19911991( 2 1 11 nn x （n 是自然数） 那么 n xx)1( 2 ，的值是 （） 1 1991 ；    （） 1 1991 ； （）1991) 1( n ；   （） 1 1991) 1( n 答（  ） 若M n 1

3、210099321，其中为自然数，n 为使得等式成立的最大的自 然数，则 （）能被整除，但不能被整除； （）能被整除，但不能被整除； （）能被整除，但不能被整除； （）不能被整除，也不能被整除 2 / 143 答（  ） 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么 dcba的最大值是 （）1； （）5； （）0； （） 答（  ） 如图， 正方形OPQR内接于ABC 已知AOR、 BOP和CRQ 的面积分别是1 1 S， 3 2 S和1 3 S，那么，正方形OPQR的边长是 （）2； （）3； （）2 ； （）3 答（  ） 在锐角ABC中

4、，1AC，cAB ， 60A，ABC的外接圆半径R1，则 （） 2 1 ， q p n m x x x x) 1( 1 ) 1( 恒成立，则 q pnm 22 )2(     四边形ABCD中， ABC 135，BCD 120，AB6，BC35， CD = 6，则AD =     第二试 1 1 S 3 S=1 3 2 S 120 135 3 / 143 x + y， x y， x y， y x 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y） 二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且 BDBEAC，BDE的

5、外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图） 求证：BFAFCF 三、三、将正方形ABCD分割为 2 n个相等的小方格（n是自然数） ，把相对的顶点A，C染成红 色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点 同色的小方格的数目必是偶数 4 / 143 1992 年全国初中数学联合竞赛决赛试题1992 年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试第一试 一一.选择题选择题 本题共有 8 个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请 把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.满足1abba的非负整数),(ba的个数是 (A)1

6、;      (B)2;      (C)3;      (D)4. 2.若 0 x是一元二次方程)0(0 2 acbxax的根,则判别式acb4 2 与平方式 2 0 )2(baxM的关系是 (A)M    (B)=M    (C)M;    (D)不确定. 3.若0113 2 xx,则 44 xx的个位数字是 (A)1;      (B)3;      (C)5;   &n

7、bsp;  (D)7. 答(  ) 4.在半径为 1 的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于 1 且小于2,则这个多边形的 边数必为 (A)7;      (B)6;      (C)5;      (D)4. 答(  ) 5.如图,正比例函数)0(aaxyxy和的图像与反比例函数)0( k x k y 的图像分别相交于A点和C点.若AOBRt和COD的面积分别为S1和 S2,则 S1 与 S2的关系是 (A) 21 SS    (B) 21 SS (C)

8、 21 SS    (D)不确定     答(  ) 6.在一个由88个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆,若把圆周 经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 1 S,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的 面积之和记为 2 S,则 2 1 S S 的整数部分是 (A)0;      (B)1;      (C)2;      (D)3. 答(  ) 7.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB/CD, AB=2CD, 5 /

9、143 60A,又 E 是底边 AB 上一点,且 FE=FB=AC, FA=AB. 则 AE:EB 等于 (A)1:2      (B)1:3 (C)2:5      (D)3:10 答(  ) 8.设 9321 ,xxxx 均为正整数,且 921 xxx ,220 921 xxx,则当 54321 xxxxx的值最大时, 19 xx 的最小 值是 (A)8;      (B)9;      (C)10;      (D)11. 答(

10、 ) 二.填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等 15cm,则这个等腰三角形的面 积等于_. 2.若0x,则 x xxx 442 11 的最大值是_. 3.在ABC中,BAC和,90的平分线相交于P点，又ABPE于E点，若 3, 2ACBC，则EBAE        . 4.若ba,都是正实数，且0 111 baba ，则 33 )()( b a a b . 第二试第二试 一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程06 2 axx的两根，当这样的三角形只 有一个时，求a的取值范围. 二、如图，在ABC中，DACAB,

11、是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且 ACEDBED2. 求证：CDBD2. 三、某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0，1，2，3，5，6 这六个不同数字组成， 现有四个编码如下： A：320651  B：105263 C：612305  D：316250 已知编码 A、B、C、D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同.D 恰有三个数字的位置 与 M 和 N 相同.试求：M 和 N. 6 / 143 1993 年全国初中数学联合竞赛决赛试题1993 年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试第一试 一一.选择题选择题 本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A)

12、, (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的. 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.多项式1 612 xx除以1 2 x的余式是 (A)1;      (B)-1;      (C)1x;    (D)1x; 2.对于命题 .内角相等的圆内接五边形是正五边形. .内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A),都对  (B)对,错  (C)错,对. (D),都错. 3.设x是实数,11xxy.下列四个结论: .y没有最小值; .只有一个x使y取到最小

