工程力学第10章-弯曲变形与简单超静定梁课件.ppt

1、第10章 弯曲变形与简单超静定梁10.1梁的变形和位移梁在载荷作用下,即使具有足够的强度,如果其变形过大,也可能影响梁的正常工作。例如:齿轮传动轴的变形过大,会影响齿轮的啮合(图10-1);起重机大梁的变形过大,会在起重机行驶时发生剧烈的振动等。因此,对梁的变形有时需要加以限制,使它满足刚度的要求。与上述情况相反,有时则要利用梁的变形来达到一定的目的。有些机械零件,例如车辆上的叠板弹簧,就是利用它的变形来减轻撞击和振动的影响的。此外,在求解超静定梁时,必须考虑梁的已知变形条件才能求解。为了解决上述问题,需要研究梁的变形。本章将只研究对称弯曲下梁的变形,并主要限于等直梁的情况。首先说明工程计算中

2、如何度量梁的变形。梁弯曲后的轴线称为挠曲线。由于工程中梁的变形大都属于弹性变形,故挠曲线又称为弹性曲线。对于对称弯曲下的梁,其挠曲线是一条在外力作用平面内的光滑连续的平面曲线(图10-2)。梁变形时,轴线上的点即横截面的形心将产生线位移。由于工程中梁的变形一般都很小,挠曲线为一平坦的曲线,因而此位移沿变形前梁轴线方向的分量与其铅垂方向分量相比很小,可以忽略不计。这样就可认为梁轴线上点的线位移垂直于梁变形前的轴线,此线位移称为该点的挠度。例如图10-2中的CC为梁变形前轴线上C点的挠度。由平面假设可知,梁的横截面在梁变形后仍保持为平面,它绕中性轴发生转动,但仍垂直于梁变形后的轴线即挠曲线。这说明

3、梁变形时,除了横截面形心有线位移外,横截面本身还有角位移,此角位移称为横截面的转角。例如图10-2中的C为横截面C的转角。转角和挠度这两种位移都能反映梁弯曲变形的大小,故工程计算中就用它们来度量梁的变形。挠度的常用单位是mm(毫米),转角的单位是rad(弧度)。为了描述梁的挠度和转角,须选用一定的坐标系统。一般将坐标原点取在梁的左端,并取梁变形前的轴线为x轴,与它垂直且在挠曲线所在平面内的轴为w轴,它们分别以向右和向上为正向(图10-2)。于是,梁的挠曲线可以用函数w=f(x)(a)来表示。它表示了梁变形前轴线上任一点的横坐标x与该点挠度w之间的关系,通常称为挠曲线方程。由几何学原理及转角定义

4、可知,距原点为x处的横截面的转角就等于挠曲线在同一x坐标处切线的倾角(例如图10-2中的C),而此倾角的正切与挠曲线函数有下述关系因为挠曲线为一平坦的曲线,值很小,故有tan(c)由式(b)、式(c)两式可见,梁横截面的转角应为式(d)表明转角可以足够精确地从挠曲线方程(a)对x求一次导数得到。它表示梁横截面位置的x与该截面的转角之间的关系,通常称为转角方程。在图10-2所示的坐标系统中,挠度w以向上为正,向下为负;转角则以逆时针转向为正,顺时针转向为负。为了具体求得梁的挠曲线方程和转角方程,还必须建立梁的变形与载荷之间的物理关系。在上一章中已经得到了梁在纯弯曲情况下和线弹性范围内用曲率表示的

5、梁轴线的弯曲变形公式,即由于式中的弯矩M等于外力偶矩Me,故结合梁的挠曲线的定义可知,此公式实际上是以曲率表达了梁的挠曲线与载荷之间的关系。在横力弯曲情况下,梁的横截面上除了有弯矩,还有剪力,后者会使梁产生附加的弯曲变形。由于对常见的细长梁来说,这种附加的弯曲变形可以忽略不计,故上式仍可应用于横力弯曲。但应注意,此时弯矩和曲率半径都是x的函数,即式中,弯矩M(x)是梁任一横截面上的弯矩表达式,它是由梁上载荷表示的。为了从上式建立弯矩与挠度、转角之间的关系,必须先将曲率与挠度、转角10.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分联系起来。由微分学可知,平面曲线上任一点的曲率为将式(b)的关系代入式(a),

