大学物理6章1-机械振动xiu课件.ppt

1、第第6 6章章 物体的周期性物体的周期性运动与机械波运动与机械波广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量(如位移、电如位移、电流等流等)在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动：物体在一定位置附近作：物体在一定位置附近作来回往复的运动。来回往复的运动。6-1 简谐振动的概念简谐振动的概念最简单最基本的线性振动。最简单最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移其偏离平衡位置的位移x（或角位移（或角位移）随）随时间时间t按余

2、弦（或正弦）规律变化的振动。按余弦（或正弦）规律变化的振动。0cos()xAtkl0 xmoAA 弹簧振子的振动弹簧振子的振动00Fx一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型振动的成因振动的成因b 惯性惯性a 回复力回复力mk2令令 xxFm弹簧振子的运动分析弹簧振子的运动分析-简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程22ddxkaxtm 得得222d xaxdt 得得o22d xFkxmamdt 222d xxodt即即-简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAx解方程解方程设初始条件为设初始条件为:解

3、得解得xtx222dd000 =时，时，v vtxx简谐运动方程简谐运动方程二、简谐振动的运动学方程二、简谐振动的运动学方程简谐运动方程简谐运动方程)2cos()cos(tTAtAx一、简谐振动的特征量一、简谐振动的特征量maxxAtx图图AA xT2Tto1 振幅振幅6-2 简谐振动的特征量简谐振动的特征量)cos(tAx2 2 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期)(cosTtA注意注意tx图图AA xT2Tto21T 频率频率T22 圆频率圆频率 周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的的物理性质有关物理性质有关)cos(tAx)(cosTtA

4、tx图图AA xT2Tto频率为频率为Hz33.1/1T例如，例如，心脏的跳动心脏的跳动80次次/分分s 75.0)s(8060(min801）T周期为周期为大象大象 2530 马马 4050猪猪 6080 兔兔 100松鼠松鼠 380 鲸鲸 8动物的心跳（次动物的心跳（次/分）分）昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz）雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 苍苍 蝇蝇 330 黄黄 蜂蜂 220http:/ 相位的意义相位的意义:表征任意时刻（表征任意时刻（t）物体振）物体振动状态（相貌）动状态（相貌）.物体经一周期的振动，物体经一周期的振动，相位改变相位改变

5、 .2t3 3 相位相位)cos(tAx相位相位(位相位相)tt)()(0tt时，初相位初相位22020vxA00tanxv4 4 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件)sin(tAv)cos(tAx 对给定振动对给定振动系统，周期由系系统，周期由系统本身性质决定，统本身性质决定，振幅和初相由初振幅和初相由初始条件决定始条件决定.cos0A2 0,0,00vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxtx图图AA xT2Tto0sin0Av0sin取取2二、二、旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振动的它的模等于振动

6、的振幅振幅A，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针逆时针方向的方向的匀角速转动匀角速转动，其角其角速度速度 与振动频率与振动频率相等相等，这个矢量就这个矢量就叫做叫做旋转矢量旋转矢量.AA)cos(tAx 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动.xAo 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动.xAoxoAcos0Ax 0t0 x 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动

7、为简谐运动动.xAooAtt t)cos(tAxxMPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第1 1象限象限速度速度V

8、V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第2 2象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意

9、：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第3 3象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V

10、V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 MPxA注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第4 4象限象限速度速度V V0 0 讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间两运动状态间变化所需的时间21()()tt 12ttt)cos(11tAx)cos(22tAxAx2Atobaat3T

11、Tt61232AbtvAxAoA （2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位的简谐运动，相位差表示它们间差表示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成（解决振动合成问题）问题）.12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt0 xto同步同步xto为其它为其它超前超前落后落后12txo反相反相用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相例例1：振子的振动周期为：振子的振动周期为12s，振子由平衡位置到正向最大，振子由平衡位置到正向最大位置处所需的最短时间是多少？位置处所需的最短时间是多少？振子经历上述过程的一半路

12、程所需最短振子经历上述过程的一半路程所需最短解：解：1t时刻旋转矢量与时刻旋转矢量与x轴之间的夹角为轴之间的夹角为2末态旋转矢量与末态旋转矢量与x轴之间的夹角为轴之间的夹角为0即：即：22011tT02022tTx时间是多少？时间是多少？于是有：于是有：2)(212 ttT最短时间为：最短时间为：412Ttt于是于是22011tT32022tT解得：解得：sTtt11212x3振子经历上述过程的一半路程时旋转矢量振子经历上述过程的一半路程时旋转矢量与与x轴之间的夹角为轴之间的夹角为3仿例仿例6-4 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程

