方向导数的计算公式直角坐标系中课件.ppt

1、计算方法绪论一、一、电磁场与电磁波电磁场与电磁波包含的基本内容：包含的基本内容：静电场静电场（电荷电场（电荷电场）恒定电场恒定电场（电流电场）（电流电场）恒定磁场恒定磁场（恒定电流磁场（恒定电流磁场和永恒磁体磁场）和永恒磁体磁场）矢量分析（数学基础）矢量分析（数学基础）静态场边值问题求解静态场边值问题求解解析法解析法：分离变量法、镜像法、格林函数法、复变函数法等：分离变量法、镜像法、格林函数法、复变函数法等数值法数值法：有限差分法、有限元法、边界元法、矩量法等：有限差分法、有限元法、边界元法、矩量法等近似解析法近似解析法：逐步逼近法、微绕法、变分法、迭代变分法等：逐步逼近法、微绕法、变分法、迭

2、代变分法等完整的完整的axswell方程组方程组法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律（变化磁场产生电场）（变化磁场产生电场）麦克斯韦位移电流假说麦克斯韦位移电流假说（变化电场产生磁场）（变化电场产生磁场）基础总结基础总结基础总结时变场高斯定理时变场高斯定理磁通连续性定理磁通连续性定理标量位函数标量位函数矢量位函数矢量位函数边界条件边界条件基础总结基础总结应用实例均匀平面波的传播均匀平面波的传播电磁波的辐射电磁波的辐射波导和谐振腔波导和谐振腔微波元件微波元件微波电路微波电路 大家在大家在大学物理大学物理中比较深入地研究过中比较深入地研究过三种静态场，对静态场有比较全面的了解。三种静态场，对静态场

3、有比较全面的了解。所以重点放在静态场的分析方法以及时变电所以重点放在静态场的分析方法以及时变电磁场的基本规律。磁场的基本规律。第一第一、介绍电磁场理论中经常涉及到的数学知识，即矢、介绍电磁场理论中经常涉及到的数学知识，即矢量分析及场论初步；量分析及场论初步；第二第二、介绍三种静态场（静电场、恒定电场、恒定磁、介绍三种静态场（静电场、恒定电场、恒定磁场）；场）；第三第三、研究静态场边值问题的一些经典求解方法。之所、研究静态场边值问题的一些经典求解方法。之所以选择静态场来介绍解法，一是因为静态场相对于时变场以选择静态场来介绍解法，一是因为静态场相对于时变场（时谐场或瞬态场）的解法简单。二是这些解法

4、稍加修正即（时谐场或瞬态场）的解法简单。二是这些解法稍加修正即可推广至时变场的情形，因而它是求解电磁场与电磁波问题可推广至时变场的情形，因而它是求解电磁场与电磁波问题的基础。的基础。第四第四、在引出时变电磁场各种物理量的基础上，结合电、在引出时变电磁场各种物理量的基础上，结合电磁场的一些基本定律（电磁感应定律，全电流定律等），给磁场的一些基本定律（电磁感应定律，全电流定律等），给出具有普遍意义的麦克斯韦方程组；并在此基础上研究电磁出具有普遍意义的麦克斯韦方程组；并在此基础上研究电磁场的普遍规律、概念和表示方法。场的普遍规律、概念和表示方法。第五、第五、研究均匀平面波在无界理想或导电媒质中的传播

5、研究均匀平面波在无界理想或导电媒质中的传播规律，以及在无限大平面上的反射与透射规律，它们是研究规律，以及在无限大平面上的反射与透射规律，它们是研究电磁波问题的基础。是电磁波最简单的一种传播形式。电磁波问题的基础。是电磁波最简单的一种传播形式。二、本课程讲授的内容及基本的学习方法本课程讲授的内容是今后可能会遇到本课程讲授的内容是今后可能会遇到的各种射频的各种射频、微波、电波传播、通信等问题微波、电波传播、通信等问题的基础。具有非常重要的理论意义与实际的基础。具有非常重要的理论意义与实际价值。价值。熟练掌握和应用相关的数学知识，包括微积熟练掌握和应用相关的数学知识，包括微积分运算、级数、复变函数的

6、表示方法与运算、梯分运算、级数、复变函数的表示方法与运算、梯度、散度、旋度、正交坐标系；度、散度、旋度、正交坐标系；各种基本物理量的定义、含义、基本单位；各种基本物理量的定义、含义、基本单位；熟记麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式，熟记麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式，并注意这些具有普遍意义的数学等式如何体现到并注意这些具有普遍意义的数学等式如何体现到各种不同的场分布和场结构当中；各种不同的场分布和场结构当中；注意习题与例题的求解方法，从中找出具有注意习题与例题的求解方法，从中找出具有普遍意义的解题过程与方法。普遍意义的解题过程与方法。学习的关键：第一章矢量分析第一章矢量分析 电场和磁场都是