6、可得上式是二阶非线性微分方程。在平坦的挠曲线中,转角=是个很小的量,故()2与1相比就可以忽略不计,于是式(c)可简化为现在讨论式(d)中正、负号的选择问题。式中的 的正、负号应根据弯矩正、负号规定与选定的坐标系来确定。由图10-3a可见,当弯矩为正值时,挠曲线为凹向,其二阶微分 亦为正值;由图10-3b可见,当弯矩为负值时,挠曲线为凸向,其二阶微分为 负值。由此可见,对于所选定的坐标系,M与 恒为同号。显然在式(d)中应取正号。于是得通常称此式为梁的挠曲线近似微分方程。根据公式(10-1a),即可进一步计算梁的挠度和转角。下面就等直梁的情况来介绍用积分运算的过程。对于等直梁,EIz为常量,公

7、式(10-1a)也可改写为还可由上节中的式(d)和此式得将上式两边各乘以dx,然后积分一次,可得EIz=M(x)dx+C(10-2a)将=代入上式,再积分一次,即得EIzw=M(x)dxdx+Cx+D(10-2b)上面两式中的积分常数C、D可以通过梁上的已知位移(挠度或转角)条件来确定。这种已知条件称为梁的边界条件。例如梁在固定端处的挠度和横截面的转角都等于零,在铰支座截面处的挠度等于零。积分常数确定以后,将它们代入式(10-2a)和式(10-2b),即分别得到梁的转角方程和挠曲线方程。于是可进一步确定梁上任一横截面的转角和轴线上任一点的挠度。工程中对于梁在指定截面处的挠度常用f表示。从上节几

8、个例题可以看出,梁的转角方程和挠度方程是梁上载荷的线性齐次函数,这是由于梁的变形通常很小,梁变形后,仍可按原始尺寸进行计算,而且梁的材料符合胡克定律。在此情况下,当梁上同时有几个载荷作用时,由每一个载荷所引起的转角和挠度不受其他载荷的影响。这样,就可应用叠加法。用叠加法求梁的转角和挠度的过程是:先分别计算每个载荷单独作用下所引起的转角和挠度,然后分别求它们的代数和,即得这些载荷共同作用时梁的转角和挠度。叠加法虽然不是一个独立的方法,但它对于计算几个载荷作用下梁指定截面的转角或指定点的挠度是比较简便的。为了便于应用,表10-1中节录了简单载荷作用下梁的转角和挠度。10.3叠加法求梁的转角和挠度前

9、已指出,为了保证梁能正常工作,除了应使其满足强度要求外,有时还应使它满足刚度要求。这就要求梁的最大挠度值wmax或最大转角值max或某一指定截面的转角值不得超过它们的许用值w、,即wmaxw(10-3)或max(10-4)上面两式即梁的刚度条件。在各类工程中,根据梁的工作要求,在设计规范中对w或一般都有具体的规定。例如:吊车大梁的许用挠度w=()L,L为梁的跨度;齿轮轴在装齿轮处的许用转角=0.001rad。在工程计算中,一般是根据强度条件选择梁的截面,然后再对梁进行刚度校核。10.4梁的刚度校核提高梁刚度的一些措施10.4.1梁的刚度校核梁的刚度校核当梁的刚度不足时,可以根据影响梁变形大小的

10、各有关因素,采取如下一些措施来提高梁的刚度。1.增大梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度包含横截面的惯性矩Iz和材料的弹性模量E两个因素,下面对它们分别进行讨论。梁的变形与横截面的惯性矩成反比,故增大惯性矩可以提高梁的刚度,例如可采用工字形、箱形、环形等合理截面。这与提高梁的强度的办法是类似的。但两者也有区别。为了提高梁的强度,可以将梁的局部截面的惯性矩增大,即采用变截面梁;但这对提高梁的刚度则收效不大。这是因为梁的最大正应力只决定于最大弯矩所在的截面的大小,而梁在任一指定截面处的位移则与全梁的变形大小有关。因此,为了提高梁的刚度,必须使全梁的变形减小,因而应增大全梁或较大部分梁的截面惯性矩才能达到目的。

