厄米算符的本征函数系的完备性课件.ppt

1、引言 一切力学量均可用算符表示？本章学习的主要问题是：1、算符的定义 2、算符的运算 3、QM与MA中的算符的区别 4、算符的本征值问题 5、算符随时间的变化 6、其它问题本章是量子力学的基础 一个基本概念：厄米算符（作用与性质）二个基本假定：力学量用算符表示；任意态用厄米算符本征态表示 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值 四个力学量的本征态和本征值。代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的符号由于算符只是一种运算符号，所以它单独存由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的

2、运算才有意义，例如：对波函数做相应的运算才有意义，例如：4.1.1.算符定义算符定义4.1 4.1 表示表示 把函数把函数 u 变成变成 v，就是这种变就是这种变 换的算符。换的算符。u=v d/dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是对函数是对函数 u 微商，微商，故称为微商算符。故称为微商算符。du/dx=v x 也是算符。也是算符。它对它对 u 作用作用 是使是使 u 变成变成 v。x u=v（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)=c11+c22其中其中c1,c2是任意复常数，是任意复常数，1,1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符

3、 称为线性算符称为线性算符（2 2）算符相等）算符相等若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数对体系的任何波函数 的运算结果都相的运算结果都相 同，即同，即=，则算符，则算符 和算符和算符 相等记为相等记为=。piI 例如：例如：开方算符、取复共轭均不是线性算符。开方算符、取复共轭均不是线性算符。4.1.2.算符的一般特性算符的一般特性（3 3）算符之和）算符之和 若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数对体系的任何波函数 有：有：(+)=+=则则+=称为算符之和。称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。显然，算符求和满足交换率和结合率。之之和和。势势能能算算符符和和体体系系动动能

4、能算算符符等等于于算算符符表表明明VTHHamiltonVTH 例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。-=+（-）。）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4 4）算符之积）算符之积若若()=()=则则=其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来说算符之积不满足一般来说算符之积不满足 交换律，即交换律，即 这是算符与通常数运算这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。规则的唯一不同之处。（5 5）对易关系）对易关系若若 ，则称，则称 与与 不对易。不对易。不不对对易

5、易。例例如如：算算符符 xxipx xxxxiixpx )()1(证证：显然二者结果不相等，所以显然二者结果不相等，所以:ixppxixppxxppxxxxxxx 所所以以是是任任意意波波函函数数，因因为为）（而而 xxxxiixixp )()2(对易对易关系关系 izppziyppyzzyy与与共共轭轭动动量量满满足足同同理理可可证证其其它它坐坐标标算算符符000000000 zxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppxzyxppppixppx,0 量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。对对易易。

6、与与对对易易，而而与与对对易易，与与不不对对易易；与与对对易易，但但是是与与对对易易，与与zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx)()(若算符满足若算符满足=-，则称则称 和和 反对易。反对易。写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。对易，各动量之间相互对易。注意：注意：当当 与与 对易，对易，与与 对易，不能推知对易，不能推知 与与 对易与否。对易与否。例如：例如：（6 6）对易括号）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了力学与经典力学的关系，人们定义了 对易

7、括号：对易括号：,-这样一来，这样一来，坐标和动量的对易关系坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：不难证明对易括号满足如下对易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4),+,+,=0 上面的第四式称为上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。ipx,返回返回（7 7）逆算符）逆算符1.1.定义定义:设设=,=,能够唯一的解出能够唯一的解出 ,则可定义则可定义 算符算符 之逆之逆 -1 -1 为为:-1-1 =并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算符在逆算符,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆.2.2.性质性

8、质 I:I:若算符若算符 之逆之逆 -1-1 存在存在,则则 -1-1=-1-1 =I =I,-1-1=0 =0 证证:=:=-1-1=-1-1()=()=-1-1 因为因为是任意函数是任意函数,所以所以-1-1 =I =I成立成立.同理同理,-1-1=I =I 亦成立亦成立.3.3.性质性质 II:II:若若 ,均存在逆算符均存在逆算符,则则 ()-1-1=-1-1 -1-1nnFnxxFn!)0(0)()(设给定一函数设给定一函数 F(x),F(x),其各阶导数均存在其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛其幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符 的函数的函数 F(F()为为:nnFnUUFn)