13、值; .有有限多个x(不止一个)使y取到最大值; .有无穷多个x使y取到最小值. 其中正确的是 (A)      (B)      (C)      (D) 4.实数 54321 ,xxxxx满足方程组 . ; ; ; ; 5215 4154 3543 2432 1321 axxx axxx axxx axxx axxx 其中 54321 ,aaaaa是实常数,且 54321 aaaaa,则 54321 ,xxxxx的大小顺序是 (A) 54321 xxxxx;      (

14、B) 53124 xxxxx; (C) 52413 xxxxx;      (D) 24135 xxxxx. 5.不等式73) 1(1 2 xxx的整数解的个解 (A)等于 4    (B)小于 4    (C)大于 5    (D)等于 5 7 / 143 6.在ABC中,BCAOOA,是垂心是钝角, 则)cos(OCBOBC的值是 (A) 2 2             (B) 2 2 (C) 2 3 (D) 2 1 . 答(  )

15、 7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为 m, n, p,那么 m:n:p 等于 (A) cba 1 : 1 : 1 ;        (B)cba: (C)CBAcos:cos:cos     (D)CBAsin:sin:sin. 答(  ) 8. 1 333 3 ) 9 1 9 2 9 4 (3 可以化简成 (A) 12(3 33 ;  (B) 12(3 33   (C)12 3    (D)12 3 答(  ) 二二.填空题填空题 1.当

16、x 变化时,分式 1 563 2 2 1 2 xx xx 的最小值是_. 2.放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球,且每四个 相邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有_个小球. 3.若方程kxx)4)(1( 22 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四 个点等距排列,则k=_. 4.锐角三角形 ABC 中,30A.以 BC 边为直径作圆,与 AB, AC 分别交 于 D, E,连接 DE, 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四边形 BDEC,设它们的 面积分别为 S1, S2,则 S1:S2=_. 8 / 143 第二试第二试 一.设 H

17、是等腰三角形 ABC 垂心,在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的 距离变小,这时乘积 HBCABC SS 的值变小,变大,还是不变?证明你的结论. 二.ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将ABC 分成面积相等的两部分.试求这样的线段 DE 的最小长度. 三.已知方程00 22 bcxxcbxx及分别各有两个整数根 21,x x及 21,x x,且 , 0 21 xx0 21 x x. (1)求证:; 0, 0, 0, 0 2121 xxxx (2)求证:1bc1b; (3)求cb,所有可能的值. 9 / 1

18、43 1994年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试 (4月3日上午8：309：30) 考生注意：本试共两道大题，满分考生注意：本试共两道大题，满分80分分. 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分48分，每小题分，每小题6分）分） 本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的， 请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分； 不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内） ，一律得0分. 答(  ) 2设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A都

19、不小于0    B都不大于0 C至少有一个小0于 D至少有一个大于0 答(  ) 3如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC， CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长 A等于4 B等于5 C等于6 D不能确定 答(  ) A1  B-1   C22001  D-22001 答 (  ) 5若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD 相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角 A4对 B8对 C12对 D16对 答(  ) 答(  ) 7设锐角三角形ABC的三条高A

20、D，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c, 则AHAD+BHBE+CHCF的值是 10 / 143 答(  ) A1001      B1001,3989 C1001,1996     D1001,1996,3989 答(  ) 二、填空题（本题满分32分，每小题8分） 各小题只要求在所给横线上直接填写结果. 3在ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则 DE=_. 4把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切， 若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖

21、住， 则这个大圆形纸片的最小半 径等于_. 第二试 (4月3日上午10：0011：30) 考生注意：本试共三道大题，满分考生注意：本试共三道大题，满分60分分. 一、 （本题满分一、 （本题满分20分）分） 如图所示， 在ABC中， AB=AC.任意延长CA到P， 再延长AB到Q， 使AP=BQ.求证： ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。 思路一：OCPOAQCPO=AQOOAPQ四点共圆（视角定理.） 思路二： PAOQBOOPA=AQOOAPQ 四点共圆（视角定理.） 11 / 143 连接 OB、OA。 OBA=OAB=OAC PAO=QBO PA=QB  AO=BO PAO

22、QBO OPA=AQO 所以O与A，P,Q,四点同园 二、 （本题满分二、 （本题满分20分）分） 周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存 在，请证明共有几个？ 三、 （本题满分三、 （本题满分20分）分） 某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,15)个题的人数的一 个统计. n 0 1 2 3 12 13 14 15 做对n个题的人数 7 8 10 21 15 6 3 1 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题 和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？ 1994年全国初中数学联赛参

