1、二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节函数的连续性与间断点 第一章 可见,函数)(xf在点0 x一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义,)()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1)(xf在点0 x即)(0 xf(2)极限)(lim0 xfxx(3).)()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;continue)()(lim,),(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.,
2、baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续.(有理整函数)又如又如,有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时,有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:例例.证明函数xysin在),(内连续.证证:)
3、,(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续.同样可证:函数xycos在),(内连续.0在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数)(xf0 x(2)函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3)函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在,但)()(lim00 xfxfxx 不连续:0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点0 x之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:
4、)(0 xf及)(0 xf均存在,)()(00 xfxf若称0 x,)()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.xytan)1(2x为其无穷间断点.0 x为其振荡间断点.xy1sin)2(1x为可去间断点.11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin01)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5)0,10,00,1)(xxxx
5、xxfyxyo11,1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点.内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(.2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(.1xf0 x在点连续的等价形式思考与练习思考与练习1.讨论函数231)(22xxxxfx=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03.P65 题 5)(xf为连续函数.答案答案:x=1 是第一类可去间断点,P65 题题5 提示提示:xxxfsin1sin1)()1()()2(xf有理点x,1无理点x,1)()3(xf有理点x,x无理点x,xxyo11xyoEx:确定函数间断点的类型.xxexf111)(解解:间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf
