1、第四节 基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四四章 一、一、有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和例例1.将下列真分式分解为部分分式:;)1(1)1(2xx;653)2(2xxx.)1)(21(1)3(2xx解解:(1)用拼凑法22)1()1(
2、1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx(2)用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x(3)混合法)1)(21(12xx xA2121xCBx原式)21(xA21x54代入等式两端分别令1,0 xC541215461CB52B51C原式=x214512112xx例例2.求.)1)(21(d2xxx解解:已知)1)(21(12xx51x214212xx211xxx21)21(d52原式221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln
3、512xCxarctan51例例3.求.d3222xxxx解解:原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23例例4.求求.d)22(222xxxx解解:原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x2212xxC二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则例例
4、5.求求.d)cos1(sinsin1xxxx解解:令,2tanxt 则222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1(sinsin1 2121tt212tt)1(2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln212.简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理
5、式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp例例6.求.21d3xx解解:令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2(x323x321ln3xC例例7.求.d3xxx解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令例例8.求.d11xxxx解解:令,1xxt则,112tx22)1(d2d
6、tttx原式原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?)0(d.1662axxaxxxxcossind.23解解:1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612.原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxx
7、dsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121ex 1.求不定积分解：解：.d)1(126xxx令,1xt 则,1tx ttxd1d2,故xxxd)1(126161t)11(2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctanCxxxx1arctan1315135分母次数较高,宜使用倒代换.2.求不定积分解：解：.dcos3sin1xxx原式=2tanxu 前式令xxdcos31xxxdcos3sin221131uuuud122uud2122arctan21u)cos3(dcos31xxxcos3ln;后式配元Cx cos3ln)2tan21arctan(21xCx cos3ln