7、矢量场，在研究电磁电场和磁场都是矢量场，在研究电磁场之前，先介绍分析矢量场和标量场问题场之前，先介绍分析矢量场和标量场问题的数学工具的数学工具矢量分析矢量分析。本章的主要内容有：三种常用的坐标本章的主要内容有：三种常用的坐标系；矢量代数；标量函数的系；矢量代数；标量函数的梯度梯度；矢量函；矢量函数的数的散度散度；矢量函数的；矢量函数的旋度旋度。第一章矢量分析第一章矢量分析矢量与矢量场矢量与矢量场电磁场和其它场一样要用具有确定物理意义的量（电磁场和其它场一样要用具有确定物理意义的量（标量或矢标量或矢量量）来表征，这些量在一定的）来表征，这些量在一定的区域区域内按一定的分布规律，并且在内按一定的分

8、布规律，并且在这个区域内，除去有限个点或某些表面这种这个区域内，除去有限个点或某些表面这种分布规律分布规律是空间坐标是空间坐标的连续函数。的连续函数。如果某场量在某时刻在空间任意一点如果某场量在某时刻在空间任意一点仅仅由其由其大小大小（标量）就（标量）就能完全确定，则这些标量函数表示的场称为能完全确定，则这些标量函数表示的场称为标量场标量场。如果描述物理量的函数与如果描述物理量的函数与时间无关时间无关，则该函数代表，则该函数代表“静态静态场场”；反之，若该函数除与；反之，若该函数除与空间空间位置有关外还是位置有关外还是时间时间的函数时，的函数时，则它表示的场是则它表示的场是“时变场时变场”。在

9、直角坐标系中，标量场一般用标量表示；矢量场须用矢量表在直角坐标系中，标量场一般用标量表示；矢量场须用矢量表示，而它又可以表示成三个标量函数的形式。示，而它又可以表示成三个标量函数的形式。(,)(,)(,)(,)x xyyz Zx xyyzzFF x y z taF x y z ta F x y z taF x y z taFa FaFa F 如果场量某时刻在空间任一点都需要用如果场量某时刻在空间任一点都需要用矢量函数矢量函数才能完才能完全确定，则为全确定，则为矢量场矢量场其场量具有其场量具有大小大小和和方向方向。通常我们用曲线形象地表示矢量场在空间的分布，其中某处通常我们用曲线形象地表示矢量场

10、在空间的分布，其中某处的疏密程度表示该处场量的大小（强弱），而曲线在该点的切的疏密程度表示该处场量的大小（强弱），而曲线在该点的切线方向则是该点矢量场的方向。这种曲线称为线方向则是该点矢量场的方向。这种曲线称为“力线力线”或或“通通量线量线”。1.1 三种常用的坐标系三种常用的坐标系v 其面积元为其面积元为：dxdydSzdydzdSxdxdzdSy（1-1-3）v 六面体的体积元是：六面体的体积元是：dxdydzdV（1-1-4）2、坐标单位矢量：、坐标单位矢量：zyxaaa,相互正交相互正交符合右手螺旋法符合右手螺旋法则则zyxaaaxzyaaayxzaaa（1-1-1）zraaarzaa

11、aaaarz（-）v 其面积元为：其面积元为：dzrddldldSzrdrdzdldldSzrrdrddldldSrz（1-1-7）dzrdrddldldldVzr（1-1-8）v 六面体的体积元为：六面体的体积元为：dzdlzdrdlrrddl 体积元为体积元为：ddrdrdldldldVrsin2rdrddldldSrddrdldldSrsin2drdrdldldSrsin（1-1-12）其面积元为：aaarraaaaaar（1-1-9）drdlsindrdlrrddl（1-1-11）长度元长度元(,)xy z四、三种坐标系的坐标变量之间的关系：四、三种坐标系的坐标变量之间的关系：为区别柱

12、、球坐标系中的为区别柱、球坐标系中的 及及 ，球坐标系改为大写的球坐标系改为大写的 及及 。Ra Rra r1、直角坐标系与柱坐标系的关系：、直角坐标系与柱坐标系的关系：sinry cosrx zz（1-1-14）q q 22yxrxyarctanzz（1-1-15）y),(RxoM),(zrrRxyzRsinzy 222zyxR（1-1-17）arctanyx222arccoszxyz2、直角坐标系与球坐标系的关系：、直角坐标系与球坐标系的关系：y(,)xy zy),(RxoM),(zrrRxyzRsinz （1-1-16）sinsinyRsin cosx RcoszRsinRr cosRz