23、考答案年全国初中数学联赛参考答案 第一试答案第一试答案 一、选择题； 小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B C 二、填空题： 第二试提示及答案第二试提示及答案. 一、连结OA，OC，OP，OQ.证明OCPOAQ，于是 CPO=AQO，所以O，A，P，Q四点共圆. 三、这个表至少统计了200人. 12 / 143 1995年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题 1已知a355,b444,c533,则有   Aabc Bcba  Ccab  Dacb A1 B2   C3  D4 3如果

24、方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那 么实数m的取值范围是  4如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为   A62 B63 C64 D65 5设AB是O的一条弦，CD是O的直径，且与弦AB相交，记MSCAB SDAB，N2SOAB，则   AMN  BMN  CMN DM、N的大小关系不确定 6设实数a、b满足不等式a(ab)a|ab，则   Aa0且b0 Ba0且b0 Ca0且b0 Da0且b0 二、填空题 1在12，22，32，952这95个数中，十位数字为奇数的数共

25、有_个。 13 / 143 4以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2 ACBC，则CAB_ 第二试 一、已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，经A、C、D 三点的圆交AB于F（如图）求证F为CDE的内心。 二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数 理由。 三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之 和。 14 / 143 15 / 143 16 / 143 17 / 143 18 / 143 19 / 143 20 / 143 21 / 143 22 / 143 23 / 143 24 / 143 25 / 143 26 / 1

26、43 27 / 143 28 / 143 29 / 143 30 / 143 31 / 143 32 / 143 33 / 143 34 / 143 35 / 143 36 / 143 37 / 143 38 / 143 39 / 143 40 / 143 41 / 143 42 / 143 43 / 143 44 / 143 45 / 143 46 / 143 47 / 143 48 / 143 49 / 143 50 / 143 年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案 51 / 143 52 / 143 年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及

27、答案 53 / 143 54 / 143 55 / 143 年全国初中数学联合竞赛试题及答案 年全国初中数学联合竞赛试题及答案 56 / 143 57 / 143 58 / 143 59 / 143 年全国初中数学联合竞赛试题及答案 年全国初中数学联合竞赛试题及答案 60 / 143 61 / 143 62 / 143 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 63 / 143 64 / 143 65 / 143 66 / 143 67 / 143 68 / 143 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 69 / 143 7

28、0 / 143 71 / 143 答案： 72 / 143 73 / 143 74 / 143 75 / 143 76 / 143 77 / 143 78 / 143 79 / 143 80 / 143 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 81 / 143 82 / 143 83 / 143 答案：答案： 84 / 143 85 / 143 86 / 143 87 / 143 年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案 88 / 143 89 / 143 答案：答案： 90 / 143 91 / 143 年全国初中数学联合竞赛

29、二试试题及答案年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案 答案：答案： 92 / 143 93 / 143 94 / 143 2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试第一试 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1. 设71a ，则 32 312612aaa                     （ A A.24.   B. 25.    C. 4 710.   &nb

30、sp;D. 4 712. 2 在ABC 中， 最大角A 是最小角C 的两倍， 且 AB7， AC8， 则 BC     （ C ）  A.7 2.   B. 10.    C. 105.    D. 7 3. 3用 x表示不大于x的最大整数，则方程 2 2 30xx的解的个数为        （ C ）  A.1.   B. 2.    C. 3.    D. 4. 4设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点

31、A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取 出两个，它们的面积相等的概率为                            （ B A. 3 14 .   B. 3 7 .    C. 1 2 .    D. 4 7 . 5如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半 圆的切线 AE，则sinCBE       &n

32、bsp;            （ D ） A. 6 3 .   B. 2 3 .    C. 1 3 .    D. 10 10 . 6 设n是大于 1909 的正整数， 使得 1909 2009 n n 为完全平方数的n的个数是        （ B ）  A.3.   B. 4.    C. 5.    D. 6. 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 28 分，每小题分，每小

33、题 7 分）分） 1已知t是实数，若, a b是关于x的一元二次方程 2 210xxt 的两个非负实根，则 22 (1)(1)ab的最小值是_3_. 2 设 D 是ABC 的边 AB 上的一点，作 DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已知 ADE、DBF 的面积分别为m和n，则四边形 DECF 的面积为_2 mn_. D A B C E 95 / 143 3如果实数, a b满足条件 22 1ab， 22 |12| 21ababa ，则ab_1_. 4已知, a b是正整数，且满足 1515 2() ab 是整数，则这样的有序数对( , )a b共有_7_对.

