1、三、环流量与旋度三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件*四、向量微分算子四、向量微分算子 yozx一一、斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 定理定理1.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd(斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与 的正向符合右手法则,RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点,设其方程为yxDyxyxfz),(,),(:n为确定起见,不妨设
2、取上侧(如图).yxDC则有则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式)yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加,即得斯托克斯公式;情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的
3、两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意注意:如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例1.利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整个解解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yx
4、Dyxdd323yxD例例2.为柱面与平面 y=z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针,计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解:设为平面 z=y 上被 所围区域,且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222三、三、环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式yxxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(co
5、sn)cos,cos,(cos令,引进一个向量),(RQPA Arot)(),(),(yPxQxRzPzQyR记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场A定义定义:sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线 的环流量环流量.sASnAddrot或sASAndd)(rot于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度旋度.ozxyl设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,M则),(zyxr 角速度为,r),0,0(点 M 的线速度为rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2,0,0(2(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:向量场
6、 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系!sASAndd)(rot为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义:内容小结内容小结1.斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscoszuyuxu,3.场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设,),(zyxuu,),(RQPA 梯度梯度:uradgzRyQxPRQPkjizyxArotAdiv散度散度:旋度旋度:则思考与练习思考与练习,222zyxr设则.)radg(rot;)radg(divrr提示提示:rradgrzryrx,)(rx
7、x2rrrxx,322rxr)(ryy322ryr)(rzz322rzr)0,0,0(r2)radg(rotr三式相加即得)radg(divrrzryrxzyxkji0斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之 为纳维 斯托克斯方程),1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分 五卷 出版.zyxkjiArot的外法向量,计算解解:)1,0,0(SIdcosyxyxDdd28232zxy,4:222zyx2.设),3,2(2zxyA.drotSnAI)cos,cos,(cosn为n
