信号与系统基础及应用第5章-离散时间系统分析课件.pptx

1、信号与系统基础及应用 第1章 信号与系统基础知识 第2章 连续时间信号分析 第3章 连续时间系统分析 第4章 离散时间信号分析 第5章 离散时间系统分析 第6章 离散傅里叶变换及应用 第7章 数字滤波器设计5.2 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析5.3 z变换变换5.4 离散时间系统离散时间系统的复频域分析的复频域分析第5章 离散时间系统分析5.1 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析5.1 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析5.1.2 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应 5.1.1 差分方程的建立和求解差分方程的建立和求解5.1.3 卷积和卷积和连续系

2、统与离散系统的比较连续系统与离散系统的比较zizs()()()y tytytzizs()()()y nynyn()x tzs()()()ynx nh nzs()()()ytx th t连续系统连续系统（1）常系数线性）常系数线性微分微分方程方程离散系统离散系统（1）常系数线性）常系数线性差分差分方程方程h(t)()y t（3）卷积）卷积积分积分（4）拉氏拉氏变换变换()()()Y sH sX s()x nh(n)()y n（3）卷积）卷积和和（4）z变换变换()()()Y zH zX z（2）（2）5.1.1 差分方程的建立和求解差分方程的建立和求解1)()()x nxnnx)(1)(x nn

3、nxx1.前向差分与后向差分前向差分与后向差分 后向差分后向差分前向差分前向差分前向差分与后向差分的关系前向差分与后向差分的关系()(1)x nx n 2()(2)2(1)()x nx nx nxnnx 23()(3)3(2)3(1)()x nx nx nx nnx nx 2()()2(1)(2()x nx nx nx nx n 23()()3(1)3(2)(3x nx nx nxx nxnn 1阶阶2阶阶3阶阶1阶阶2阶阶3阶阶2.常系数差分方程，用来描述常系数差分方程，用来描述LTI离散系统。离散系统。011011()(1)(1()(1)()()1)(MNNMa y na y nay nN

4、a y nb x nb x nbx nMb x nMN01111()(1)(1()(1)(1)()()MNNMby na y nayx nb x nbx nMb x nMnNa y nN首项归一化后：首项归一化后：后向差分形式后向差分形式01111()(1)(1()(1)(1)()()MNNMby na y nayx nb x nbx nMb x nMnNa y nN差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知初差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解，尤其是数值解，尤其是当差分方程阶次较低时当差分方程阶次

5、较低时使用方便使用方便。3.差分方程的求解方法差分方程的求解方法（1）迭代法）迭代法【例例5.1】若若描述某离散系统的差分方程为描述某离散系统的差分方程为:()3(1)2(2)()y ny ny nx n已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激激励励x(n)=2nu(n),求求y(n)。()3(1)2(2)()y ny ny nx n解：将原差分方程中除解：将原差分方程中除y(n)以外的各项都移到等号右端以外的各项都移到等号右端()3(1)2(2)()y ny ny nx n 对对n=2，将已知初始值，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得代入上式，得(2)3(1)2

6、(0)(2)2yyyx 依次迭代可得依次迭代可得(3)3(2)2(1)(3)10(4)3(3)2(2)(4)10.yyyxyyyx 特点：便于用计算机求解特点：便于用计算机求解（2）经典解法）经典解法01111()(1)(1()(1)(1)()()MNNMby na y nayx nb x nbx nMb x nMnNa y nN完全解由齐次解和特解两部分组成：完全解由齐次解和特解两部分组成：nf()()()y nyny nLTI系统()x n()y n齐次解：齐次解：齐次齐次方程为方程为1110NNNNaaa它的它的N N个根个根i (i=1,2,N)称为差分方程的特征根。称为差分方程的特征

7、根。特征方程为特征方程为n011()()()N rNnN iniiiii N rynCC n 11()(1)(1)()0NNy na y nay nNa y nNN-r个单根个单根r阶重根阶重根几种典型激励函数相应的特解几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数x(n)响应函数响应函数y(n)的特解的特解mncosn或sinnn11101mmmmA nAnAnA所有特征根不等于11101rmmmmnA nAnAnAr有 重特征根等于101110nnnrnrnnnrrAAnAA nAnAnAr当 不等于特征根时当 为特征单根时当 是 重特征根时cos()sinAnBn特解：特解：选定特解后代入原