9、(!)0(0)(ninntHitHe!10 算符算符的复共轭算符的复共轭算符 *就是把就是把表达式中表达式中 的所有量换成复共轭的所有量换成复共轭.piip*)(*例如例如:坐标表象中坐标表象中（8 8）算符函数）算符函数是是两两个个任任意意函函数数。和和式式中中定定义义为为：的的转转置置算算符符算算符符 *UdUdUUxx 1：例例 xdx*证证：利用波函数标准条件利用波函数标准条件:当当|x|x|时时,0 0。0)(*xxdxxxxx 0)(xxpp 由于由于、是是 任意波函数任意波函数,所以所以 *xdx xdx*|*xdx*同理可证同理可证:ABBA)(可可以以证证明明：（1010）转

10、置算符转置算符(11)(11)厄密共轭算符厄密共轭算符 *)(*OdOd *)(*OdOd由此可得：由此可得：:转置算符转置算符 的定义的定义*OO 厄密共轭厄密共轭 算符亦可算符亦可 写成：写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 +定义定义:可以证明可以证明:()+=+(.)+=.+*)(*Od *Od *Od(12)(12)厄密算符厄密算符1.定义定义:满足下列关系满足下列关系 的算符称为的算符称为 厄密算符厄密算符.OOOdOd*)(*或或 2.性质性质性质性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 +=,+=则则 (+)+=+=(+)性质性质

11、II:两个厄密算符之积一般不是厄密两个厄密算符之积一般不是厄密 算符算符,除非二算符对易除非二算符对易。因为因为 ()+=+=仅当仅当 ,=0 成立时成立时,()+=才成立。才成立。返回返回 nnFdF *一、一、厄密算符的本征值是实数。厄密算符的本征值是实数。当体系处于当体系处于 F F 的本征态的本征态n n 时，则每次测量结果都是时，则每次测量结果都是 F Fn n。由由 本征方程可以看出，在本征方程可以看出，在n n（设已归一）态下（设已归一）态下证证 nnndF *nF 是实数。所以必为实，nFF,2,1 nFFnnn （1 1）正交性）正交性定理定理1：厄密算符属于不同本征值的本征

12、函数彼此正交厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交证：mmmnnnFFFF 设设存存在在并并设设积积分分 dnn*)*(mmmFF 取复共轭，并注意到取复共轭，并注意到 F Fm m 为实。为实。两边右乘两边右乘 n 后积分后积分dFdFnmmnm*)(dFdFdFnmnnmnm*)(二式相二式相减减 得：得：0*)(dFFnmnm若若mFn，则必有：则必有：0*dnm 证毕证毕（2 2）分立谱、连续谱正交归一表示式）分立谱、连续谱正交归一表示式1.分立谱正分立谱正 交归一条交归一条 件分别为：件分别为：mnnmnmnnddd *0*1*2.连续谱正连续谱正 交归一条交归一条 件表示为：件表

13、示为：)(*d3.正交归一系正交归一系满足上式的函数系满足上式的函数系 n 或或 称为正交归一（函数）系。称为正交归一（函数）系。二、二、厄密算符的本征函数具有正交性。厄密算符的本征函数具有正交性。（4）简并情况）简并情况上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：n1n1,n2 n2,.,.,nfnf 满足本征方程：满足本征方程：fiF

14、Fninni,2,1 一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交。并不一定正交。可以证明由这可以证明由这 f f 个函数可以线性组合成个函数可以线性组合成 f f 个独立的新函数，个独立的新函数，它们仍属于本征值它们仍属于本征值 F Fn n 且满足正交归一化条件。且满足正交归一化条件。但是但是证证明明由这由这 f 个个n i 线性组合成线性组合成 f 个新函数个新函数 n jfjAnijifinj,2,11 可以满足正交归一化条件：可以满足正交归一化条件：fjjdAAdj jinniijjififijnnj,2,1,*11 证明分证明分如下两如下两步进行步进行1.1.nj nj 是本