13、（1-1-18）22arcsinzrr22zrR（1-1-19）3、柱坐标系与球坐标系的关系：、柱坐标系与球坐标系的关系：(,)xy zy),(RxoM),(zrrRxyzRsinz五、三种坐标系的坐标单位矢量之间的关五、三种坐标系的坐标单位矢量之间的关系：系：1、直角坐标系与柱坐标系：、直角坐标系与柱坐标系：zr,zyx,公共，公共，坐标单位矢量坐标单位矢量可用右图来描述。可用右图来描述。zacossinxraaazzaazzaasincosxyaaa cossinrxyaaasincosyraaaxMoy单位圆单位圆xarayaa2、柱坐标系与球坐标系的关系：、柱坐标系与球坐标系的关系：3

14、、直角坐标系与球坐标系：直角坐标系与球坐标系：注意：v 直角坐标系中，各单位矢量均为常矢量；v圆坐标系中，单位矢量是常矢量，而单位矢量 是变矢量（其方向随坐标点而变化）；v球坐标系中，各单位矢量均是变矢量，其方向均随坐标点而变化。v各坐标之间，各单位矢量的换算关系。例如如何用直角坐标单位矢量来表示圆柱坐标系中的以及球坐标系中的za,xyza aa,raa,rzaaa,xyzaaa,ra a;a1.2 矢量代数矢量代数一、矢量加法和减法：一、矢量加法和减法：1、矢量加法：、矢量加法：在直角坐标系中：在直角坐标系中：zzyyxxAaAaAaAzzyyxxBaBaBaB)()()(zzzyyyxxx

15、BAaBAaBAaBA2、矢量减法：、矢量减法：()()()()xxxyyyzzzA BABa ABa ABa AB 在直角坐标系中：在直角坐标系中：二、矢量的乘积：二、矢量的乘积：1、标量积或点积或内积：、标量积或点积或内积：),cos(BABABA标量标量标量积服从乘法交换律和分配律：标量积服从乘法交换律和分配律：ABBACABACBA)(AB坐标单位矢量的点积：坐标单位矢量的点积：1zzyyxxaaaaaa0 xzzyyxaaaaaax xy yz zAB AB AB AB 点积用矢量的分量表示的表达式为：点积用矢量的分量表示的表达式为：zzyyxxAaAaAaAzzyyxxBaBaBa

16、B2、矢量积或叉积或、矢量积或叉积或外积外积：),sin(BAABBABA大小大小方方向向BA BA 、平行四边形面积平行四边形面积满足右手螺旋定则满足右手螺旋定则在直角坐标系中，矢量积的表达式为：在直角坐标系中，矢量积的表达式为：zyxzyxzyxBBBAAAaaaBA矢量矢量矢量积不服从交换律，但服从分配律：矢量积不服从交换律，但服从分配律：CABACBAABBA)(坐标单位矢量的矢量积：坐标单位矢量的矢量积：0zzyyxxyxzxzyzyxaaaaaaaaaaaaaaaAB1.3 标量函数的梯度标量函数的梯度一、标量函数的等值面、等值线：一、标量函数的等值面、等值线：、等值面：、等值面：

17、（直角坐标系直角坐标系中）中）如标量场如标量场 是场中点是场中点M的的单值函数单值函数,则可记为则可记为u()(,)uu Mu x y zc当当 取某些数值时取某些数值时,函数函数 (常数常数);zyx,cu 当当 取另外一些数值时取另外一些数值时,函数函数 (常数常数);zyx,cu即随着即随着 的取值不同的取值不同,将会得到一系列的曲面将会得到一系列的曲面,那么那么,这样的曲面就称为标量场这样的曲面就称为标量场 的等值面的等值面.cu例例:温度场中的等温面温度场中的等温面;湿度场中的等湿面湿度场中的等湿面.(1-37)2、等值线、等值线：如标量如标量随着的取值不同，就得到一组曲线，随着的取

18、值不同，就得到一组曲线，那么，这样的曲线就称为等值线。那么，这样的曲线就称为等值线。c单值)(),(常数cyxv例：地图上的等高线。例：地图上的等高线。注注：无论是无论是等值面等值面还是等值线，在还是等值线，在空空间间或平面上均是互不相交的。或平面上均是互不相交的。(,)vv x y例：求标量场例：求标量场 通过通过点点M（1，2，3）的等值面方程。）的等值面方程。)ln(222zyx解：函数在点解：函数在点M（1，2，3）处的值为）处的值为 14ln)321ln()ln(222222zyx故通过点故通过点M（1，2，3）的等值面方程）的等值面方程14ln)ln(222zyx14222zyx