8、差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。完全解：完全解：代入初始条件求出待定系数代入初始条件求出待定系数ki，于是得到完全解，于是得到完全解的闭式。的闭式。n1f01f()()()()()()NrNnN iniiiii NrynCC ny ny ny n 解：方程的特征方程为解：方程的特征方程为【例例5.2】若若描述某系统的差分方程为描述某系统的差分方程为()4(1)4(2)()y ny ny nx n已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励激励x(n)=2n,n 0，求方程的全解。，求方程的全解。0442特征根为特征根

9、为 1 1 22，为，为2阶重阶重根，齐次解为根，齐次解为n12()(2)(2)nnynC nC由题意，设特解为由题意，设特解为f()2,0ny nAn将将yf(n)代入到原代入到原方程方程得得1224242()2nnnnAAAx n14A 全解为：全解为：nf121()()()(2)(2)2,04nnny nyny nC nCn将已知初始条件代入，将已知初始条件代入，得得C11,C2=-1/411()(2)(2)2,044nnny nnn自然响应自然响应强迫响应强迫响应5.1.2 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应1.完全解的一般形式完全解的一般形式 零状态响应，仅由外加激励引起的

10、响应零输入响应，激励为零时的响应zizs()()()y nynyn011()()()N rNnN inziiiiii N ryncc n 0f11()()()()N rNnN inzsiiiii N ryndd ny n 011f()()NrNnN iniiiii NrCC ny n 零输入零输入零状态零状态自然自然强迫强迫0f10111()()()()()()NrNnN iniiiii NrNrNnN iniiiii Nrdcc nynndy n 2.初始条件值初始条件值起始状态起始状态初始条件初始条件值值全响应全响应零输入零输入响应响应零状态响零状态响应应(1),(2),(3),.yyy(

11、0),(1),(2),.,(1)yyyy nzizizi(1)(1),(2)(2),(3)(3),.yyyyyyzszszs(1)(2).()0yyynzizizizi(0),(1),(2),.,(1)yyyynzszszszs(0),(1),(2),.,(1)yyyyn由完全态差分方程推出由完全态差分方程推出由零输入差分方程推出由零输入差分方程推出由零状态差分方程推出由零状态差分方程推出【例例5.3】若若描述某离散系统的差分方程为描述某离散系统的差分方程为()3(1)2(2)()y ny ny nx n已知已知x(n)=0,n0时为零，因时为零，因而在而在n0时，系统的时，系统的h(n)和系

12、统的零输入响应的函数和系统的零输入响应的函数形式相同。形式相同。【例例5.4】设因果离散系统的差分方程为设因果离散系统的差分方程为 y(n)-0.6 y(n-1)-0.16y(n-2)=5x(n)试求其试求其单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)。解：当解：当n0时，系统的差分方程变成齐次差分方程，时，系统的差分方程变成齐次差分方程，即即该系统的特征方程为该系统的特征方程为 2-0.6-0.16=0特征根为特征根为-0.2和和0.8，对应的特征模式为，对应的特征模式为(-0.2)n和和(0.8)n。得其得其单位脉冲响应单位脉冲响应 h(n)为为 h(n)=d1(-0.2)n+d2(0.8)n,(n0

13、)h(n)-0.6 h(n-1)-0.16h(n-2)=0h(0)=d1+d2=5因此因此单位脉冲响应单位脉冲响应 h(n)为为 h(n)=(-0.2)n+4(0.8)n,（n0）或写成或写成 h(n)=(-0.2)n+4(0.8)nu(n)h(n)是零状态响应，所以起始状态为：是零状态响应，所以起始状态为：h(-1)=h(-2)=h(-3)=0由由 y(n)-0.6 y(n-1)-0.16y(n-2)=5x(n)得得:h(0)=0.6 h(-1)+0.16h(-2)+5(0)=5h(1)=0.6 h(0)+0.16h(-1)=3h(1)=d1(-0.2)+d2(0.8)=3求取系数：求取系数