15、征值是本征值 F Fn n 的本征函数。的本征函数。2.满足正交归一条件的满足正交归一条件的 f 个新函数个新函数n j可以组成。可以组成。nijifinjAFF 1nijifiFA 1 nijifinAF 1njnF 1.1.njnj是本征值是本征值F Fn n的本征函数。的本征函数。2.满足正交归一条件的满足正交归一条件的f个新函数个新函数nj可以组成。可以组成。fjjdAAdj jinniijjififijnnj,2,1,*11 方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之

16、和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1)/2 。fjAnijifinj,2,11 为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Aji ji 的个的个 数数 f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交归一条件方程正交归一条件方程 个数即可。个数即可。算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n简并的本质是：简并的本质是：当当 F Fn n 确定后还不能唯一的确定状确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，另外一个或几个力学量算符，F F 算算符与这些算符两两对易，其本征值符与这些算符两两对易，其本征值与

17、与 F Fn n 一起共同确定状态。一起共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。都是正交归一化的，即组成正交归一系。因为因为 f f2 2-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0，所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Aji ji 的个数，因而，我们的个数，因而，我们有多种可能来确定这有多种可能来确定这 f f

18、 2 2 个系数使上式成立。个系数使上式成立。f f 个新函个新函数数njnj 的确是算符的确是算符 F F 对应于本征值对应于本征值 Fn Fn 的正交归一化的正交归一化的本征函数。的本征函数。(I)(I)数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系（参看：梁昆淼，（参看：梁昆淼，数学物理方法数学物理方法P324P324；王竹溪、郭敦仁，；王竹溪、郭敦仁，特殊函数概特殊函数概论论1.10 1.10 用正交函数组展开用正交函数组展开 P41P41），即若：），即若：nnnF )()(xcxnnn 则任意函数则任意函数(

19、x)可可 按按n(x)展开：展开：(II)(II)除上面提到的动量本征函数外除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量人们已经证明了一些力学量 算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。三、三、厄

20、密算符的本征函数系的完备性。厄密算符的本征函数系的完备性。（一）两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件如果力学量如果力学量 F F 有确定值，有确定值，（x x）必为）必为 F F 的本征态，即的本征态，即 F如果有另一个力学量如果有另一个力学量 G G 在在 态中也有确定值，态中也有确定值，则则 必也是必也是 G G 的一个本征态，即的一个本征态，即 G结论：结论：当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F F 和和 G G 时，如果同时具有确定值，时，如果同时具有确定值，那么那么 必是必是 二力学量共同本征函数。二力学量共同本征函数。四、两个四、两个厄密算符具有共同本征函数系

21、的充要条件。厄密算符具有共同本征函数系的充要条件。（二）两算符对易的物理含义 GF FG FGFGFG0)(GFFGGFFG所以所以0)(GFFG？是特定函数，是特定函数，非任意函数也！非任意函数也！例如：例如：0,zxLLl=0 =0 的态，的态，Y Y l l m m=Y=Y0000 L Lx x L Lz z 同时有确定值。同时有确定值。但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。考察前面二式：考察前面二式：G F定理：若两个力学量算符有一组共同完备

22、定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。的本征函数系，则二算符对易。证：证：,3,2,1 nGGFFnnnnnn 已已知知：由于由于 n n 组成完备系，所组成完备系，所以任意态函数以任意态函数 (x)(x)可以可以按其展开：按其展开：)()(xcxnnn 则则nnncFGGFxFGGF )()()(nnnFGGFc)(nnnnnnnGFFGc)(nnnnnFGGFc)(因为因为 (x)(x)是任意函数是任意函数0 FGGF所所以以0 逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。有组成完备系的共同的本

23、征函数。证：证：考察：考察：nnnFF nnnnGG nnnFFG一一样样，本本征征值值亦亦为为与与的的一一个个本本征征函函数数，也也是是即即 )(n n 也是也是 G G 的本征函数，同理的本征函数，同理 F F 的所有本征函数的所有本征函数 n n （n=1n=1，2 2，)也也都是都是 G G 的本征函数的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系因此二算符具有共同完备的本征函数系.,0nnFFFGGF本本征征值值为为的的任任一一本本征征函函数数为为设设 仅考虑非简并情况仅考虑非简并情况即：即：nGF nnnGFFG )()(nnnGFGF 与与 n n 只差只差一常数一常数 G Gn

