8数字信号处理3课件.ppt

1、8.4 数字系统运算中的有限字长影响数字系统运算中的有限字长影响实现数字系统的基本运算是加法、乘法和延时。除了延时没有实质性运算，不会产生有限字长影响外，对加法和乘法运算的尾数处理会造成误差，即有限字长影响。当然运算过程中的有限字长效应与所采用的数制(定点、浮点)，码制(原码、补码、反码)及尾数处理方式(舍入、截尾)等诸因素相关。术要求。讨论数字系统运算误差，可以得到误差特性与字长或系统系数的关系，由此可以选择合适的字长及系统系数，以满足数字系统的运算精度(噪信比)、稳定等技量化误差引起零输入极限环量化误差引起零输入极限环无限精度，系统稳定无限精度，系统稳定 lim0nh n 8.4.1、II

2、R系统定点运算的零输入极限环系统定点运算的零输入极限环y(n)x(n)h(n)x(n)=(n)y(n)=h(n)y()=lim0nh n对稳定系统，有 111zzXzYzH以一阶IIR系统定点舍入处理为例其系统函数无限精度运算一阶IIR系统如图所示，当1，无量化误差，系统稳定。y(n)x(n)系统差分方程为z1y(n)=y(n1)+x(n)在有限精度运算条件下，有量化误差一阶IIR系统如图量化后输出Qx 为定点舍入原码，且 Q0=0,y(1)=0所示Q x(n)x(0)=0111 2=0100 2设=1/2递推差分方程的每步运算结果 (n)=Q (n1)+x(n)(n1)(n)z1x(n)=(

3、7/8)(n)舍入(0)=Q0 +x(0)=01112=7/8 (1)=Q (n1)+x(1)=Q (0)=Q0100201112=1/2=Q00111002=01002舍入(2)=Q0100201002=1/4=Q00100002=00102舍入(3)=Q0100200102=1/8=Q00010002=00012当n3，输出(n)幅度保持在1/8，再也不衰减了。幅度为1/8的周期振荡，这就是零输入极限环振荡，如图8.4-3所示。舍入(4)=Q0100200012=1/8=Q00001002=00012(n)=1/8n3同理当系统极点=1/2时，输出会在1/8之间，即作(n)(n)1/81/

4、41/211/81/41/211/81/8y(n)y(n)nn1230 1 2 3 4 5 6 0圆上。由(4)的运算过程可见，尽管 (n1)=00001002使 00012=1/8与(n1)相同，使输出不变。就是说当响，使得乘的作用失效，相当系统的极点移至单位1时，(n1)(n1)，但由于Q 的影数值衰减，但经过舍入的进位处理后Q(n1)=1jImzRez0由此可推出极限环形成条件为(8.4-1)上式表明当极限环形成时，系统的极点等效在单位圆上。如图8.4-4所示，0时，极点移至1。Q (n1)=(n1)-1a1a2极限环的振荡幅度区间叫“死带”区域，也称“死区”。每当输入为零，节点变量落入

5、死区时，系统进入极限环状态，并且一直保持到再有激励加入，使输出脱离死区为止。由舍入误差与字长的关系及限环形成条件，可以得到极限环的死区范围。因为舍入误差的范围在2b/2之间，所以Q (n1)(n1)2b/2 而将限环形成条件代入上式，有122/11bny(8.4-2)整理得到 (n1)的幅度为Q (n1)(n1)2b/2 Q (n1)(n1)Q (n1)(n1)(n1)(n1)2b/232/21221/81bby n 221111zazazH与递推结果一致。同理可以分析二阶IIR系统的极限环现象。为分析方便，假设二阶系统函数为差分方程将上例中=1/2，b=3代入上式，则y(n)=a1 y(n1