14、：解得解得：d1=1，d2=45.1.3 卷积和卷积和1.零状态响应与卷积和零状态响应与卷积和2.卷积和的性质卷积和的性质3.卷积和的计算卷积和的计算 (n)h(n)1.零状态响应与卷积和零状态响应与卷积和系统系统系统系统x(n)的分解：的分解：()()()(1)(1)(0)()(1)(1)kx nx knkxnxnxn x(n)yzs(n)=x(n)*h(n)zs()()()()kynx nx knkTTTT()()Tkx knk()()kx k h nk()*()x nh n一般定义一般定义:zs()()*()()()kynx nh nx k h nk2.卷积和的性质卷积和的性质（1）卷积

15、代数）卷积代数1221()()()()x nx nx nx n123123()()()()()()x nx nx nx nx nx n1231213()()()()()()()x nx nx nx nx nx nx n（2）离散卷积和的单位元）离散卷积和的单位元是是(n)()()()x nnx n()()()x nnkx nk1212()()()x nknkx nkk（3）u(n)是数字积分器是数字积分器()()()nkx nu nx k3.卷积和的计算卷积和的计算（1）直接按定义或性质计算）直接按定义或性质计算（2）图解法计算）图解法计算（3）竖式法计算）竖式法计算（1）直接按定义或性质计算

16、）直接按定义或性质计算1212()()()()()ky nx nx nx k x nk1()()()2n kku ku nk0011()()(2)22nnn knkkk1()2(),02ny nn1220111()()()()()()()2(),0222nnnkknkkky nx nx nx ku kn【例例5.5】设有设有离散信号离散信号x1(n)=u(n),x2(n)=(1/2)nu(n)，求，求y(n)=x1(n)*x2(n)。由等比数列求和公式有由等比数列求和公式有 也可利用卷积和的性质也可利用卷积和的性质3u(n)是数字积分器性质，得到是数字积分器性质，得到解：解：（2）图解法计算）

17、图解法计算（3）竖）竖式法计算式法计算不需要作进位。不需要作进位。()3,1,4,2x n ()2,1,5h n ()()()?y nx nh n ()6,5,24,13,22,10y n 1n 0n 1n 结论：三个结论：三个LTI系统响应相同系统响应相同 4.利用卷积分析系统的简单情况：利用卷积分析系统的简单情况：123【例例5.6】LTI离散时间离散时间系统系统的输入输出关系如下图所示：的输入输出关系如下图所示：已知系统已知系统1的的h1(n)=u(n),系统系统2的的h2(n)(n)-(n-1),求系统求系统1的输出的输出y1(n)、系统、系统2的输出的输出y2(n)以及系统输出以及系

18、统输出y(n)。nkkxnhnxny)()(*)()(1122()*()()*()()*(1)()(1)y ns nh ns nns nns ns n）可见，系统可见，系统1为累加器，系统为累加器，系统2为一阶差分运算器。为一阶差分运算器。若将系统若将系统1和系统和系统2级联成一个系统，有级联成一个系统，有12()()*()()*()(1)()*()()*(1)()(1)()h nh nh nu nnnu nnu nnu nu nn系统输出为系统输出为)()(*)()(nxnnxny恒等系统恒等系统解：解：5.2.1 系统频率响应系统频率响应5.2 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析

19、5.2.2 正弦稳态响应正弦稳态响应5.2.3 系统频率响应的分析系统频率响应的分析5.2.1 系统频率响应系统频率响应jj(j)j(e|(e)=()e()e)|j HnjnHeeHh nH y nx nh njjjeeeYXH()x nh(n)()y n称称H(ej)为离散时间系统的为离散时间系统的频率响应；频率响应；表示系统对输入信号频谱的作用；表示系统对输入信号频谱的作用；H(ej)是是 的周期函数，的周期函数，周期为周期为2。1.定义定义jjjeeeYHX2.系统系统频率响应的计算频率响应的计算jjj0jj0e(e)(e)(e)eMrrrNiiibYHXa00()()NMirira y