19、即二、方向导数：二、方向导数：研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场（标量函数）随空间变化的情况标量函数在某（标量函数）随空间变化的情况标量函数在某点处的方向导数定义为：点处的方向导数定义为：设有标量场设有标量场u(x,y,z)（标量函数），从场中（标量函数），从场中某点某点位移动到邻近另一点时函数从位移动到邻近另一点时函数从u(u(M0)变成变成(u()。则比值就是标量函数在点处的方向导则比值就是标量函数在点处的方向导数。如下图：数。如下图：dludududluududllana、方向导数的定义：、方向导数的定义：0)()(lim00MllulMuMu0

20、MllM（1-3-1）0Mlu称为函数称为函数 在点在点 处沿处沿 方向的方向导数。方向的方向导数。)(Mu0Mllu当当0：lu当当0：lu当当=0：函数函数 沿沿 方向是增加的；方向是增加的；lu 函数函数 沿沿 方向是减少的；方向是减少的；lu 函数函数 沿沿 方向是不变的。方向是不变的。lu 2、方向导数的计算公式：、方向导数的计算公式：直角坐标系中直角坐标系中（1-3-2）zayaxalzyx 点点 至至 M 点的距离矢量点的距离矢量 为：为：0Mlyxoz0MllMzzuyyuxxuuMuMu)(-)(0 称为称为的的方向余弦方向余弦zzuyyuxxuucoscoscoszuyux

21、ulu 若若 与与 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 ：则：则 zy,x,l,lzyx,coslalxxcoslalyycoslalzz（1-3-3）直角坐标系中任意点沿直角坐标系中任意点沿 方向的方向导数为：方向的方向导数为：lcos,cos,cos lyxoz0MllM例例1：求函数求函数处沿在点 M zyxu)1,0,1(222.22方向的方向导数 aaalzyx解：解：222zyxxxu 222zyxyyu 222zyxzzu)1,0,1(M21xu0yu21zu的方向余弦为而 l 312211cos222322212cos222322212cos222（1-3-3）由 得21322132

22、03121Mlu点沿 方向的方向导数为：l Mu 在函数zyxaaal22zayaxalzyx三、梯度：三、梯度：1、梯度的定义：、梯度的定义：0MllM 方向导数描述了函数在给定点方向导数描述了函数在给定点 沿某个沿某个方向的变化的问题，但给定某点方向的变化的问题，但给定某点 会有无会有无穷多个方向，则穷多个方向，则方向导数也会有无穷多个方向导数也会有无穷多个。0M0M 梯度即是在某给定点梯度即是在某给定点 处其处其值值等于最大的方等于最大的方向导数的模，其向导数的模，其方向方向就是函数变化率最大的方向就是函数变化率最大的方向。0M在右图中设在右图中设u和和udu是相差是相差很小的等值面，且

23、很小的等值面，且du。点。点位于位于u等值面上，沿两个不同的等值面上，沿两个不同的路径移到点和点。其中路径移到点和点。其中与等值面的法线方向平行。很与等值面的法线方向平行。很明显所以。明显所以。若设方向的单位矢量为，若设方向的单位矢量为，且的夹角为，则有且的夹角为，则有：uududllanadnMPnaMPMQ MQ d ud ud nd lla,nlaacos.nldudu dnduduaadldn dldndn令令nd uGad n则或则或,ld uGad ld uGd l可见，标量场可见，标量场u在点沿方向的方在点沿方向的方向的导数等于矢量在此方向的投影（分向的导数等于矢量在此方向的投影

24、（分量），我们称矢量为量），我们称矢量为u在点的梯度在点的梯度（gradient），记为），记为gradu，即：，即：gradu所以：所以：laGGnduadn()ldugraduadl 若令若令：zayaxalalzyxl 再令再令：xyzuuuGaaaxyz（1-3-4）则则ulG00limlimcos(,)lllluuGl G aGG alll 上式说明：上式说明：在在 方向上的投影正方向上的投影正好等于函数好等于函数 在该方向的方向导数。在该方向的方向导数。Gul 当当 与与 的方向一致时，的方向一致时，称为函数称为函数 在给定点在给定点 处的处的梯度梯度。记作。记作uGl0MGGlu