6、)+a2 y(n2)+x(n)2422112,1aaaz若a1、a2为实系数，系统的极点为再假设 04221 aa2421212,1aajaz221211,2242aaaza，系统有一对共轭极点若极点的模z1,21，极点在单位圆内，系统稳定；否则系统不稳定。而不稳定。与一阶情况相同，由于舍入的影响，会出现a21时，系统出现极限环现象。类似的由有限精度二阶系统的差分方程推得极限环形成条件：(8.4-3)所以在无限精度下a21，系统稳定；a21，系统(n)=Qa1 (n1)+Qa2 (n2)+x(n)Qa2 (n2)=(n 2)2122/12anyb即在a1、a2为实系数，且系统有对共轭极点时，二

7、阶极限环形成只与a2有关。同样由舍入误差与字长的关系及限环形成条件，可以得到极限环的死区范围(8.4-4)两面性，实际应用中恰当利用极限环特性可以构成需要的序列振荡器。高阶系统亦也会出现极限环现象，实际情况的极限环特性也更复杂，就不一一分析讨论了。当然事物总是存在a1a28.4.2、IIR系统定点运算的溢出振荡系统定点运算的溢出振荡这一现象。通常系统在作定点加法运算前，应选择合适的比例因子，保证相加结果不溢出。若在IIR系统的定点加法运算中有溢出，在一定条件下会引起振荡，称为溢出振荡。以图8.4-5所示二阶IIR系统的定点补码运算为例讨论该系统的差分方程为z1z1y(n)=a1 y(n1)+a

8、2 y(n2)+x(n)x(n)y(n)221111zazazH2122122pzpzzazazz212122ppzppzz2422112,1aaap系统函数为(8.4-5)(8.4-6)p21，由式(8.4-5)可知p1+p2=a1，p1p2=a2，因为分两种情况讨论参数系统稳定与a1、a2的选取范围的关1、参数的选取与系统稳定系统稳定的条件是H(z)的极点在单位圆内，即p11，系。p1p2 1，所以 a2 1。(1)p1、p2为实数，则0112221pp222122211pppp2212211ppppa1、a2为实数，将p1、p2 与a1、a2的关系代入，得 21221aa，即121aa，

9、即，从而，从而有(8.4-7)04221 aa(8.4-8)p1、p2为实极点时，(8.4-6)式中的a1+a2 1 4/212aa4/212aa4/212aa这是图8.4-6中横线阴影区的内部及a20时，(8.4-8)式成立；a2 0时，只有(8.4-9)(8.4-8)式才能成立。同时满足式(8.4-7)、(8.4-9)，得到p1、p2为实极点时，系统稳定的条件为的边界上。a1+a2 1，a2 a1=1a1a2a1+a2=111(2,1)(2,1)a2=1(0,1)a1+a2 1，4/212aa4/212aaCF(2)p1、p2为共轭极点p1,2=rej，r 1，4/212aa即a2 1(8

10、.4-10)(8.4-11)同时满足式(8.4-10)、(8.4-11)，得到p1、p2为共轭极点时，系统稳定的条件为这是图8.4-6中竖线阴影区的内部(不包括边界)。p1p2=r2=a2 1，参数只能在a1+a2 1，即a1+a2 1这三条直线方程所围的三角形之内，如图8.4-6所示的横线及竖线阴影区。(2,1)(2,1)a2=14/212aaa2(0,1)a1 11a2 a1=1a1+a2=1要讨论的是当输入 x(n)=0以后，a1、a2如何取值才能保2、系统不溢出的条件证不溢出。不考虑舍入误差，仍用补码加法器。因为两个正的定点小数相加，若结果大于1，符号位会由于得到进位而变成1，这个和数

11、就被认为是负数，反之亦然。这时加法器的输入输出关系出现非线性，其非线性特性如图8.4-7所示。图中v是加法器输入之和，f v是加法器的输出。由图可见只有当各输入之和v 1时，才是正确的加法运算；当1v 2时，由于符号的改变，结果出现vf v错误。221110理论上当输入x(n)=0时，二阶系统的输出y(n)为但采用补码加法器后的实际输出满足图8.4-7的的非线性特性，即则y(n)=a1 y(n1)+a2 y(n2)y(n)=f a1 y(n1)+a2 y(n2)显然，a1 y(n1)+a2 y(n2)1，不会出现溢出，即对所有的n，y(n)1，y(n1)1，y(n2)1，a1 y(n1)+a2