24、 n定理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。系的充要条件是这组算符两两对易。例例 1 1：.,)2(1)(,2/3zyxrpipzyxppperppp同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；动动量量算算符符：例例 2 2：.,)1(,),()()(,22mllEYrRrLLHnlmnlnlmz同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；氢氢原原子子中中：例例 3 3：例例 4 4：).,1,0(,221)(,2222mmImEeLILHmimm

25、zz同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：相相互互对对易易；定定轴轴转转子子：.,)1(,2)1(,1,0,2,1,0),(,22222mllIllElmlYLLILHllmz同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；空空间间转转子子：力学量完全集合（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例例 1 1：三维空间中自由粒子，完全确定其三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易

26、的力学量：状态需要三个两两对易的力学量：.,zyxppp例例 2 2：氢原子，完全确定其状态也需氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：.,2zLLH例例 3 3：一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：H（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。一组完备的本征函数，即体系

27、的任何状态均可用它展开。QMQM基本假定基本假定3,3,力学量与算符力学量与算符:经典力学中的任一力学经典力学中的任一力学量量F(r,p)F(r,p)对应量子力学线性厄米算符对应量子力学线性厄米算符,F,F的本征值为的本征值为力学量的测量值力学量的测量值(又称可测值又称可测值).).如果粒子的波函数是如果粒子的波函数是力学量的本征函数力学量的本征函数,本征值为本征值为f,f,则测量该粒子的力学则测量该粒子的力学量量F F时得时得,F=f.,F=f.4.3 QM4.3 QM基本假定基本假定3,3,力学量与算符力学量与算符 4.5 QM4.5 QM基本假定基本假定4,4,力学量平均值力学量平均值Q

28、MQM基本假定基本假定4,4,力学量平均值力学量平均值:量子力学中的所有力学量子力学中的所有力学量算符的本征函数都具备完备性量算符的本征函数都具备完备性.（一）力学量的可能值（一）力学量的可能值（二）力学量的（二）力学量的确定值确定值对基本假定的讨论对基本假定的讨论:对对QMQM基本假定基本假定3 3的讨论的讨论-对对QMQM基本假定基本假定4 4的讨论的讨论-（三）力学量的（三）力学量的平均值平均值力学量算符的本征函数组成完备系力学量算符的本征函数组成完备系(I)(I)数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系（参

29、看：梁昆淼，（参看：梁昆淼，数学物理方法数学物理方法P324P324；王竹溪、郭敦仁，；王竹溪、郭敦仁，特殊函数概特殊函数概论论1.10 1.10 用正交函数组展开用正交函数组展开 P41P41），即若：），即若：nnnF )()(xcxnnn 则任意函数则任意函数(x)可可 按按n(x)展开：展开：(II)(II)除上面提到的动量本征函数外除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量人们已经证明了一些力学量 算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般但是对于任何一个力学量算符，它的本征函

30、数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。推论：当体系处于推论：当体系处于(x)态时，测量力学量态时，测量力学量F具有确定值的具有确定值的 充要条件是充要条件是(x)必须是算符必须是算符 F的一个本征态。的一个本征态。证：证：1.必要性。若必要性。若F具有确定值具有确定值 则则(x)必为必为 F 的本征态。的本征态。确定值的意思就是确定值的意思就是 每次测量都为每次测量都为。根据根

31、据基本假定基本假定III，测量值必为本征值之一，测量值必为本征值之一，令令=m 是是 F 的一个本征值，满足本征方程的一个本征值，满足本征方程,2,1)()(mnxxFnnn 又根据又根据基本假定基本假定 IV，n(x)组成完备系，组成完备系，)()(xcxnnn 且测得可能值是：且测得可能值是：1,2,.,m 相应几率是：相应几率是：|c1|2,|c2|2,.,|cm|2,.。现在只测得现在只测得m m，所以，所以|c|cm m|2 2=1,|c=1,|c1 1|2 2=|c=|c2 2|2 2=.=0=.=0（除（除|c|cm m|2 2外）。外）。于是得于是得 (x)=(x)=m m(x