25、maxGgraduzzuyyuxxuu（u的全微分）的全微分）下面推导（直角坐标系）梯度的计算公式2、梯度的计算公式：、梯度的计算公式：直角坐标系中直角坐标系中（1-3-5）3、梯度的性质：、梯度的性质：一个标量函数一个标量函数 的梯度是一个的梯度是一个矢量函数矢量函数。u 函数函数 在给定点沿任意在给定点沿任意 方向的方向导数等于方向的方向导数等于该函数的梯度在该函数的梯度在 方向上的方向上的投影投影。即：。即：ulllagradulu.xyzuuugraduaaaxyz（1-3-6）在标量场中任一点 处的梯度垂直于过该点的等值面。且指向函数 增大的方向。uM4、矢量微分算子 兼有矢量运算和

26、微分运算的双重作用：“”则()xyzxyzuaaauxyzuuu aaagraduxyz 梯度也可记作u梯度：某给定点的最大变化率，与所选的坐标系无关；但具体计算时，对不同的坐标系有不同的表达式。直角坐标系xyzaaaxyz（1-3-7）证明见用实际现象说明梯度的意义：如登山时，你可以看到周围山势是不同的，有的部分陡峭，有的部分平缓，山坡往上最陡峭的方向就是梯度的方向，在该点山坡高度沿最陡方向的变化率就是梯度的模。柱坐标系中梯度的计算公式 ：),(zrdzardadral d zrdzzurdurdrru dzzududrrudu 1即即lduldzuauraruadu zr)1(zuaura

27、ruaugradu zr1故zarara zr1（1-3-8）（1-3-9）矢量微分算子：矢量微分算子：球坐标系中梯度的计算公式球坐标系中梯度的计算公式 ：),(r同理同理：urauraruaugradu rsin11矢量微分算子矢量微分算子：sin11rarara r例2：处在点求标量场)1,1,2(32M yzxyu .22,方向的方向导数以及在矢量的梯度 aaal zyx解：zuayuaxuagraduzyx2323)2(yzazxyayazyx)1,1,2(MzyxMaaau33的方向余弦为而 l 32)1(222cos22232)1(222cos22231)1(221cos222点沿

28、 方向的方向导数为：l Mu 在函数31)31()3(32)3(321Mlu.22 aaal zyx例：,)()()(222zzyyxxR试证明)1()1(RR zayaxazyx 其中yxoz),(zyxM),(zyxMrrrrR矢径源点场点证：21222)()()()1(zzyyxxR21222)()()(zzyyxxxax21222)()()(zzyyxxyay21222)()()(zzyyxxzaz23222)()()()()()(zzyyxxzzayyaxxazyx33)1(rrrrRRR 静电场521222)()()()1(zzyyxxR21222)()()(zzyyxxxax21

29、222)()()(zzyyxxyay21222)()()(zzyyxxzaz23222)()()()()()(zzyyxxzzayyaxxazyx33)1(rrrrRRR 证毕例：已知平面方程)2,0,0(,6326求在点 zyx处该平面的单位法向矢量。解：令标量函数zyxu326根据梯度性质，等值面的法向矢量应和梯度平行法向矢量应和梯度平行。即uua uaunn而zyxzyxaaaazuayuaxuu3267)3(26222u7326zyxnaaaa7326zyxnaaaa因平面上各点的单位法向矢量是一样的，故（0，0，-2）点处单位法向矢量为：7326zyxnaaaa1.4 矢量函数的散度

30、矢量函数的散度一、矢量的通量：一、矢量的通量：1、矢量场的矢量线：、矢量场的矢量线：常用带方向常用带方向(箭头箭头)的场线来形象地表示矢量场在空的场线来形象地表示矢量场在空间的分布情况间的分布情况.那么那么,这些场线就称为这些场线就称为矢量线矢量线或流线或流线.线上每一点的切线方向代表该点的矢量场的方线上每一点的切线方向代表该点的矢量场的方向；线的疏密程度就表示该点的矢量场的大小向；线的疏密程度就表示该点的矢量场的大小.如点电荷产生的电场中的电力线如点电荷产生的电场中的电力线.2、矢量线的微分方程：在直角坐标系中,设某一矢量函数 为：F),(),(),(),(zyxFazyxFazyxFazy

31、xFFzzyyxx 由定义:矢量线上任一点的切向长度元 与该点的矢量场 平行.Fl d则0ldFzzyyxxFaFaFaF 而dzadyadxal d zyx（1-4-1）0dzdydxFFFaaaldF 1)4(1 zyxzyx可写成zyxFdzFdyFdx 即（1-4-2）求出通解，就可画出矢量线。例：求矢量场 的矢量线方程。222zyayxaxyaFzyx解：矢量场应满足的微分方程为：zyxFdzFdyFdx 222zydzyxdyxydx 2222zydzxydx yxdyxydx 即xczcyx1222.21是积分常数和cc3、矢量的通量、矢量的通量：ASddSnSd（1-4-3）q