12、 y(n2)a1 y(n1)+a2 y(n2)0，即3、输出极限环振荡 k=1,2,3 选为2k是因为图8.4-6中，当两个输入之和为偶数时，其输入输出的符号相同。所以y0=f a1 y0+a2 y0=2k+a1 y0+a2 y0 21012aay，要求112210aaya1+a2 1，故y0=1；顶点A上为a1+a2=3 ，故y0=1/2。在稳定区内。若k=1，即必须a1+a2 1 由此得到输入为零时，输出为等幅振荡序列，这正是图8.4-6的左下角的三角区ABC内部区域。因为BC边由于f 1，故要求y0 0。在没有溢出时，若k=0，y0=(a1+a2)y0，故只要a1+a2=1，不过这条直线

13、不所以在ABC，1/2y0 1。k2时，a1、a2不可能在稳定区内。a2 a1=1a1a1+a2=111(2,1)(2,1)a2=1(0,1)4/212aaBCDEFAa1+a2=1(2)输入x(n)=0时，输出是周期为2的极限环振荡，即输出2112012121aakaakyn相同的解出k=1,2,y(n)=(1)n y0，其中0y0 1图8.4-6中满足这一限制条件的区域是右下角的三角区CDE内部区域。一条边界为a1a2=1，则y0=1；顶点E处，a1a2=3，y0=1/2。所以在CDE内有1/2 y01。k 2 时，a1、a2不在稳定区内。，要求y0 1，必有a2 a1=1a1a1+a2=

14、111(2,1)(2,1)a2=1(0,1)BCDEFA由上述讨论可知，采取补码加法器的二阶IIR系统，只FBCD方形内部(不含边界)，才能保证既稳定又不产生溢出。这种溢出效应在输出信号中引起很大误差，甚至会使系统输出在最大幅度之间振荡，而其持续与否与其后输入的序列无关。有分母系数满足a1+a2 1，即在图8.4-6中的a2 a1=1a1a1+a2=111(2,1)(2,1)a2=1(0,1)BCDEFAa1+a2=111a1a2=1114/212aa-111-1表示相加结果，这样就能克服溢出振荡。饱和加法器的输入输出特性如图8.4-8所示，当加法器的输入之和大于1或小于1时，就分别以1或1v

15、f v避免这类溢出振荡的有效方法是采用有具饱和加法器。04321814383第一次相加 对一般的不饱和加法器，采用补码运算，在若干输入值相加时，只要保证最后结果的绝对值小于1，则中间相加的结果是否溢出不影响最终结果的正确。例 补码加法 可用二进位制补码表示为(溢出，出错)3/8=0.0112，3/4=0.1102，1/8=0.0012，1/2=1.10023/8+3/4=0.0112+0.1102=1.0012=7/8 将最后结果最高位（进位项）的1舍去，则0.1102=3/4第二次相加第三次相加是正确答案，因此允许中间结果溢出。7/8+1/8=1.0012+0.0012=1.0102=3/4

16、 3/4 1/2=1.0102+1.1002=10.1102=3/4 y(n)aaQ x(n)x(n)8.4.3、IIR系统定点舍入运算的误差分析系统定点舍入运算的误差分析定点运算中，每一次乘法运算之后，都要作一次尾数处理(舍入或截尾)，由此引入误差。图(a)是无限精度相乘；图(b)是有限精度相乘，Q 表示尾数处理；(n)y(n)aaQ x(n)x(n)e(n)利用统计分析方法，可以将误差等效为独立的噪声叠加在信号上，如图(c)所示。(n)(n)因为一般尾数处理多采用舍入，所以设Q 是舍入处理，则e(n)为舍入误差。为分析方便，对e(n)再作如下假设(1)所有误差e(n)是平稳的零均值白噪声序

