1、第五节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及其方程 zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量,),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称nkji例例1.1.求过三点,1M又)1,9,14(0)4()1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解:取该平面 的法向量为),2,3,1(),
2、4,1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况:过三点)3,2,1(),(kzyxMkkkk的平面方程为特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程.),0,0(,)0,0(,)0,0,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cba平面方程为 PozyxRQ二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000z
3、yx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价,)0(222CBA),(CBAn 的平面,因此方程的图形是法向量为 方程方程.特殊情形特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 z
4、ox 面 的平面.,),0(iCBn例例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.例例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解:因平面通过 x 轴,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点)1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 2特别有下列结论：特别有下列结论：21)1(021
5、2121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/nn2n1n2n1n因此有例例4.一平面通过两点垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解解:设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0)1()1()1(2CzCyCxC约去C,得0)1()1()1(2zyx即02zyx0)1()1()1(zCyBxA)1,1,1(1M,)1,1,0(2M和则所求平面故,),(CBAn方程为 n21MMn且外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5.设22210
6、1010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解:设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d.0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd,),(CBAn(点到平面的距离公式)xyzo0M例例6.解解:设球心为求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx,1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331,),(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R2222)633()633(633)633(
7、zyx内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn,0:22222DzCyBxA),(2222CBAn,0:11111DzCyBxA),(1111CBAn)5,15,10(0)1(5)1(15)1(10zyx0632zyxEx1:求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.)1,1,1(7zyx051223zyx解解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得),1,1,1(1n)12,2,3(2n21nnn