20、 nib x nr差分方程j()(e)ID TF Th nH31()(1)(2)2()48y ny ny nx njj2j2(e)311ee48H【例例5.7】有一线性时不变系统，初始状态为有一线性时不变系统，初始状态为0，且，且由下列差分方程表征：由下列差分方程表征：解：该系统的频率响应为解：该系统的频率响应为 试求其系统频率响应和试求其系统频率响应和单位脉冲响应单位脉冲响应。jjjjj242(e)1111(1e)(1e)1e1e2424H11()4()()2()()24nnh nu nu n为了确定相应的为了确定相应的单位脉冲响应单位脉冲响应，需要，需要求求 的的反反变换。和连续时间情况一

21、样，有效的方法是利用部变换。和连续时间情况一样，有效的方法是利用部分分式展开法，即分分式展开法，即 其中每一项的反变换都能直接求出来，其结果为其中每一项的反变换都能直接求出来，其结果为j(e)H()(0.5)()nh nu n()(0.8)()nx nu njj1()(0.8)()(e)1 0.8enx nu nXjj1()(0.5)()(e)1 0.5enh nu nH【例例5.8】已知一离散已知一离散LTI系统的系统的单位脉冲响应单位脉冲响应为为输入信号为输入信号为试求试求零状态响应零状态响应yzs(n)。解：解：jjjzsjjjj(e)(e)(e)118/35/31 0.8e1 0.5e

22、1 0.8e1 0.5eYXHzs85()(0.8)(0.5)()33nnynu n根据时域卷积性质有根据时域卷积性质有 求上式求上式IDTFT，有，有 5.2.2 正弦稳态响应正弦稳态响应离散时间系统的正弦稳态响应与连续时间系统离散时间系统的正弦稳态响应与连续时间系统的正弦稳态响应类似的正弦稳态响应类似。对于线性时不变系统对于线性时不变系统，设，设输入信号的形式为输入信号的形式为j()e()nx nu n则一个单位则一个单位脉冲响应为脉冲响应为h(n)的的因果系统相应的因果系统相应的稳态稳态输出输出为为jjss()(e)enynHjj1(e)=1eH()2cos(1),2x nnj2j211

23、1(e)=()1+j421 eH【例【例5.9】一个离散时间一个离散时间LTI系统的频率响应为系统的频率响应为若输入信若输入信号号求系统的稳态输出响应求系统的稳态输出响应yss(n)。根据频率根据频率响应响应的物理意义可直接写出下式的物理意义可直接写出下式解：分析输入信号解：分析输入信号x(n)，知其频率为，知其频率为/2。jjss()2|(e)|cos1(e)22=cos(1)242ynHnHn 5.2.3 系统频率响应的分析系统频率响应的分析离散系统的滤波特性与连续系统的滤波特性类似。sT低通带通高通带阻全通0000fsf2sf2sfsfs2s2ss22f 2112k2kN1N 频率轴定标

24、频率轴定标0数数字字频频率率()(),|1nh na u na【例例5.10】分析系统分析系统jj1(e)1eHa取取a=0.5低通高通取取a=-0.5的频率响应特性。的频率响应特性。解：解：5.3 z变换变换5.3.1 z变换变换的的定义及收敛域定义及收敛域5.3.2 基本基本z变换对变换对5.3.3 z变换的性质变换的性质5.3.4 z反反变换变换5.3.4 z变换变换与拉氏变换的关系与拉氏变换的关系5.3.1 z变换变换的定义的定义()()nnX zx n z是复变量是复变量z-1的的幂级数，又称为罗朗级数。幂级数，又称为罗朗级数。jezr双边双边z变换：变换：0()()nnX zx n

25、 z若双边序列取单边若双边序列取单边z变换，或对因果变换，或对因果信号序列信号序列取取z变变换，得换，得()()nnX zx n z21012(2)(1)(0)(1)(2)()znzxzxzxzxzxzx n z 的正幂的负幂 1Xzz是的幂级数 nnx n幂中的 指出的位置 x n级数的系数是1.对对z变换式的理解变换式的理解1n z的正幂级数构成左边序列z的负幂级数构成右边序列0n（1）收敛域的定义）收敛域的定义收敛的所有收敛的所有z 值之集合为收敛域，值之集合为收敛域，即需满足即需满足下下式：式：()()nnX zx n z()nnx n z 对于任意给定的序列对于任意给定的序列x(n)