17、列；(2)每个误差在量化误差范围内均匀等概分布；(3)两个不同噪声源彼此不相关；(4)误差 e(n)与输入x(n)不相关，且与系统中任何节点变量不相关，从而与输出y(n)也不相关。12/12/22222qneEbe 0feemmmhm根据以上假定，及舍入误差范围(2b/22b/2)，可以得到其均值为零，方差为采用统计方法，实际输出可以表示为式中f(n)是由噪声产生的输出，其均值与方差为(8.4-13)(n)=y(n)+f(n)2222feefmhm zdzzHzHjeeCe/2112(8.4-14)因为均值为零的信号，其方差与平均功率相同，所以计算零均值噪声的方差就是计算噪声的平均功率。式中h

18、e(m)是噪声e(n)到输出节点的的单位脉冲响应，He(z)是he(m)的z变换。118.019.0104.0zzzH 2172.07.1104.0zzzH例8.4-1 二阶IIR低通滤波器，传递函数为：采用定点舍入尾数处理，分别计算直接型、一阶节级联、并联三种结构舍入误差的方差。解解：(1)直接型的系统函数直接型定点舍入相乘的统计模型如图(a)所示，由图可见有三次乘法运算，产生三个噪声源。x(n)y(n)+f(n)e2(n)e1(n)e3(n)e1(n)+e2(n)+e3(n)f(n)图(b)是噪声的统计模型，利用线性系统叠加性计算输出噪声的方差。z1z1z1z11.70.721.7 0.7

19、20.04 11118.0189.0198.019.011zzzzzHe由图得到噪声的传输函数对应的单位脉冲响应he(n)=9(0.9)n 8(0.8)nu(n)e1(n)+e2(n)+e3(n)f(n)z1z11.7 0.72 222221230feeeenhn则 f(n)=e1(n)+e2(n)+e3(n)he(n)221039 0.98 0.8nnennnnne22028.06472.09829.0813bb22248.221227.269 nheneeef202322212或 2111d32eeeCzHz Hzz 21111dz32z1 0.91 0.81 0.91 0.8eCzzzz

20、 Cedzzzzzzz8.019.018.09.021312只有z1=0.9、z2=0.8两个极点在单位圆内，求其留数为10.90.90.90.810.910.8z zzzzzzz173.16972.0181.018.09.09.01z10.80.80.90.810.910.8z zzzzzzz34.7964.0172.019.08.08.0beef2222246.228.89334.79173.1693所以Res1Res2 118.0119.0104.0zzzHe1(n)z-1z-1x(n)y(n)+f(n)e2(n)e3(n)(2)级联型级联型定点舍入相乘的统计模型如图所示，由图可见有三次

21、乘法运算，产生三个噪声源。可利用线性系统性质分别计算输出噪声的方差。0.90.040.811118.0189.0198.019.011zzzze3(n)的传递函数 nunhzzHnee8.08.011313由图可见，e1(n)与e2(n)的传递函数相同，即H e1(z)=H e2(z)f(n)=e1(n)+e2(n)he1(n)+e3(n)he3(n)nhnheneeneef230232102221264.0111228.89628.08.892222022bbnneebbb22222.15778.21222967.14 118.0132.09.0136.0zzzH(3)并联型由图可见有四次乘

22、法运算，产生四个噪声源，同样可并联型定点舍入相乘的统计模型如图所示e4(n)e1(n)x(n)y(n)+f(n)e2(n)e3(n)0.360.320.90.8利用线性系统性质分别计算输出噪声的方差。z1z1由图可见，e1(n)与e2(n)的传递函数相同，即 zHzHee21 nuzn9.09.0111e3(n)与e4(n)的传递函数相同，即 110.810.8nu nzH e3(z)=H e4(z)f(n)=e1(n)+e2(n)he1(n)+e3(n)+e3(n)he3(n)nhnheneeeneef230242321022212 02222321028.09.0622nnnbeenenh

