1、三、一般迭代法(补充)第八节的实根求方程0)(xf可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三三章 一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法，内只有一个根在若方程,0)(baxf内严格单调）（在且baxf,)(为则称,ba.其隔根区间,0)()(,)(bfafbaCxf为隔根区间,ba(1)作图法 1.求隔根区间的一般方法求隔根区间的一般方法 ;)(估计隔根区间的草图由xfy 转化为等价方程将0)(xfxoy)(xfy xoy.)(,)(的草图估计隔根区间由xyxyab)()(xxab)(xy)(xy(2)逐步
2、收索法01,3 xx方程例如13 xx由图可见只有一个实根,)5.1,1(可转化为.)5.1,1(即为其隔根区间,的左端点出发从区间ba以定步长 h 一步步向右搜索,若0)1()(hjafjhaf)1(;,1,0(bhjaj.)1(内必有根，则区间hjajha搜索过程也可从 b 开始,取步长 h 0.xoy213xy 1 xy1a1b2.二分法二分法，设,)(baCxf，0)()(bfaf只有且方程0)(xf，一个根),(ba取中点，21ba1，若0)(1f.1即为所求根则，若0)()(1faf,),(1a则根;,111baa令,),(1b否则对新的隔根区间,11ba重复以上步骤,反复进行,得
3、,111bba令,11nnbababa的中点若取,nnba则误差满足)(211nnnab)(121abnab)(211nnnba,的近似根作为0 n1a1b例例1.用二分法求方程04.19.01.123xxx的近似实根时,要使误差不超过,103至少应对分区间多少次?解解:设,4.19.01.1)(23xxxxf),()(Cxf则9.02.23)(2xxxf)067.5(0,),()(单调递增在xf又,04.1)0(f06.1)1(f故该方程只有一个实根 ,1,0为其一个隔根区间欲使)01(1211nn310必需,100021n即11000log2n96.8可见只要对分区间9次,即可得满足要求的
4、实根近似值10二、牛顿切线法及其变形二、牛顿切线法及其变形:)(满足xf0)()(,)1bfafba上连续在不变号及上在)()(,)2xfxfba.),(0)(内有唯一的实根在方程baxf有如下四种情况:xbayoxbayoxbayoxbayo00 ff00 ff00 ff00 ff牛顿切线法的基本思想:程的近似根.记纵坐标与)(xf 同号的端点为,)(,(00 xfx用切线近似代替曲线弧求方yxbao1x0 x在此点作切线,其方程为)()(000 xxxfxfy令 y=0 得它与 x 轴的交点,)0,(1x)()(0001xfxfxx其中再在点)(,(11xfx作切线,可得近似根.2x如此继
5、续下去,可得求近似根的迭代公式:)()(111nnnnxfxfxx),2,1(n2x称为牛顿迭代公式牛顿迭代公式 牛顿法的变形牛顿法的变形:(1)简化牛顿法简化牛顿法若用一常数代替yxbao,)(1nxf即用平行,)()(10nxfxf代替例如用则得简化牛顿迭代公式.线代替切线,得)()(011xfxfxxnnn),2,1(n优点:，避免每次计算)(1nxf因而节省计算量.缺点:逼近根的速度慢一些.三三.一般迭代法一般迭代法(补充),)(0)(xxxf 转化为等价方程将方程在隔根区,0 x间内任取一点按递推公式),2,1()(1nxxnn,nx生成数列,limnnx若则 即为原方程的根.称为迭代格式,)(称为迭代函数x称为迭代0 x,lim存在称迭代收敛若nnx初值.否则称为发散.例例3.用迭代法求方程.2,1 013内的实根在 xx解法解法1 将方程变形为,13 xx迭代格式为,131nnxx5.10 x取123nnx05.1375.2396.12779.1903发散!解法解法2 将方程变形为,13xx迭代格式为,131nnxx5.10 x取12nnx05.135721.133086.17832472.132472.1迭代收敛,1.32472 为计算精度范围内的所求根.内容小结内容小结1.隔根方法 作图法 二分法 2.求近似根的方法二分法 牛顿切线法简化牛顿法一般迭代法