32、 方向的确定：方向的确定：n ：是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C，选定选定 C 的绕行方向，则由右手螺旋定则，四指指向的绕行方向，则由右手螺旋定则，四指指向 C 的绕的绕行方向，大拇指指向行方向，大拇指指向 的方向，也即的方向，也即 方向方向。SdSdnnSd 是闭合面的面元，则是闭合面的面元，则 为该闭合面的外法线方向。为该闭合面的外法线方向。dSASdA cos面元足够小，视其上的面元足够小，视其上的A为常数为常数穿过穿过 的通量的通量ASdn 记作记作:dSASdAdcosASd矢量场矢量场 的通量为标量的通量为标量,其正、其正、负与面

33、元负与面元 的的 取向有关。取向有关。Anq 穿过面积穿过面积 S 的通量为：的通量为：若若S为开表面，则穿过曲面为开表面，则穿过曲面 S的通量为：的通量为：SSSSdSAdSnASdAdcos 若若S为闭合面，则穿出为闭合面，则穿出 S的通量为：的通量为：SSSdSnASdAd（1-4-5）（1-4-6）讨论讨论:S:S为闭合面为闭合面 S S内没有内没有净净源（源和沟的源（源和沟的总量或无源也无沟）总量或无源也无沟）.:0 S S内必有吸收通量线的源内必有吸收通量线的源 负源负源:0 S S内必有发出通量线的源内必有发出通量线的源 正源正源:0 SSSdSnASdAd穿过闭合面的通量只说明

34、整个闭合面的穿过闭合面的通量只说明整个闭合面的源的情况，而不能说明闭合面内每一点的源的情况，而不能说明闭合面内每一点的性质，它没有反映面内源在每点处的分布性质，它没有反映面内源在每点处的分布特性。为了研究一个点附近的通量，我特性。为了研究一个点附近的通量，我们可以把闭合面缩小，使包含在这点在内们可以把闭合面缩小，使包含在这点在内的体积。取如下极限：的体积。取如下极限：A0V VSdASV0lim二、散度：二、散度：1、散度的定义：、散度的定义：VSdASV0lim若若存在，就称此极限为存在，就称此极限为矢量场矢量场 在在M点处的散度。记作点处的散度。记作AdivAAdivVSdASV0limv

35、 散度的意义：表示场中任意一点散度的意义：表示场中任意一点M处，处，通通量对体积的变化率量对体积的变化率。也称为。也称为“通量源密度通量源密度”。（1-4-7）v 讨论：Adiv0：该点有发出通量线的正源正源；Adiv0：该点有吸收通量线的负源负源；Adiv0：该点无源。散度是标量。AdivVSdASV0lim2、散度在直角坐标系中的表示式：、散度在直角坐标系中的表示式：zAyAxAAdizyxv即即AAdi v)()(zzyyxxzyxAaAaAazayaxaAdiv（1-4-8）（1-4-9）3、柱坐标系中散度的表示式：、柱坐标系中散度的表示式：zAArrArrAAdi zr1)(1v4、

36、球坐标系中散度的表示式：、球坐标系中散度的表示式：ArArArrrAAdi rsin1)(sinsin1)(122v5、高斯散度定理：SVSdAdVA（1-4-11）意义：任意矢量场 的散度在场中任意一个体积 V 内的体积分等于矢量场 在限定该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的积分。AA证明：任取一体积 V，其相应的闭合表面为 S。现将体积元 V 分成N个体积元：NiVVVV,21 对任一体积元而言 ViiiiSVVdVSdAAii0lim即iVSiVASdAii)(lim0 同理：对 相邻的体积元 jViVjVSjVASdAjj)(lim0 从 、组成的体积中穿出的通量为：jViVjViVj

37、iVAVAji)(lim)(lim00jiSSSdASdA 相邻两个体积元有一个公共表面，而公共表面上的通量对这两个体积元来说，其 方向恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边的积分只剩下 、外表面上的通量外表面上的通量，因此，当体积 V 由N 个小体积元组成时，穿出体积 V的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。niVjV NiSNiiVjiSdAVA110)(lim即SVSdAdVA)(证毕例：已知矢量场 ，求由内向外穿过圆锥面 与平面 所围曲面的通量。zayaxarzyx222zyxHz yxozH解：21SSSSdrSdrSdr1S2S因在圆锥面 上 处处有 垂直于2Sr,Sd02