23、nh36.01119.0116264.01181.0116222bbbb22234.1778.226.562bbb222234.122.15248.22比较三种结构误差大小：结果说明直接型结构的误差最大，其次是级联结构，最小是并联结构。这是因为直接型结构中所有舍入误差都要经过全部网络的反馈环节，使误差在反馈过程中积累起来，总的误差就很大。在级联型结构中，每个舍入误差值通过其后面的反馈环节，而与前面的无关，因此误差比直接型小。并联结构中每个环节的舍入误差只通过本身的反馈环节，与其它环节无关，积累作用最小，所以误差最小。这个结论对IIR滤波器具有普遍意义。所以从有效字长效应看，不论直接型或直接型都

24、是最差的，高阶系统时要避免使用。级联结构较好，并联结构最好，具有最小的运算误差。结果还说明无论那种结构，误差都与字长b有关，b越大，误差越小。8.4.4、IIR系统定点运算中的动态范围及输入最大幅度系统定点运算中的动态范围及输入最大幅度限制限制讨论IIR系统定点运算中的动态范围，实际也是讨论输入的最大幅度限制。定点加法运算不会改变尾数字长，因此没有舍入误差，但定点加法有可能出现溢出，而溢出会产生很大的误差，8.4.2所讨论的正是定点加法运算有溢出情况。所以8.4.3讨论的舍入噪声是在系统无溢出时的结果。为了预防溢出，系统往往需要加合适的幅度压缩因子A。z1z1z1z1z1z1y1(n)x(n)

25、y(n)yk(n)y2(n)h1(n)hm(n)h2(n)hk(n)hi(n)二阶节的冲激响应二阶节的冲激响应11 12 1m 2m 22 21为了预防溢出，系统需要加合适的幅度压缩因子A。只有保证系统中每一个输出节点都不溢出，即每一个输出节点变量的绝对值都小于1，才能保证系统没有溢出效应。令第k个节点的输出为yk(n)，若要yk(n)不溢出，则应满足(8.4-15)k=1,2,hk(n)表示从系统输入到第k个节点的单位脉冲响应，则 nxnhmnxnhnykkmk(8.4-16)yk(n)1 上式表明yk(n)的动态范围取决于输入信号x(n)类型及hk(n)，nhnyknk0 120mxmn

26、1/220kknynhn对不同类型输入信号，yk(n)的动态范围不同。如x(n)是正弦信号，yk(n)maxHk(e j)；x(n)是有界信号x(n)1，；，。x(n)是能量有限信号由第 k 个节点的单位脉冲响应可推出一般情况下，任一 mnxnhnykmk 1maxnhxkm nhxkm1max输出节点都不溢出的条件为(8.4-17)由上式得到输入x(n)的最大幅度限制为(8.4-18)式中xmax表示输入序列最大绝对值。1maxnhAxnykmk nhxAkmmax1 实际应用中，通常xmax并不能满足这一要求，系统需要乘以合适的幅度压缩因子A(A1)衰减输入信号幅度，以保证任意第k个输出节

27、点都不溢出，即(8.4-17)式变为(8.4-19)同样(8.4-18)式变为A的选取很重要，因为A大了不起作用，而A小了会使信(8.4-20)号的输出功率减小，导致信噪比降低。mnxmhnyNm108.4.5、定点、定点FIR系统舍入运算误差分析系统舍入运算误差分析1、输出噪声方差N阶的FIR系统差分方程为系统的直接(卷积)形式运算模型如图所示h(N-1)h(N-2)h(2)h(1)h(0)z1z1z1z1z1Ax(n)y(n)Ax(n)e0(n)eN-1(n)eN-2(n)e2(n)e1(n)y(n)+f(n)h(N-1)h(N-2)h(2)h(1)h(0)每做一次舍入乘法产生一次误差。在

28、同一时刻n，要产生N个舍入误差，将其等效为N个噪声源e0(n)，e1(n)，,eN-1(n)，当n变化时形成随机序列。系统的直接(卷积)形式舍入运算误差统计模型z1z1z1z1同样对ei(n)(i=0,1,2,N1)作如下假设12222bei(4)误差ei(n)与输入x(n)不相关，且与系统中任何节点(2)每个误差在量化误差范围内均匀等概分布,方差为(1)所有误差ei(n)是平稳的零均值白噪声序列；(3)两个不同噪声源彼此不相关；变量不相关，从而与输出y(n)也不相关。，i=0,1,2,N1；则输出方差 nfnynenynyiNi1012222102benNnfN此时输出为结果表明，FIR系统