32、)(x)，即，即 (x)(x)是算符是算符 F F 的一个本的一个本征态。征态。（一）力学量的确定值（一）力学量的确定值2.2.充分性。若充分性。若(x)(x)是是 F F的一个本征态，即的一个本征态，即 (x)=(x)=m m(x)(x)，则，则 F F 具有确定值。具有确定值。根据根据基本假定基本假定IVIV，力学量算符，力学量算符 F F 的本征函数组成完备系。的本征函数组成完备系。)()()(xxcxmnnn 所以所以测得测得n 的几率是的几率是|cn|2。mnmncn01|2因为因为表明，测量表明，测量 F 得得m 的几率为的几率为 1，因而有确定值。因而有确定值。量子力学基本假定量

33、子力学基本假定IIIIII告诉人们，在任意态告诉人们，在任意态(r)(r)中测量中测量任一力学量任一力学量 F F，所得的结果只能是由算符，所得的结果只能是由算符 F F 的本征方程的本征方程nnnF 解得的本征值解得的本征值n n之一。之一。但是还有但是还有 两点问题两点问题 没有搞清楚：没有搞清楚：1.1.测得每个本征值测得每个本征值n n的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，对应几率是多少，对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。哪些测不到，几率为零。2.是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。是否会出现各次测量都得到同一个本征值

34、，即有确定值。要解决上述问题，要解决上述问题，我们还得从讨论我们还得从讨论 本征函数的另一本征函数的另一 重要性质入手。重要性质入手。(1)(1)力学量算符本征函数组成完备系力学量算符本征函数组成完备系1.函数的函数的完备性完备性有一组函数有一组函数n n(x)(n=1,2,.),(x)(n=1,2,.),如果任意函数如果任意函数(x)(x)可以按这组函数展开可以按这组函数展开:)()(xcxnnn 则称这组函数则称这组函数n(x)是完备的。是完备的。pdrpcrpdrtpctrpp33)()()()(),(),(或或例如：动量本征函数例如：动量本征函数 组成完备系组成完备系（二）力学量的可能

35、值（二）力学量的可能值（2）力学量的可能值和相应几率力学量的可能值和相应几率现在我们再来讨论在一般状态现在我们再来讨论在一般状态 (x)(x)中测量力学量中测量力学量F F，将会得到哪些值，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。根据根据量子力学基本假定量子力学基本假定IIIIII，测力学量，测力学量 F F 得到的可能值必是力学量算符得到的可能值必是力学量算符 F F的本征值的本征值 n n n=1,2,.n=1,2,.之一之一,该本征值由本征方程确定：该本征值由本征方程确定：,2,1)()(nxxFnnn 而每一本征值而每一本征值n

36、 n各以一定几率出现。各以一定几率出现。那末这些几率究竟是多少呢？下面那末这些几率究竟是多少呢？下面 我们讨论这个问题。我们讨论这个问题。由于由于n n(x)(x)组成完备系，所以体系组成完备系，所以体系 任一状态任一状态(x)(x)可按其展开：可按其展开：)()(xcxnnn 展开系数展开系数 cn 与与x无关。无关。dxxcxdxxxnnnmm)()()()(dxxxcnmnn)()(*mmnnncc dxxxcnn)()(即即为求为求 c cn n ，将，将m m*(x)(x)乘上式并对乘上式并对 x x 积分积分得：得：讨论：讨论：与波函数与波函数(x)(x)按动量本征函数按动量本征函

37、数 展开式比较二者完全相同展开式比较二者完全相同我们知道：我们知道：(x)(x)是坐标空间的波函数；是坐标空间的波函数；c(p)c(p)是动量空间的波函数；是动量空间的波函数；则则 c cn n 则是则是 F F 空间的波函数，空间的波函数，三者完全等价。三者完全等价。证明：当证明：当(x)(x)已归一时，已归一时，c(p)c(p)也是归一的，也是归一的，同样同样 c cn n 也是归一的。也是归一的。证：证：dxccdxxxmmmnnn *)()(1nmmnmncc*2|*nnnnnccc dxccmnmnmn *所以所以|c|cn n|2 2 具有几率的意义，具有几率的意义，c cn n