26、，能使，能使（ROC:Region of convergence）不同的不同的x(n)可能对应于相同的可能对应于相同的z变换变换，但收敛域不同。，但收敛域不同。故在确定故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。变换时，必须指明收敛域。2.z变换变换的收敛域的收敛域（2）有限长序列的收敛域有限长序列的收敛域12(),x n nnn，2132()()()nnnn nnX zx n zx n z122,3nn 2101230(2)(1)(0)(1)(2)(3)zzxzxzxzxzxzxz 所以，收敛域为所以，收敛域为 的的z平面。平面。0z 设设则有则有1az当当时，即时，即 时时收敛收敛1001()l

27、im1nnnnnnnaazX za zazzza 11zX zazazzaROC：（3）右边序列的右边序列的收敛域收敛域(),0nx na u nn【例例5.11】求信号求信号x(n)的的z变换的收敛域。变换的收敛域。10()30 0nnx nn，2311113(3)(3)zzz 若该序列收敛，则要求若该序列收敛，则要求113 z00011()()33nnnnnnnX zx n zzz即收敛域为：即收敛域为：13z 半径为半径为1/3的圆外的圆外解：解：1111azX zzazzaa 1()nnnX za znm 令令00100()1mmmmmmmmmX zazaza zaz 1011lim

28、11mmmmzzzaaa zaROC:za（4）左边序列的左边序列的收敛域收敛域()11nx na unn ，当当1za，即即时收敛。时收敛。【例例5.12】求信号求信号x(n)的的z变换的收敛域。变换的收敛域。00()1 03nnx nn，1233333zzzzz111111()()333nnnnnnnnnnzX zx n zzz收敛域为：收敛域为：3z 解：解：半径半径为为3的的圆内圆内 0nx nbnb，11111nnb unbunzzbzb ，nzb u nzbzb，n nbnx 10 b1n nbnx 1 b11 01bbb若，1ROC:zbb 00 1nnnnx nb u nb u

29、n 或1 1bbb若，1ROC:zbb（5）双边序列的双边序列的收敛域收敛域【例例5.13】求信号求信号x(n)的的z变换的收敛域。变换的收敛域。103()103nnnx nn，x(n)的的ROC:1|33z解：解：左边序列收敛左边序列收敛域为：域为：3z 右边序列收敛右边序列收敛域为：域为：13z 内径为内径为1/3、外径为、外径为3的的圆环圆环小结小结 X(z)的收敛域（的收敛域（ROC）为）为 z 平面以原点为中心平面以原点为中心 的圆环；的圆环；ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；内不包含任何极点（以极点为边界）；有限有限长序列的长序列的ROC为整个为整个 z 平面平面（可能除去（

30、可能除去z =0 和和z=）；）；右边右边序列的序列的ROC为为 的圆外；的圆外；1zR 左边左边序列的序列的ROC为为 的圆内；的圆内；2zR 双边序列双边序列的的ROC为为 的圆环。的圆环。12RzR1单位抽样信号单位抽样信号1,0()0,0nnn()()1nnX zn znO)(n 15.3.2 基本基本z变换对变换对2单位阶跃序列单位阶跃序列10()00nu nn，1z，12311()111zX zzzzzz 3指数序列指数序列()()nx na u nza，0je,1,az当设00jj()enzeu nzZ 0nnnX za z111zaazz(1)右边序列右边序列 1nx na u

31、n 注意注意：z 变换相同时，左边序列的定义和收敛条件。变换相同时，左边序列的定义和收敛条件。X zzzaza，(2)左边序列左边序列则4正弦与余弦序列正弦与余弦序列 0cosn u n00jj0eecos2nnn 00jj,e,enzu nzZ1z 单边余弦序列单边余弦序列 0000jj20cos1cos2ee2 cos1z zzzn u nzzzz Z同理，对于同理，对于单边正弦序列单边正弦序列 0000jj20sin1sin2 jee2 cos1zzzn u nzzzzZ因为因为5.3.3 z变换的性质变换的性质性质名称性质名称数学表达式数学表达式线性线性时移特性时移特性双边双边单边单边