29、定点舍入运算误差直接到达输出端，与系统的系数无关；误差与字长b及系统的阶次N有关，N有关，b越大或N 越小，误差越小。110max10mhxmnxmhnyNmNm2、输入x(n)的最大幅度限制因为定点运算要保证各输出节点不溢出，所以与IIR系统分析相同，FIR系统输入x(n)也有最大幅度限制要求。由图8.4-13可见，各支路直接至输出端，所以不溢出的条件为 nhxNn10max1 nhxANn10max1由此得到输入x(n)的最大幅度限制若xmax(n)不满足条件，为保证不溢出，在输入端乘以A(A1)，A的取值为8.4.6 IIR系统浮点运算的误差分析系统浮点运算的误差分析浮点运算中，不论加法

30、或乘法，每次运算之后，都要作一次尾数处理（舍入或截尾），由此引入误差。研究浮点运算的误差与定点相似，用Q 表示尾数处理；利用统计分析方法，可以将误差等效为独立的噪声叠加在信号上。浮点误差通常用相对误差(n)表示，设Q 是舍入处理，则(n)为舍入相对误差。若w(n)是被处理数，那么e(n)=(n)y(n)则绝对误差e(n)与相对误差(n)的关系是Qw(n)=w(n)1+(n)为分析方便，对(n)再作如下假设(1)所有相对误差(n)是平稳的零均值白噪声序列；(2)每个误差在量化误差范围内均匀等概分布；(3)两个不同噪声源彼此不相关；(4)误差(n)与输入x(n)不相关，且与系统中任何节点变量不相关

31、，从而与输出y(n)也不相关。0dpnnEmqq0q-q1/2qp dpnnEqq222 2331321qqqnq根据以上假定，及浮点舍入相对误差范围如图所示分别求其均值及方差式中q=2b 111zzH例8.4-2 一阶IIR低通滤波器，传递函数为：采用浮点舍入尾数处理，分别计算舍入误差的方差及噪信比。假设x(n)也是零均值平稳随机过程。解：浮点舍入运算的统计模型如图所示。两个噪声源。由图可见有一次加法运算，一次乘法运算，产生y(n)+f(n)z1(n1)=y(n1)+f(n 1)x(n)g(n)e2(n)e1(n)22122212212111yenyEnynE22222ye两个绝对误差关系为

32、噪声源e1(n)、e2(n)的方差为e1(n)=1(n)(n1)1(n)y(n1)e2(n)=2(n)g(n)2(n)y(n)y(n)+f(n)z1(n1)=y(n1)+f(n 1)x(n)g(n)e2(n)e1(n)111zzH nhnhnhnyneenef20221220212102121 nhnhnhnyneenef20221220222202222由图可见，两个噪声源的传递函数与信号的传递函数相等，即对应的h1(n)=h2(n)=h(n)=n(n)，则输出噪声f1(n)、f2(n)的方差 02222120222122212nneeneefffnh2222222211231111yby2

33、222211231 byf总的输出噪声f(n)的方差为噪信比这个结果反映了浮点运算的重要特点，即浮点运算的信噪比与信号的大小、结构、分布无关。所以在相同尾数字长情况下，浮点制的误差比定点制小，或说浮点制比定点制运算精度高。因为在浮点制中，不论信号大小、结构、分布，滤波器具有相同的噪信比，或者说具有相同的相对运算精度。定点制中输出噪声是与信号有关的，因此信号不同，其噪信比不同。又由于受到溢出限制，信号必须用比例因子压缩在一定的范围内，因此限制了噪信比的降低。不过浮点制运算精度高的优点是用它的复杂性为代价换取的，因为它除了尾数外，还有阶码。虽然浮点制的误差与信号无关，但与滤波器的结构有关。一般阶数越高，误差越大。所以高阶滤波器应尽量分解为低阶的单元，用级联或并联结构实现。作业