38、称为几率振幅。我们知道称为几率振幅。我们知道|(x)|(x)|2 2 表示表示在在x x点找到粒子的几率密度，点找到粒子的几率密度，|c(p)|c(p)|2 2 表示粒子具有动量表示粒子具有动量 p p 的几率，那的几率，那末同样，末同样，|c|cn n|2 2 则表示则表示 F F 取取 n n 的几率。的几率。量子力学基本假定量子力学基本假定IVIV综上所述，综上所述，量子力学作量子力学作如下假定：如下假定：任何力学量算符任何力学量算符 F F 的本征函数的本征函数n n(x)(x)组成正交归一完备组成正交归一完备系，在任意已归一态系，在任意已归一态(x)(x)中测量力学量中测量力学量 F

39、 F 得到本征值得到本征值n n 的几率等于的几率等于(x)(x)按按n n(x)(x)展开式：展开式：中对应本征函数中对应本征函数n n(x)(x)前的系数前的系数 c cn n 的绝对值平方。的绝对值平方。)()(xcxnnn dxxFxF)()(*力学量平均值就是指多次测量的平均结果，力学量平均值就是指多次测量的平均结果，如测量长度如测量长度 x x，测了，测了 10 10 次，其中次，其中 4 4 次得次得 x x1 1，6 6 次得次得 x x2 2，则，则 10 10 次测量的平均值为：次测量的平均值为：dxxcFxcmmmnnn)()(dxxFxccmnmmnn)()(*dxxx

40、ccmnmmnmn)()(*nmmmnmncc *nnnc 2|如果波函数如果波函数未归一化未归一化iiixxxxxxxx 221121061104211064nnncF 2|同样，在任一态同样，在任一态(x)(x)中测量某力学量中测量某力学量 F F 的的 平均值（在理论上）平均值（在理论上）可写为：可写为：则则 dxxxdxxFxFccFnnnnn)()()()(|*22 dxxFxF)()(*这两种求平均这两种求平均 值的公式都要值的公式都要 求波函数是已求波函数是已 归一化的归一化的此式此式等价于等价于 以前的平均以前的平均 值公式：值公式：（三）力学量的平均值（三）力学量的平均值（一

41、）坐标算符（一）坐标算符 对于对于y、z有类似的讨论。有类似的讨论。dxxxxxxxxxxdxxxxxxxxxxx)()()(),(|)()()()()()(（二）动量算符（二）动量算符（1）动量算符的厄密性）动量算符的厄密性dxidxpdxdx )(*使用波函数在无穷远使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。处趋于零的边界条件。（2）动量本征方程）动量本征方程)()(rpripp 其分量形式：其分量形式：)()()()()()(rprirprirpripzpzpypypxpx 证：证：dxiidxd*)(|*dxidxd *)(dxpx *)(由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条

42、件有关。由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。I.求解求解)()()()(zyxrp zdzzdziydyydyixdxxdxippp)()()()()()(rpzpypxpppppiziyixizyxceecececzyxzyxr 321)()()()()()()(这正是自由粒子的这正是自由粒子的 de Broglie 波的空波的空 间部分波函数。间部分波函数。)()()()()()(321zeczyecyxecxzziyyixxipzppyppxp )()2(|)()(32)(22*ppcdecdeecdrrrpprprpppiii 如果取如果取|c|2(2)3=1则则

43、p(r)就可就可 归一化为归一化为-函数。函数。解之得到如下一组解解之得到如下一组解：于是：于是：II.归一化系数的确定归一化系数的确定采用分离变量法，令：采用分离变量法，令：)()(rpripp 代入动量本征方程代入动量本征方程且等式两边除以该式，得：且等式两边除以该式，得：xyzAAoL（3）箱归一化）箱归一化在箱子边界的对应点在箱子边界的对应点A,AA,A上加上其波函数相等的条上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。件，此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归