32、z域尺度变换域尺度变换1 1221122()()()()a x na x na Xza Xz性质名称性质名称数学表达式数学表达式复频移特性复频移特性z域微分域微分时域翻转时域翻转时域时域卷积卷积初值定理初值定理终值定理终值定理续前页表续前页表(j)jeeesssTTTzesTsrTessTz jsjezr5.3.4 z变换变换与拉氏变换的关系与拉氏变换的关系1.关系式关系式s平面平面z平面平面2.两个平面相互映射的两个平面相互映射的4种情况种情况（1 1）s平面的原点平面的原点 ，z平面平面 ，即，即 。0010r1z 0 0 0 :为为常常数数 1 r1 r1 r 0:为为常常数数r左半平面

33、左半平面虚轴虚轴右半平面右半平面左向右移左向右移单位圆内单位圆内 单位圆上单位圆上单位圆外单位圆外半径扩大半径扩大（2 2）（3 3）s0z0平面平面（4 4）sz映射不是单值映射不是单值的。的。s2，即s实轴z正实轴1.部分分式部分分式展开法展开法5.3.5 z反变换反变换2.幂级数幂级数展开法展开法1部分分式展开法部分分式展开法()(1)nna u nzaza unzaza，z变换式的一般形式变换式的一般形式 210121210121()()()rrrrkkkkbb zb zbzb zN zX zD zaa za zaza z为了保证为了保证z=处收敛，其分子多项式的阶次不能大于处收敛，其

34、分子多项式的阶次不能大于分母多项式的阶次。分母多项式的阶次。因果序列因果序列右边序列右边序列收敛域收敛域|z|R,|R,包括包括z=。z变换最常见的变换最常见的基本形式：基本形式：部分分式展开法求部分分式展开法求z反变换的步骤反变换的步骤（1）使）使 为真分式；为真分式；()X zz（2）进行部分分式展开；）进行部分分式展开；（3）();X zzz（4）查常用）查常用z变换变换表。表。01()NmmmA zX zAzp01122 ()()()()(),0nnnNNx nAnA pApApn（1）一阶极点）一阶极点0012112()NmNmmNAAAAAAX zzzzpzzpzpzp000bAa

35、()()mmmzpX zAzpz12012()NNA zAzA zX zAzpzpzp是一是一阶极点的系阶极点的系数数是极点是极点z=0=0的系数的系数所以所以【例例5.14】2()12zzX zzz()()2()(2)nx nu nu n121nun 2()ROC:,(1)(2)2znzzzX zx已知，求。121212X zABzzzzz()(1)(2)X zzzzz查表查表解：解：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）收敛域与原函数的对应：收敛域与原函数的对应：2()12zzX zzz2z 右右 右右()()2(2)()nx nu nu n 12z右右 左左()()2(2)(1)nx

36、nu nun 1z 左左 左左()(1)2(2)(1)nx nunun （2）高阶极点（重根）高阶极点（重根）1()()rmmmiB zX zzp，izp1d()()()!dir mrmir mz pX zBzprmzz为r阶极点则r阶极点的系数为：11()(1)(2)()(1)!rn mmimBx nn nnmpu nm【例例5.15】已知已知2(1)(),|3(3)(1)z zX zzzz求反变换求反变换x(n)。解：解：1222()(1)31(3)(1)(1)BBX zzAzzzzzz（1）（2）3()(3)|1zX zAzz221()(1)|1zX zBzz 2111d()(1)|1(

37、2 1)!dzzX zBzz（3）2()31(1)zzzX zzzz（4）()3()()()nx nu nu nnu n根据题目中给出的收敛条件：根据题目中给出的收敛条件：3|z|1222()1113131(1)(1)BBX zAzzzzzzz2幂级数展开法幂级数展开法21012(2)(1)(0)(1)(2)xzxzxzxzxz210121210121()()()rrrrkkkkbb zb zbzb zN zX zD zaa za zaza zz变换式一般是变换式一般是z的有理函数，即：的有理函数，即：可直接用长除法进行反可直接用长除法进行反变换。变换。nnX zx n z nx级级数数的的系