34、第二试第二试 一 （本题满分一 （本题满分 20 分）分）已知二次函数 2 (0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为 A、B， 与y轴的交点为 C.设ABC 的外接圆的圆心为点 P. （1）证明：P 与y轴的另一个交点为定点. （2）如果 AB 恰好为P 的直径且2 ABC S，求b和c的值. 解解 （1）易求得点C的坐标为(0, )c，设 1 A(,0)x， 2 B(,0)x，则 12 xxb ， 12 x xc. 设P 与y轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是P 的两条相交弦，它们的交点为点 O，所以 OAOBOCOD，则 12 1 x xcOA OB OD OCcc . 因为0c

35、 ，所以点C在y轴的负半轴上，从而点 D 在y轴的正半轴上，所以点 D 为定点，它的 坐标为(0,1). （2） 因为 ABCD， 如果 AB 恰好为P 的直径， 则 C、 D 关于点 O 对称， 所以点C的坐标为(0, 1)，  即1c . 又 222 121212 ()4()44ABxxxxx xbcb，所以 2 11 4 12 22 ABC SAB OCb ， 解得2 3b . 二二 （本题满分（本题满分 25 分）分） 已知ABC 中，ACB90，AB 边上的高线 CH 与ABC 的两条内 角平分线 AM、BN 分别交于 P、Q 两点.PM、QN 的中点分别为 E、F.求证：

36、EFAB. 96 / 143 F Q E P H N M A C B 解解 因为 BN 是ABC 的平分线，所以ABNCBN . 又因为 CHAB，所以CQNBQH90ABN90CBNCNB ， 因此CQNC. 又 F 是 QN 的中点，所以 CFQN，所以CFB90CHB ，因此 C、F、H、B 四点共圆. 又FBH =FBC，所以 FCFH，故点 F 在 CH 的中垂线上. 同理可证，点 E 在 CH 的中垂线上. 因此 EFCH. 又 ABCH，所以 EFAB. 三 （本题满分三 （本题满分 25 分）分）已知, ,a b c为正数，满足如下两个条件： 32abc   &nbs

37、p;                 1 4 bcacababc bccaab             是否存在以,abc为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 解法 1解法 1 将两式相乘，得()()8 bcacababc abc bccaab ， 即 222222 ()()() 8 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 440 bcacababc bccaab ， 97 / 143 即 222222 ()()

38、() 0 bcacababc bccaab ， 即 ()()()()()() 0 bca bcacab cababc abc bccaab ， 即 () ()()()0 bca a bcab cabc abc abc ， 即 222 () 20 bca ababc abc ，即 22 () () 0 bca cab abc ， 即 () ()()0 bca cab cab abc ， 所以0bca 或0cab或0cab，即bac或cab或cba. 因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90. 解法 2解法 2 结合式，由式可得 3223223221 4 abc bcca

39、ab ， 变形，得 222 1 10242() 4 abcabc       又由式得 2 ()1024abc，即 222 10242()abcabbcca， 代入式，得 1 1024210242() 4 abbccaabc， 即16()4096abcabbcca. 3 (16)(16)(16)16()256() 16abcabcabbccaabc 3 4096256 32 160 ， 所以16a 或16b 或16c . 结合式可得bac或cab或cba. 因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90. 98 / 143 2010 年全国初中

40、数学联合竞赛试题参考答案年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试第一试 一、选择题： （本题满分一、选择题： （本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1. 若, ,a b c均为整数且满足 1010 ()()1abac，则|abbcca    （ B ）  A1.     B2.   C3.    D4. 2若实数, ,a b c满足等式23| 6ab，49| 6abc，则c可能取的最大值为   （ C ） A0.     B1.   C2.   &

41、nbsp;D3. 3若ba,是两个正数，且 , 01 11 a b b a 则                 （ C ） A 1 0 3 ab.  B 1 1 3 ab.  C 4 1 3 ab. D 4 2 3 ab. 4若方程 2 310xx 的两根也是方程 42 0xaxbxc的根，则2abc的值为 （ A ） A13.     B9.   C6.    D 0. 5 在ABC中， 已知60CAB， D， E 分别是边 AB， AC 上的

42、点， 且60AED，CEDBED， CDECDB2,则DCB       ( B ) A15.     B20.   C25.    D30. 6对于自然数n，将其各位数字之和记为 n a，如 2009 200911a， 2010 20 103a ， 12320092010 aaaaa             （ D ） A28062.     B28065.   C28067.    D28068. 二、