38、SSdr 1113SSSHHdxdyzdxdySdr 故dxdyadSaSdzz例：长方体区域由长方体区域由0,3z 0,2;y x;1,0六个面组成，设其内矢量场六个面组成，设其内矢量场yxaxaxyA22试就此验证散度试就此验证散度dfdf定理的有效性定理的有效性。解：由题意知A矢量为二维矢量，且和3,0 zz的表面平行，因此只需要计算其余表面的通量。12 adxdzAadxdzA adydzAadydzASdA yyyyxxxxs 30102301003020130200)()()()()()()()(又因yzAyAxAAzyx2yxaxaxyA22于是体积分12223020302010

39、 ydydzydxdydzdVAV以上计算表明：散度定理成立。yxoz例：球面例：球面 S 上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 ,zayaxaAzyx求求.SSdA解：根据散度定理解：根据散度定理SVSdAdVA3zAyAxA A A zyx的散度为而.4343333RRdVdVASdA VVS由于矢量的散度反映了在该点通量由于矢量的散度反映了在该点通量源强度，因此定义散度不为零的矢量场为源强度，因此定义散度不为零的矢量场为“有源场有源场”或或“有散场有散场”，而在各点处的，而在各点处的散度为零的矢量场为散度为零的矢量场为“无源场无源场”或或“管形管形场场”。，即。，即AA00AA有散场

40、（有源场）管形场（无源场）1.5 矢量函数的旋度矢量函数的旋度一、矢量的环量：一、矢量的环量：1、定义：、定义：CCdlAldAcosAA线线l d（1-5-1）在矢量在矢量 的场中，矢的场中，矢量量 沿某一闭合路径沿某一闭合路径的线积分，称为该矢量的线积分，称为该矢量沿此闭合路径的环量。沿此闭合路径的环量。AA环量是一个标量；环量是一个标量；可正、可负。可正、可负。例：求矢量例：求矢量 （c是常数）沿曲线是常数）沿曲线 的环量。的环量。caxayaAzyx0)2(222zRyx、RC解：由于在曲线解：由于在曲线 c 上上 z=0,则则 dz=0.CCxdyydxldA )()cos2(sin

41、20RdR20)sin()cos2(RdR22 R与矢量穿过闭合面的通量一样，矢量的环与矢量穿过闭合面的通量一样，矢量的环流也是描述矢量场性质的重要参量；并且相似地可流也是描述矢量场性质的重要参量；并且相似地可以说，如果矢量沿闭合曲线的环量不为零，则此矢以说，如果矢量沿闭合曲线的环量不为零，则此矢量场存在量场存在“旋涡源旋涡源”。A2、有旋场、无旋场（保守场）：、有旋场、无旋场（保守场）：在某一矢量在某一矢量 的场中，的场中，矢量矢量 沿任意闭合路径的线沿任意闭合路径的线积分，恒等于零，则该矢量场积分，恒等于零，则该矢量场为为无旋场无旋场；反之，为；反之，为有旋场有旋场。AAAA线线l d二、

42、旋度：二、旋度：1、环流密度、环流密度：SldACS0lim环流密度环量从分析矢量场的性质来看，除了应知道矢量场从分析矢量场的性质来看，除了应知道矢量场的环量（积分量）外，更为重要的是还应知道矢量的环量（积分量）外，更为重要的是还应知道矢量场在每点附近的环流情况。为此把闭合路径缩小，场在每点附近的环流情况。为此把闭合路径缩小，使它包围的曲面面积，取极限使它包围的曲面面积，取极限0S SldACS0limv 讨论：nAAS 与 的边界 C 保持一致，Cl dAmax取最大值l d AAl dM 与 有一夹角 ，则AnCldAmaxn A Cl dA0v 当当 时，即有旋矢量场时，即有旋矢量场 与

43、面元与面元 的法向分量的法向分量 垂直时，环流密度有最大值，此即被称为垂直时，环流密度有最大值，此即被称为 的旋度。的旋度。nAASnA与 不在同一平面上AS2、旋度的定义：矢量 的环流密度的最大值。记作ArotA故0limCnsSA dlrot ArotA daS即CA dlrotA d S（1-5-2）Arotn（1-5-3）81方向上的投影在面元矢量是 n Arot Arotn以及以及（表示的方向单位矢量）（表示的方向单位矢量）maxlimnsA dlrotAas naS由此可见：由此可见：、是一个矢量；、是一个矢量；、其大小是矢量在该点处的最大环流面密、其大小是矢量在该点处的最大环流面

44、密度；度；、其方向是当面元的取向使环流密度最、其方向是当面元的取向使环流密度最大时该面元的方向大时该面元的方向rotAASSnarotA总之，表示了在该点处旋涡源的总之，表示了在该点处旋涡源的强度。若某区域各点处的均等于零，则称强度。若某区域各点处的均等于零，则称为为“无旋场无旋场”或或“保守场保守场”。ArotAA3、旋度在直角坐标系中的表达式：、旋度在直角坐标系中的表达式：v 以点为顶点，做一平行于平以点为顶点，做一平行于平面的矩形面元，则该面元矢量的模为：面的矩形面元，则该面元矢量的模为：yozzySxzyaSxx设点的矢量为：设点的矢量为：zzyyxxAaAaAaA4321)()(dz