13、。线如图所示，试求其振动方程。431.431.715.715.01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法11007.15sincmsAv)tcos(Ax0 设振动方程为设振动方程为0020 cosAa1431 cmsvAm.2143171500.Avsin 6560或或0000 cos,a则则60 17151 cmsvt.2161 mvvAv )sin(6116761或 01001)cos(,a 则则 6761 1143 s.cmvAm10143431 .故振动方程为故振动方程为cmtx)cos(610 方法方法2：用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。)cos(tAx)cos()si

14、n(2 tvtAvm1431 cmsAvm.0 tst1 2 vov的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位2 t由图知由图知 322 6 11 s cmvAm10143431 .cmtx)cos(610 431.431.715.715.01)(st)(1 cmsv)2cos(0wtAv200cos()cos()maAtat 0cos()xAt00sin()cos()2mvAtvt toTa vx.x v aT/4T/4三、三、谐振动的位移、速度、加速度谐振动的位移、速度、加速度cos(2)xmvvtcos(2)Atcos()xmaat2cos()At由图可见：由图可

15、见：2av超前2vx超前x t+o Amv ma 090090A简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征 xtx222dd （2）简谐运动的动力学描述）简谐运动的动力学描述kxF （1）物体受线性回复力作用）物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置0 x)sin(tAv)cos(tAx （3）简谐运动的运动学描述）简谐运动的运动学描述xa2 （4）加速度与位移成正比而方向相反）加速度与位移成正比而方向相反以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为，位移为x0sin()vAt

16、 0cos()xAt212kEmv2201sin()2kAt212pEkx2201cos()2kAt谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四、四、简谐振动的能量简谐振动的能量（1）动能动能(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)O x Xmk2m)(sin21)sin(212122222ktAmtAmmEv（2）势能势能 线性回线性回复力是复力是保守保守力力，作简谐，作简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒.O x Xm)(cos2121222ptkAkxE（3）机械能机械能222pk2121kAAmEEE简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图tkAE22pc

17、os21tAmE222ksin214T2T43T能量能量otTtx tvv,xtoTtAxcostAsinv221kAE 0简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守简谐运动能量守恒，振幅不变恒，振幅不变kEpEx221kAE AApExOEBC动动能能212kEmv2201sin()2kAt势势能能212pEkx2201cos()2kAt情况同动能。情况同动能。maxmin,pppEEEmin0kE2114t TkktEE dtkAT2max12kEkA机械能机械能212kpEEEkA简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒 一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运

18、动的合成 设一质点同时参与设一质点同时参与两独立的同方向、同频两独立的同方向、同频率的简谐振动率的简谐振动：11A1xxO2x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx两振动的位相差两振动的位相差 =常数常数126-3 简谐振动的合成简谐振动的合成 两个同方向同频率简谐运动合成两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动后仍为同频率的简谐运动)cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A222112211coscossinsintanAAAAtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k),2

19、1 0(，kxxxto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差)12(12k),1 0(，k21AAA)12(12kox（3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA21AAA加强加强减弱减弱小结小结（1）相位差相位差212k)1 0(，k（2）相位差相位差)12(12k)1 0(，k合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中21coscos()2tt随随t 缓变缓变随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二.同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动11cos()xAt22cos()xAt合振动合振动21

20、212cos()cos()22xAtt12xxx当当 2 1时时,()cosxA tt则：212121()2 cos()2A tAt两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频:单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|xt tx2t tx1t t12 拍拍122 T或或：*三三 两个相互垂直的两个相互垂直的同频率同频率简谐运动的合成简谐运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹 （椭圆方程）（椭圆方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx（

21、1）或或2012xAAy12 讨讨论论（2）12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxtAxcos1)2cos(2tAy（3）2121A2Aoxy1222212AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx 讨讨论论 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图 两相两相互垂直同互垂直同频率不同频率不同相位差简相位差简谐运动的谐运动的合成图合成图*四、四、垂直方向不同频率垂直方向不同频率可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2-1随随t 缓慢变化合运动缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形yxA1A2o o-A2-A1简谐振动的合成简谐振动的合成()()yxyxt:3:20,4xyyx两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比李萨如图形李萨如图形1:21:32:3