43、填空题： （本题满分二、填空题： （本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1已知实数, x y满足方程组 33 19, 1, xy xy 则 22 xy  13  . 2二次函数cbxxy 2 的图象与x轴正方向交于 A，B 两点，与y轴正方向交于点 C已知 ACAB3，30CAO，则c   1 9 3在等腰直角ABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA5，PC5，则 PB _10_ 4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有 5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放

44、_15_个球. 第二试第二试 （A） 一 （ 本 题 满 分一 （ 本 题 满 分20分 ）分 ） 设 整 数, ,a b c（abc） 为 三 角 形 的 三 边 长 ， 满 足 99 / 143 222 13abcabacbc，求符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数. 解解 由已知等式可得 222 ()()()26abbcac                       令,abm bcn，则acmn ，其中,m n均为自然数. 于是，等式变为 222 ()26mnmn，即

45、22 13mnmn                             由于,m n均为自然数，判断易知，使得等式成立的,m n只有两组： 3, 1 m n 和 1, 3. m n （1）当3,1mn时，1bc，34abc.又, ,a b c为三角形的三边长，所以bca， 即(1)4ccc， 解 得3c . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过30 ， 即 (4)(1)30abcccc，解得 25 3 c .因此 25 3 3 c，所以c可以

46、取值 4，5，6，7，8， 对应可得到 5 个符合条件的三角形. （2）当1,3mn时，3bc，14abc .又, ,a b c为三角形的三边长，所以bca， 即(3)4ccc， 解 得1c . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过30 ， 即 (4)(3)30abcccc，解得 23 3 c .因此 23 1 3 c，所以c可以取值 2，3，4，5，6，7， 对应可得到 6 个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5611. 二 （本题满分二 （本题满分 25 分）分）已知等腰三角形ABC 中，ABAC，C 的平分线与 AB 边交于点 P，M

47、为ABC 的内切圆I 与 BC 边的切点，作 MD/AC，交I 于 点 D.证明：PD 是I 的切线. 证明证明 过点 P 作I 的切线 PQ（切点为 Q）并延长，交 BC 于点 N. 因为 CP 为ACB 的平分线，所以ACPBCP. 又因为 PA、PQ 均为I 的切线，所以APCNPC. 又 CP 公共，所以ACPNCP，所以PACPNC. 由 NMQN， BABC， 所以QNMBAC， 故NMQ ACB，所以 MQ/AC. 又因为 MD/AC，所以 MD 和 MQ 为同一条直线. 又点 Q、D 均在I 上，所以点 Q 和点 D 重合，故 PD 是I 的切线. 三 （本题满分三 （本题满分

48、 25 分）分） 已知二次函数 2 yxbxc错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 的图象经过两点 P(1, )a， Q(2,10 )a. N Q I P C A MB 100 / 143 （1）如果, ,a b c都是整数，且8cba，求, ,a b c的值. （2）设二次函数 2 yxbxc错误错误!未找到引用源。未找到引用源。的图象与x轴的交点为 A、B，与y轴的交 点为 C.错误错误!未找到引用源。未找到引用源。如果关于x的方程 2 0xbxc的两个根都是整数，求ABC 的面积. 解 点 P(1, )a、Q(2,10 )a在二次函数 2 yxbxc错误错误!未找到引用源。未找到引用源

49、。的图象上，故 1 bca，4210aca， 解得93ba，82ca. （1）由8cba知 8293, 938 , aa aa 解得13a. 又a为整数，所以2a ，9315ba，8214ca. (2) 设错误错误!未找到引用源。未找到引用源。,m n是方程的两个整数根，且mn. 由根与系数的关系可得39mnba ，28mnca ， 消去a， 得98()6mnmn ，  两边同时乘以 9，得8172()54mnmn ，分解因式，得(98)(98)10mn. 所以 981, 9810, m n 或 982, 985, m n 或 9810, 981, m n 或 985, 982, m

50、 n 解得 1, 2, m n 或 10 , 9 13 , 9 m n 或 2 , 9 7 , 9 m n 或 1 , 93 2 , 3 m n 又,m n是整数，所以后面三组解舍去，故1,2mn. 因此，()3bmn ，2cmn ，二次函数的解析式为 2 32yxx. 易求得点 A、 B 的坐标为 （1,0） 和 （2,0） ， 点 C 的坐标为 （0,2） ， 所以ABC 的面积为 1 (2 1) 21 2 . 第二试第二试 （B） 一 （本题满分一 （本题满分 20 分）分）设整数, ,a b c为三角形的三边长，满足 222 13abcabacbc，求 符合条件且周长不超过 30 的三角形的个