38、系数数就就是是序序列列（是一（是一个关于个关于z 的幂级数）的幂级数）右边序列进行右边序列进行z反变换时将反变换时将X(z)以以z的降幂排列的降幂排列0120()()(0)(1)(2)nnX zx n zxzxzxz1123()()(1)(2)(3)nnX zx n zxzxzxz左边序列进行左边序列进行z反变换时将反变换时将X(z)以以z的升幂排列的升幂排列因为长除结果无常数项，可设因为长除结果无常数项，可设x(0)=0(0)=0。012()(0)(1)(2)X zxzxzxz 0,1,2,3,4,x n所以 2,121zXzzx nzz已知，求。【例例5.16】解：解：【例例5.17】1

39、,4,3,2,1nx n所以 22,1,2112zzX zzzzzz已知已知求求x(n)。解：解：5.4 离散时间系统离散时间系统的复频域分析的复频域分析5.4.1差分方程的差分方程的z域求解域求解5.4.2 系统系统函数函数5.4.3 零极点图与系统特性分析零极点图与系统特性分析求解线性时不变离散系统的差分方程有求解线性时不变离散系统的差分方程有两种常用方法两种常用方法：时域方法时域方法z变换方法变换方法5.4.1差分方程的差分方程的z域求解域求解线性时不变（线性时不变（LTI）离散时间系统离散时间系统线性常系数差分线性常系数差分方程方程01111()(1)(1()(1)(1)()()MNN

40、Mby na y nayx nb x nbx nMb x nMnNa y nN1应用应用z变换求解差分方程步骤变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行单边对差分方程进行单边z变换（时移性质）；变换（时移性质）；(2)由由z变换方程求出响应变换方程求出响应Y(z)；(3)求求Y(z)的反变换，得到的反变换，得到y(n)。【例例5.18】111,2y ny nx nx n 110,12 2nx nu nxyy n，求。解解:111112Y zz Y zyX zz X zx 1111102Y zz Y zX zz 方程两边取方程两边取z变换变换代入起始条件代入起始条件LTI系统的系统的差分方程为差分

41、方程为 311222nny nu n 整理为整理为 11111112232 1131122222zzzzzzzY zzzzz差分方程解差分方程解的验证的验证 0,1,2,0,1,2yyyyyy原方程迭代出两种迭代结果相同则解答是正确的。解的表达式迭代出【例例5.19】()0.9(1)0.05()(1)1,y ny nu ny已知系统的差分方程表达式为若起始条件求系统的全响应。10.910.051zzyYzzzY 20.910.0510.90.9yY zzzzzz解：解：方程两端取方程两端取z变换变换 1210.9AAzzY zz 1210.9Y zAAzzz120.5 0.45AA，0.50.

42、4510.9zzY zzz 0.50.450.9 0ny nn，2.差分方程全响应差分方程全响应y(n)的起始点确定的起始点确定 2212zY zzz 全全响应响应y(n)起始点根据起始点根据输入信号输入信号x(n)加上的时刻加上的时刻确定。确定。对对因果系统，因果系统，y(n)不可能出现在不可能出现在x(n)之前。之前。观察观察Y(z)分子分母的幂次，分子分母的幂次，分母高于分子的次数是分母高于分子的次数是响应的起点响应的起点，例如，例如 2 ny n从开始有不为零的值。【例例5.20】解：解：已知系统已知系统框图，框图，(1)列出系统的差分方程。列出系统的差分方程。求系统的响应求系统的响应

43、 y(n)。（1）列差分方程，从加法器入手列差分方程，从加法器入手 13122x nx ny ny ny n 31221y ny ny nx nx n(2)2,0,010,0,0nnx nyyn151,224yy 12131212Y zz Y zyz Y zz yy110 22zzzxzz，（3）差分方程两端取）差分方程两端取z变换，利用右时移性质变换，利用右时移性质（2）进行）进行z变换需要用到变换需要用到y(-1)、y(-2),可通过可通过y(0)、y(1),迭代求得。迭代求得。31221y ny ny nx nx n 010yya.a.由激励引起的零状态响应由激励引起的零状态响应 12z

44、s11 322zYzzzz 2zs22zYzz求零状态响应为求零状态响应为 zszs12nYzynnu n即即 12131212Y zz Y zyz Y zz yy122zzzzzb.b.由起始状态引起的零输入响应由起始状态引起的零输入响应 121zi1 32213122Yzzzz yyy zi1322121z zzzYzzzzz zizi32210nnYzynn，即即求零输入响应为求零输入响应为122zzzzz 12131212Y zz Y zyz Y zz yy对对n-2都成立都成立c.c.全响应全响应 11222212122ABBzzY zzzzz 2222122Y zzzzz 2222