11、梁的变形还与材料的弹性模量E成反比。采用E值较大的材料可以提高梁的刚度。但必须注意,在常用的钢梁中,为了提高强度可以采用高强度合金钢,而为了提高刚度,采取这种措施就没有什么意义。这是因为与普通碳素钢相比,高强度合金钢的许用应力值虽较大,10.4.2提高梁刚度的一些措施提高梁刚度的一些措施但弹性模量E值则是比较接近的。2.调整跨度梁的转角和挠度与梁的跨度的n次方成正比,跨度减小时,转角和挠度就会有更大程度的减小。例如均布载荷作用下的简支梁,其最大挠度与跨度的四次方成正比,当其跨度减小为原跨度的1/2时,则最大挠度将减小为原挠度的1/16。故减小跨度是提高梁的刚度的一种有效措施。在有些情况下,可以

12、增设梁的中间支座,以减小梁的跨度,从而可显著地减小梁的挠度。但这样就使梁成为超静定梁。图10-10a、b分别画出了均布载荷作用下的简支梁与三支点的超静定梁的挠曲线大致形状,可以看出后者的挠度远较前者为小。在有可能时,还可将简支梁改为两端外伸的梁。这样,既减小了跨度,而且外伸端的自重与两支座间向下的载荷将分别使轴线上每一点产生相反方向的挠度(图10-11a、b),从而相互抵消一部分。这也就提高了梁的刚度。例如桥式起重机的桁架钢梁就常采用这种结构形式(图10-11c),以达到上述效果。超静定梁与静定梁相比,支座增多了,相应的约束也就增多了。这种增多的约束也就是多余约束。相应的力称为多余约束力。通常

13、把具有几个多余约束的梁称为几次超静定梁。图10-12a、b中的梁均为一次超静定梁,图10-12c、d所示的梁分别为二次和三次超静定梁。为了求得超静定梁的全部约束力,与求解拉压超静定问题类似,需要综合考虑梁的变形、物理和静力学三个方面。约束力求得以后,其余的计算与静定梁的完全相同。下面以图10-13a所示的等直梁为例,说明超静定梁的解法。此梁具有一个多余约束,故为一次超静定梁。假设支座B为多余约束,并设想将它去掉,而代之以未知的多余约束力FB。这样就得到受均布载荷和多余约束力FB作用的悬臂梁(图10-13b)。这种去除多余约束后,受原来的载荷及多余约束力作用的静定梁称为原超静定梁的相当系统。要使

14、相当系统与原超静定梁完全一致,就必须使它们两者的变形情况相同。由于原超静定梁在多余约束B处10.5简单超静定梁的解法与约束情况相协调的变形条件是该处的挠度等于零,故悬臂梁在B点处的挠度也应等于零,即wB=0(a)上述悬臂梁B点处的挠度wB可以采用叠加法计算。以wBq和 分别表示均布载荷和FB单独作用时B点的挠度(图10-13c、d),则将式(b)的关系代入式(a),得这就是本问题的变形几何方程,式中的wBq和可以由表10-1求得为式(d)、式(e)两式就是本问题的物理关系。将它们代入式(c),即得补充方程为 由此式可解得多余约束力为多余约束力求得以后,其余的约束力FA和MeA(图10-14a)

15、即可在相当系统上按静力平衡方程求得为各个约束力求得以后,即可作梁的剪力图和弯矩图(图10-14b、c),并进一步求最大应力。至于变形的计算也应在相当系统上进行,这与前面对静定梁的变形计算完全相同。应该指出,在超静定梁中,多余约束是可以任意选取的,其原则是便于求解。对于同一超静定梁,如果选取的多余约束不同,则相应的相当系统、变形几何方程和补充方程也随之不同,但解得的全部约束力则是相同的。例如对上述超静定梁,也可以选取A端阻止转动的约束为多余约束,其相应的多余支座约束力为固定端的约束力偶MeA。将此约束去除后,其相当系统为如图10-15所示的简支梁。根据原超静定梁A端横截面转角A=0这一变形条件,即可进而建立补充方程以求解MeA。建议读者按此自行算出全部结果。以上解题的方法步骤也适用于解二次超静定梁。此时可建立两个变形几何方程,因而补充方程也就有两个。这样,解多余约束力时就需解二元一次联立方程组。对于三次以上的超静定梁若仍用上述方法求解,则将不够简便,此时就宜采用其他方法。