1、二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1.设函数,)(baCxf函数)(tx满足:1),)(1Ct 2)在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数,因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则说明说明:1)当 ,即区
2、间换为，时,定理 1 仍成立.2)必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即)(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t例例1.计算).0(d022axxaa解解:令,sintax 则,dcosdttax;0,0tx时当.,2tax时 原式=2attad)2cos1(2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且例例2.计算.d12240 xxx解解:令,12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式=ttttd
3、231212ttd)3(21312)331(213tt 13322;1t且 例例3.,)(aaCxf设证证:(1)若,)()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2)若,)()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad)()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令例例4.计算xxxdsincos205 例例5.计算xxxdsinsin053 例例6.若xxxxxxfxxxfxxfxxfxfdcos1sin,d)(sin2d)(sin)2(;d)(cos
4、d)(sin110)(02002020 由此计算由此计算）（上连续，证明上连续，证明，在在二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2.,)(,)(1baCxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()()()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba例例7.计算.darcsin210 xx解解:原式=xx arcsin021210 xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221
5、)1(2x0211223120dcosttn20dcosxxn例例8.证明证明20dsinxxInn证证:令20dcosxxn,22143231nnnn n 为偶数,3254231nnnn n 为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 则,cossin)1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin)1(xxxnn02022dcossin)1(xxxnInn2022d)sin1(sin)1(xxxnn2)1(nInnIn)1(由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220
6、dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立.0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI 3254内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示:令,txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin2.设,0)1(,)(1fCtf,lnd)(31xttfx).(ef求解解31d)(lnxttfx)1()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef3.设,1,0)(连续在xf ,3)2(,1)0(ff且,5)2(f求.d)2(10 xxfx 解解:xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)解：解：4.右端,)(上有连续的二阶导数在设baxf)(af且试证 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)(21abxfbxax)()(21xbaxxfbad)2)(21分部积分积分)(d)2(21xfbaxba再次分部积分xxfbad)(abxfbax)()2(21=左端,0)(bf
