高等数学第八章第六节《空间直线及其方程》课件.ppt

1、第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一),(0000zyxM2.对称式方程对称式方程故有说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如,当,0,0时pnm和它的方向向量

2、,),(pnms sMM/03.参数式方程参数式方程设得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.)2,0,1(故.s,)1,1,1(1n)3,1,2(2n21ns,ns21nns故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji2L1L二、线面间的位置关系

3、二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21,LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s特别有特别有:21)1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss例例2.求以下两直线的夹角解解:直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L)1,2,2()1(1)2()4(21222

4、1)4(1222)1()2(2)1,4,1(1s2010112kjis 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn特别有特别有:L)1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn例例3.求

5、过点(1,2,4)且与平面(1)平面束方程平面束方程(1)过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(2)点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms),(1111zyxM),(0000zyxML例例4.求与两平面 x 4 z=3 和 2 x y 5 z=1 的交线提示提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x)1,3,4(40151232y15z平行,且 过点(3,2,5)的

6、直线方程.21nnskji241312zyx例例5.求直线与平面062zyx的交点.提示提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t例例6.求过点(2,1,3)且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.提示提示:先求二直线交点 P.0)3()1(2)2(3zyx化已知直线方程为参数方程,代入 式,可得交点),(7371372P最后利用两点式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为),(312),(011),(123过已知点且垂直于已知直线,)1,2,3(P例例7.求直线0101zyxzyx在平面上的投影直线方程.提示提示

7、：过已知直线的平面束方程从中选择01)1(1)1(1)1(得001zyxzy这是投影平面0)1()1()1()1(zyx0)1(1zyxzyx即0zyx使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程,1例例8.设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,503cos504cos,505cos1nsn)4,1,7(1n)2,1,1(s417211kji)4,5,3(2所求为1.空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyyt

8、mxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2.线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms),(2222pnms 021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss,0DzCyBxACpBnAm平面 :L L/夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3.面与线间的关系面与线间的关系直线 L:),(CBAn),(pnms 0 ns0nsnsns L)1,2,1(A,11231:1zyxLiL设直线解：

9、解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程.的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积.),2,1(isi,n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线Ex1:nOA2L2s设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点.即故所求直线方程为 2L),(000zyxB则有2L)1,2,1(Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB0)1()2(2)1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式,得由对称式得所求直线方程而)1,2,1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L)1,2,1(A),(000zyxB