1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例:设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想,采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量 M.其中,表示 n 小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).SzyxMd),(定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Sz
2、yxfd),(其中 f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若 是分片光滑的,
3、例如分成两片光滑曲面oxyz定理定理:设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f(x,y,z)在 上连续,存在,且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分yxD),(kkkyxk)(说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.如果曲面方程为yxD例例1.计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解:yxDyxyxaz),(,:2222222:hayxDyx221yxzz 222
4、yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyhanext思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z=h 截出的上下两部分,)(dzS)(dzS0hln4aa则hhoxzy例例2.计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.ozyx111解解:设上的部分,则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(12031zyx与,0,0,0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式=分别表示 在平面 xozy例例3.设2222:azyx),(z
5、yxf计算.d),(SzyxfI解解:锥面22yxz的222yxaz.,2222122azayx 1设,),(22122ayxyxDyx,22yx，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为1yxD则 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD内容小结内容小结1.定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2.计算:设,),(,),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz
6、yxdd(曲面的其他两种情况类似)思考与练习思考与练习P219 题3；4(1);7 解答提示解答提示:P219 题3.,),(,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设则0P246 题2P219 题4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是 的面积!2xyD)(2:22yxzP219 题7.如图所示,有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd)1(302221rt令o21yxDzyxP246 题2.设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分,则有().;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDCEx1:1.已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M.解解:在 xoy 面上的投影为,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213