45、aAdyaAdzaAdyaAl dAzyzyCzyzAzyyAyzzAyzzAAzyyAAyAzyyzzy)()(zAyASldAyzxCSx0lim方向上的分量在 x Arot同理：xAzASldAzxyCSy0limyAxASldAxyzCSz0lim方向上的分量在 y Arot方向上的分量在 z Arotv v)()()(yAxAaxAzAazAyAaArot xyzzxyyzxA)()(zzyyxxzyxAaAaAazayaxa故zyxzyxAAAzyxaaaAArot（-4）（-5）y例：例：求求222zayaxaAzyx沿着在沿着在 面上的一个闭合路径面上的一个闭合路径C的线积分。

46、此闭合路径由在（的线积分。此闭合路径由在（0，0）和（）和（2，）之间的一）之间的一2段抛物线段抛物线xy 2和两段平行于坐标轴的直线段组成，如图和两段平行于坐标轴的直线段组成，如图所示。所示。计算计算 的旋度。的旋度。Axoy解：解：)()(222dzadyadxazayaxal dAzyxzyxdyydxxdyadxazayaxayxzyx22222)()(ODDBBOCl dAl dAl dAl dAODDBBOdyydxxdyydxxdyydxx)()()(222222改错改错y在路径BO 上，有;20;0,0由xdyy在路径DB 上，有;20,0,2由ydxx在路径OD 上，有;02

47、,02由由yxODDBBOCdyydxxdyydxxdyydxxl dA )()()(222222022022202202dyydxxdyydxx03333333302022020yxyx的环量等于零。A：计算：计算 的旋度的旋度A的环量等于零。的环量等于零。A的旋度也应的旋度也应等于零。等于零。A222zyxzyxaaaAzyxyxxyaxzzxazyyzazyx)()()()()()(222222=0例：求矢量场例：求矢量场 在在点点 M（1，0，1）处的旋度及沿）处的旋度及沿)()()(xyzazxyayzxaAzyxzyxaaal362方向的环流密度。方向的环流密度。解：矢量场解：矢量

48、场 的旋度的旋度A)()()(xyzzxyyzxzyxaaaAzyx)()()(xyazxayzazyx在点在点 M（1，0，1）处的旋度）处的旋度zyxMaaaA2方向的单位矢量 l)362(3621222zyxlaaallazyxaaa737672在点 M（1，0，1）处沿 方向的环流密度7177327672lMaAl4、矢量分析中的两个重要恒等式：旋度的散度恒等于零。证明：)()(AArotdiv)()()()(yAxAaxAzAazAyAazayaxaxyzzxyyzxzyx0)()()(yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyz 旋度与散度的定义都与坐标系无关。0)(A （1-5-6

49、）应用：AB B 0若（1-5-7）逆命题也成立，即如果已知一矢量场的散度恒等于逆命题也成立，即如果已知一矢量场的散度恒等于零，则它可以表示成另外一个矢量场的旋度。正是根据这零，则它可以表示成另外一个矢量场的旋度。正是根据这一定理，我们才由恒定磁场的磁感强度引出矢量磁位的概一定理，我们才由恒定磁场的磁感强度引出矢量磁位的概念。念。由该等式可知，由任何矢量场的旋度所构成的新的矢由该等式可知，由任何矢量场的旋度所构成的新的矢量场都是管形场（无散场），而管形场可以表示成一个矢量场都是管形场（无散场），而管形场可以表示成一个矢量场函数的旋度。量场函数的旋度。梯度的旋度恒等于零。梯度的旋度恒等于零。证明

50、：证明：ugradurot)()()(zuayuaxuazayaxazyxzyx0)()()(xuyyuxazuxxuzayuzzuyazyx 旋度与散度的定义都与坐标系无关。旋度与散度的定义都与坐标系无关。（该式是一个普遍结论）（该式是一个普遍结论）0u 应用：应用：0 E0E逆定理也成立，即如果已知矢量场的旋度等于零，逆定理也成立，即如果已知矢量场的旋度等于零，则该矢量场可以表示成一个标量场的梯度。正是根据这一则该矢量场可以表示成一个标量场的梯度。正是根据这一定理我们才引出了静电场的电位函数。定理我们才引出了静电场的电位函数。我们已知，旋度为零的矢量场称为保守场，所以任何我们已知，旋度为零