1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节欧拉方程 欧拉方程欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,tex 令常系数线性微分方程xtln即 第十二章 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁!tyyxddtytyyxdddd222 机动 目录 上页 下页 返回 结束,ln xt 则,ddtD 记则由上述计算可知:yDyxyDyDyx 22,),3,2(ddktDkkkyDD)1
2、(用归纳法可证 ykDDDyxkk)1()1()(于是欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 则,ddtD 记则原方程化为ttyyDyDD222)1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2,121rr则对应的齐次方程的通解为特征方程,0232 rrttyDD2)23(22即 tteCeCY221机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解
3、为41ln21ln212221xxxCxCy4121212221tteCeCytt换回原变量,得原方程通解为设特解:CtBtAy2代入确定系数,得4121212tty机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解:将方程化为xyyxyx22(欧拉方程),ddtD 记则方程化为,tex 令teyDDD2)1)1(即teyDD2)12(2特征根:,121 rr设特解:,2 tetAy 代入 解得 A=1,ttetetCCy221)(xxxxCC221ln)ln(所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.满足设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xx
4、ttytyyxx,01xy且.)(xy求解解:由题设得定解问题xyyxyx524 0)1(,0)1(yy,tex 令,ddtD 记则化为teyDDD54)1(teyD5)4(2特征根:,2ir设特解:,teAy代入得 A1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得通解为tetCtCy2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件得21,121CC故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:如何解下述微分方程提示提示:)()()(212xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu,teu 令原方程直接令 teax作业作业 P319 2;6;8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 tDdd记)()1(21aefypDpDDttDdd记