44、一化为不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件周期性边界条件22zpypLpizpypLpizyxzyxcece ,2,1,02211 xxxxxLpinLnpnLpex 于于是是有有：由由此此得得：这表明，这表明，p px x 只能取分立值。只能取分立值。换言之，换言之，加上周期性边界条件后，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。连续谱变成了分立谱。,2,1,0,22 zyzzyynnLnpLn

45、p 同同理理：zyLrA,2 zyLrA,2222)()(zyxnnnprppLznLynLxnizyxicercer 1*322/2/22/2/LcdcdLLppLL rpVrpLnnniizyxee 12/31)(所以所以 c=L-3/2，归一化的本征函数为：归一化的本征函数为：波函数变为波函数变为这时归一化系数这时归一化系数 c c 可可由归一化条件来确定：由归一化条件来确定：讨论：讨论：（1 1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：）箱归一化实际上相当于如图所示情况：p(a)Ap(b)Ap (c)yx（2 2）由）由 p px x=2n=2nx x /L,p/L,py y=2n=2ny

46、y /L,p/L,pz z=2n=2nz z /L,/L,可以看出，相邻两本征值的间隔可以看出，相邻两本征值的间隔 p=2p=2 /L /L 与与 L L 成反比。当成反比。当 L L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，选的足够大时，本征值间隔可任意小，当当 L L 时，本征值变成为连续谱。时，本征值变成为连续谱。（3 3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为归一化为 函数函数（4 4）p p(r)(r)exp expiEt/iEt/就是自由粒子波函数，在它所描就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定

47、值就是动量算写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。符在这个态中的本征值。（5 5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。（三）角动量算符（三）角动量算符（1）角动量算符的形式）角动量算符的形式prL 根据量子力学基本假定根据量子力学基本假定III，量子力学角动量算符为量子力学角动量算符为:riprL(I)直角坐标系直角坐标系 )()()(xyxyzzxzxyyzyzxyxipypxLxzipxpzLzyipzpyL22222222)()()()()()(xyzxyzxyzxyzzyxyxxzzypypxpxpzpzpyLL

48、LL 角动量平方算符角动量平方算符经典力学中，若动量为经典力学中，若动量为 p，相对点，相对点O 的的 位置矢量为位置矢量为 r 的粒子绕的粒子绕 O 点点的角动量是：的角动量是：由于角动量平方算符中含有关由于角动量平方算符中含有关于于 x x，y y，z z 偏导数的交叉项偏导数的交叉项,所以直角坐所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量变量,难于求解难于求解,为此我们采用球坐标较为为此我们采用球坐标较为方便方便.)3(/tan)2(/cos)1(cossinsincossin2222xyrzzyxrrzryrx zyxxxxxfxfxrrfxf

49、iiii,321 其其中中 zzzrrzyyyrryxxxrrx 或或 cossinsincossinzrsyrxr直角坐标与球坐标之间的变换关系直角坐标与球坐标之间的变换关系 rxz球球 坐坐 标标r y这表明：这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,)(II)(II)球坐标球坐标 sin1sincos1coscos1rzryrx 0sincos1sinsin1zryrx 将（将（1 1）式两边分式两边分别对别对 x y x y z z 求偏导求偏导数得：数得：将（将（2 2）式两边分式两边分别对别对 x y x y z z 求偏导求偏导数得：数得：对于任意函数对于任意函数f(r,)f(r,

50、)（其中，（其中，r,r,都是都是 x,y,z x,y,z 的函数）则有：的函数）则有：将（将（3 3）式两边分式两边分别对别对 x y x y z z 求偏导求偏导数得：数得：iLiLiLzyxsincotcoscoscotsin 0sin1cossincos1sincos1sinsinsinsin1coscos1cossin rrzrrryrrrx将上面结果将上面结果 代回原式得：代回原式得：则角动量算符则角动量算符 在球坐标中的在球坐标中的 表达式为：表达式为：sin1)(sinsin122222 L（3 3）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系证：证：yxzxzyLiLLLiLL