45、122zzzzYzzz 21222 0nnny nnn，2212zzY zz 12131212Y zz Y zyz Y zz yy122zzzzz由方程解由方程解y(n)表达式可以得出表达式可以得出y(0)=0,y(1)=0，和已，和已知条件一致。知条件一致。11 222 12nny nnn 故，或或验证验证 21222 0nnny nnn 112221(2)nny nnu n 00NMkikia y nkb x ni1 1定义定义线性时不变线性时不变离散系统可由离散系统可由线性常系数差分方程描述，线性常系数差分方程描述，一般形式为一般形式为 00NMkikikiY za zX zb z 00

46、MiiiNkkkb zY zH zX za z 021 xx 021 yy激励为因果序列激励为因果序列系统处于零状态系统处于零状态上式两边取上式两边取z z变换得变换得5.4.2 系统系统函数函数 00MiiiNkkkb zYzHzXza z Zh nH z单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)与与系统系统函数函数H(z z):H(z)只与系统的差分方程的系数、结构有关，描述了系统的特性。h(n)和和H(z)为一对为一对z z变换。变换。1Zh nH z ()1x n nX zH z若，则 zszsynh nx nYzH zX z则系统则系统的的零状态响应为：零状态响应为：121321Y zz Y

47、zz Y zX zz则则 Y zH zX z解：解：求系统的零状态响应：求系统的零状态响应：在零状态条件下，对差分方程两边取单边在零状态条件下，对差分方程两边取单边z z变换变换已知离散系统的差分方程为：已知离散系统的差分方程为：zs2,nx nu nH zyn 求系统函数及零状态响应。2zs222zzzYzH zXzzzz zs 12nynnu n所以1121211 3212z zzzzzzzz【例例5.21】3(1)2(2)()(1)y ny ny nx nx n h nH zH zh n因为，所以可以从的零极点分布情况，确定单位脉冲响应的特性。1.由由零极点分布确定零极点分布确定单位单位

48、脉冲脉冲响应响应111111MiiNkkz zGp z 00MiiiNkkkb zH za z零点极点5.4.3 零极点图与系统特性分析零极点图与系统特性分析展成部分分式：（假设无重根）展成部分分式：（假设无重根）001NNkkkkkkA zA zH zAzpzp 101 ZNkkkA zh nAzp h nH z 01NnkkkAnApu n 01Nnkkkh nA nApu nH(z z)的的极点，可以是不同的实数或共轭复数，极点，可以是不同的实数或共轭复数，决定决定了了h(n)的的特性特性。其其规律可能是指数衰减（减幅）规律可能是指数衰减（减幅）、上升（增幅上升（增幅）或为等或为等幅振荡

49、。幅振荡。:kp与与H(z z)的零点、极点分布都有关。的零点、极点分布都有关。0,kA A：由零极点分布确定的单位脉冲响应为：由零极点分布确定的单位脉冲响应为：2.极点极点位置与位置与h(n)形状的关系形状的关系s平面平面z平面平面极点位置极点位置h(t)特点特点极点极点位置位置h(n)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆上等幅等幅原点时原点时 左半平面左半平面减幅减幅单位圆单位圆内内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅 1u ts0 1zu nzzs平面的映射关系对比分析平面的映射关系对比分析1z 3.离散系统离散系统的稳定性的稳定性 nnh对于稳定系统，只要输入

50、是有界的，输出必对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（定是有界的（Bounded Input,Bounded Output)。(2)稳定性判据稳定性判据(1)定义定义：判据判据1 1：离散系统稳定的充要条件：离散系统稳定的充要条件：单位脉冲响应单位脉冲响应绝对绝对可和。可和。判据判据2 2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：对于因果系统，其稳定的充要条件为：H(z)的全部极点应落在单位圆的全部极点应落在单位圆之内，之内，即即收敛域应包括单位圆在内收敛域应包括单位圆在内:。|,|1zaa连续系统连续系统离散系统离散系统系统稳定的充系统稳定的充要条件要条件极点极点H(s)的极点全的极点